3. + 4. ¨ Ubung: Komlexe Zahlen, Folgen, Reihen und Abbildungen

Fachbereich Mathematik Raphael Schulz

Sommersemester 2011

A

Klausurvorbereitungskurs

Mathematik I f¨ur MB

3. + 4. ¨ Ubung: Komlexe Zahlen, Folgen, Reihen und Abbildungen

A1 Polardarstellung komplexer Zahlen

Verwende die Polardarstellung um folgendes zu bestimmen:

z= (1 +i)ⁿ, n∈N, z² =−9 und z³ = 8i.

A2 Real- und Imagin¨arteil

Bestimme Real- und Imagin¨arteil folgender komplexer Zahlen:

5

1−3i, 4 +i

1−i+ 7i und 3e^−iπ/2. A3 Konvergenz von Folgen

Untersuche diese Folgen auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert:

a) a_n=

√ 3n⁸+n² 7n⁴+√

2n⁵ d) d_n= 1−_n¹3n

· 1 +_n¹n−3

g)g_n=q 1 +^√1_n b) b_n= _(n+1)!^n·4n e)e_n= (−1)ⁿe^1/n h) h_n= √ⁿ

3ⁿ+ 5ⁿ c) cn= ⁵ⁿ_(2n+1)³⁻³ⁿ⁺¹3 ·

n−2 n+2

n

f)fn=n·cosn i)in= ⁽⁻³⁾₂n+6ⁿ⁺⁶ⁿⁿ. A4 Konvergenz von Reihen

Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz:

a) P∞

k=1 n+4

n²−3n+1 c) P∞ k=12^k

k! e) P∞

k=1sink· ¹₂k

b) P∞ k=1

(−1)√ ^k

k d) P∞

k=1 1 (2−¹

k)^k f) P∞ k=2

(−1)^k

√ klnk

A5 Grenzwert von Reihen

Berechne die Reihensumme der Reihen:

∞

X

k=2

5 3

4 k

,

∞

X

k=0

x² 1 +x²

3k

und

∞

X

k=1

1 (k+ 1)k.

A6 Umkehrabbildung

Gegeben seien die Funktionen

p(x) =e^x, Dp =R und q(x) = x−1/x

2 , Dq= (0,∞).

a) Man gebe die BildmengenB_p und B_q an und skizziere die Graphen vonp und q.

b) Zeige: q ist streng monoton wachsend. Ist q umkehrbar?

c) Bestimme die Umkehrabbildungenp⁻¹ undq⁻¹ und skizziere deren Graphen.

d) Stelle die Funktion

sinh(x) = e^x−e^−x

2 , D_sinh=R,

mit Hilfe einer geeigneten Verkettung der Funktionen p und q dar und bestimme eine Formel f¨ur die Umkehrfunktion arcsinh(y).

A7 Stetige Funktionen

a) F¨ur welchex∈Rist die Funktion f(x) = (2

x, f¨urx6= 0

0, f¨urx= 0 stetig?

b) L¨asst sich die Funktiong(x) =

(^√_x+9−3

x , f¨urx <0

√x+9−3√

x , f¨urx >0 an der Stellex= 0 stetig fortset- zen?

A8 Stetigkeit

Seif : [0,1]→Rstetig mitf(0) =f(1) = 0 undf(x)>0 f¨ur allex∈(0,1). Man zeige, dass es f¨ur alle a∈(0,1) ein xa∈(0,1−a) gibt, so dass f(xa) =f(xa+a).