max. Punktzahl2020202020 Aufgabe Bewertungsschlüssel

Studiengang Wirtschaftsingenieurwesen

Fach Wirtschaftsstatistik

Art der Leistung Prüfungsleistung

Klausur-Knz. WI-WST-P12-030329

Datum 29.03.03

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

· Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

· Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich die- se bezieht.

· Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufassen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

· Bei numerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

· Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genann- ten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Bearbeitungszeit: 120 Minuten Hilfsmittel: — Studienbriefe

Anzahl Aufgaben: - 5 - — Taschenrechner

Höchstpunktzahl: - 100 -

Bewertungsschlüssel

Aufgabe 1 2 3 4 5

max. Punktzahl 20 20 20 20 20

Notenspiegel

Note ^{1,0 1,3 1,7 2,0 2,3 2,7 3,0 3,3 3,7 4,0 5,0}

notw. Punkte 100-95 94,5-90 89,5-85 84,5-80 79,5-75 74,5-70 69,5-65 64,5-60 59,5-55 54,5-50 49,5-0

Aufgabe 1: 20 Punkte

In der Redaktion einer Tageszeitung arbeiten 20 Mitarbeiter. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiger Mitarbeiter bei der täglichen Redaktionssitzung fehlt, sei konstant p=0,08. Das Verhalten eines Mitarbeiters zu fehlen beeinflusst nie das Verhalten eines anderen Mitarbeiters. Es beschreibe x die Anzahl der fehlenden Personen bei der nächsten Redaktionssitzung unter den 20 Mitarbeitern.

a) Wie ist die Zufallsvariable x verteilt? Nennen Sie alle zur Berechnung von Wahr-

scheinlichkeiten notwendigen Parameter. 3 Pkte.

b) Wieviel Mitarbeiter fehlen im Mittel je Redaktionssitzung? Wie groß ist die Varianz

von x ? (3 Dezimalstellen) 4 Pkte.

c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird bei der nächsten Redaktionssitzung kein Mitar-

beiter fehlen? (4 Dezimalstellen) 3 Pkte.

d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird bei der nächsten Sitzung höchstens ein Mitar- beiter fehlen? (Zwischenergebnisse mit 5, Endergebnis mit 4 Dezimalstellen)

3 Pkte.

e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden bei der nächsten Sitzung genau 20% der

Mitarbeiter fehlen? (4 Dezimalstellen) 3 Pkte.

f) Es werden die beiden nächsten Redaktionssitzungen betrachtet (Hinweis: Das Ver- halten bei der 1. Sitzung beeinflusst nicht das Verhalten bei der 2. Sitzung). Mit wel- cher Wahrscheinlichkeit wird bei jeder der beiden Sitzungen höchstens ein Mitarbei- ter fehlen? (4 Dezimalstellen)

4 Pkte.

Aufgabe 2: 20 Punkte

In einer Region werden 40 Bankkunden nach ihrem Guthaben in € auf einem Sparbuch zum Jahresende 2002 befragt. Das Ergebnis ist nachstehender Tabelle zu entnehmen:

Guthaben x_i in € Anzahl f_i der Sparbuchbesitzer

800 20

1500 10

1800 5

15000 4

100000 1

a) Vervollständigen Sie die vorstehende Tabelle durch geeignete Spalten so, dass Sie eine Maßzahl zur Berechnung der Stärke der relativen Konzentration der Guthaben berechnen können. Arbeiten Sie dabei wenn nötig mit 5 Dezimalstellen.

9 P

b) Über welches Gesamtsparguthaben verfügen alle befragten Sparer? 3 P c) Welchen Wert hat Ihre auf 4 Dezimalstellen gerundete Maßzahl zur Messung der

relativen Konzentration der Guthaben im Beispiel? 2 P

d) Liegt aufgrund Ihres Ergebnisses zu c) eine relativ schwache, eine relativ stärkere

oder eine extrem starke Konzentration vor? 2 P

e) Welchen prozentualen Anteil am Gesamtsparguthaben besitzen die 75% spargutha-

benärmsten Kunden? 2 P

f) Welchen prozentualen Anteil am Gesamtsparguthaben besitzen die 12,5% gutha-

benhöchsten Sparer? 2 P

Aufgabe 3: 20 Punkte

In einem Fertigungsbetrieb sollen Sie für ein bestimmtes Produkt die Beziehung zwi- schen der Anzahl x der hergestellten Stücke und den davon abhängigen Stückkosten y in einer Geldeinheit (GE) näher untersuchen. Das betriebliche Rechnungswesen stellt Ih- nen dafür für 6 Produktionszeiträume die in folgender Tabelle aufgeführten Daten zur Verfügung:

Stückzahl x 8 9 12 15 16 18

Stückkosten y in GE 40 35 30 25 24 20

a) Bestimmen Sie den auf 2 Dezimalstellen gerundeten Wert des Bestimmtheitsmaßes

B (Determinationskoeffizient), und interpretieren Sie Ihr Ergebnis. 9 P b) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Regressionsgeraden von y auf x. Dabei

sind für alle Parameter 2 Dezimalstellen vorzusehen. 5 P

c) Nennen und interpretieren Sie den Regressionskoeffizienten. 3 P d) In der kommenden Periode sollen 13 Stücke des Gutes produziert werden. Welche

Stückkosten erwarten Sie im Mittel? 3 P

Aufgabe 4: 20 Punkte

a) In nachstehender Tabelle sind die Einkaufspreisindizes für Rindermischfutter in ei- nem EU-Land in der Reihe 1 für die Jahre 1994 bis 1998 bezogen auf das Basisjahr 1992 und in der Reihe 2 für die Jahre 1998 bis 2002 bezogen auf das Basisjahr 1998 aufgeführt.

10 P

Jahr 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Reihe 1 105 108 110,4 114 120

Reihe 2 100 105 96 95 92

a.1. Verketten Sie die beiden Reihen durch Fortschreibung zu einer Reihe mit dem Basisjahr 1992. (Nur die freien Felder der Reihe 1 sind auszufüllen.)

a.2. Verketten Sie die beiden Reihen durch Rückrechnung zu einer Reihe mit dem Basisjahr 1998. (Nur die freien Felder der Reihe 2 sind auszufüllen.)

b) Die folgende Tabelle zeigt die Entwicklung der Beschäftigtenzahl einer kleinen Wer-

befirma in den Jahren 1994 bis 2002. 10 P

Jahr 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Beschäf-

tigte 7 12 17 19 15 14 13 9 5

b.1. Bestimmen Sie den Trendverlauf der Beschäftigtenzahl durch Bilden der glei- tenden Durchschnitte 3. Ordnung. Halten Sie Ihre Werte in einer Tabelle fest.

b.2. Berechnen Sie die gleitenden Durchschnitte 4. Ordnung, und halten Sie auch

Aufgabe 5: 20 Punkte

Der Durchmesser x von Kugellagern sei normalverteilt mit dem Mittelwert m=6,40 mm und der Standardabweichung sx=0,125 mm.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Durchmesser eines der Produktion zufällig

entnommenen Kugellagers wenigstens 6,24 mm aufweisen? (3 Dezimalstellen) 3,5 P b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Durchmesser eines der Produktion zufällig

entnommenen Kugellagers höchstens 6,16 mm betragen? (3 Dezimalstellen) 3,5 P c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Durchmesser eines der Produktion zufällig

entnommenen Kugellagers zwischen 6,11 mm und 6,68 mm liegen? (3 Dezimalstel- len)

4 P

d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Durchmesser eines der Produktion zufällig

entnommenen Kugellagers genau 6,50 mm betragen? 2 P

e) Das Kugellager ist Ausschuss, wenn sein Durchmesser vom Sollwert 6,40 mm um mehr als 0,22 mm nach unten oder nach oben abweicht. Mit welcher Wahrschein- lichkeit stellt ein zufällig entnommenes Kugellager Ausschuss dar? (3 Dezimalstel- len)

4 P

f) Die Kugellager werden zu je 1000 Stück verpackt. Mit wieviel Ausschussstücken ist

im Mittel je Packung zu rechnen? 3 P

Viel Erfolg!

Name, Vorname Matrikelnummer

Lösung zu Aufgabe 4): 20 Punkte

a)

Jahr 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Reihe 1 105 108 110,4 114 120

Reihe 2 100 105 96 95 92

b)

Jahr 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Beschäf-

tigte 7 12 17 19 15 14 13 9 5

Lösung Aufgabe 1: 20 Punkte

a) x ist binomialverteilt mit den Parametern n=20 und p=0,08. 3 P

2 x

b) E(x) n p 20 0,08 1,6

n p q 20 0,08 0,92 1,472

= × = × = s = × × = × × =

4 P

0 20

c) p(0) 20 0,08 0,92 0,18869 0,1887 0

æ ö

= ç ÷ × × » »

è ø

3 P

1 19

d) p(1) 20 0,08 0,92 0,32816 0,3282 1

F(1) p(0) p(1) 0,18869 0,32816 0,5169 æ ö

= ç ÷ × × » »

è ø

= + » + »

3 P

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 0,5169.

4 16

e) p(4) 20 0,08 0,92 0,0523 4

æ ö

= ç ÷ × × »

è ø

3 P

f ) p F(1) F(1) 0,2672 = × »

Lösung Aufgabe 2: 20 Punkte

a) 9 P

xi fi xifi pi Pi Fi Si Si+Si-1 (Si+Si-1)pi

800 20 16000 0,500 0,080 0,500 0,080 0,080 0,04000

1500 10 15000 0,250 0,075 0,750 0,155 0,235 0,05875

1800 5 9000 0,125 0,045 0,875 0,200 0,355 0,04438

15000 4 60000 0,100 0,300 0,975 0,500 0,700 0,07000

100000 1 100000 0,025 0,500 1,000 1,000 1,500 0,03750

40 200000 0,25063

1,5 P 1,25 P 1,25 P 1,25 P 1,25 P 1,25 P 1,25 P

b) Das Gesamtsparguthaben beträgt 200000 €. 3 P

c) G » 1-0,25063 » 0,7494 2 P

d) Da der Ginikoeffizient relativ nahe an Eins liegt, kann von einer relativ stärkeren

Konzentration des Guthabens gesprochen werden. 2 P

e) 75% von 40 sind 30. Die 75% guthabenärmsten Sparer haben am Gesamtspar- guthaben einen prozentualen Anteil von 15,5% (2. Zeile, 7. Zeile).

2 P

f) 12,5% von 40 sind 5. 2 P

Die 12,5% guthabenstärksten Sparer haben am Gesamtsparguthaben einen prozentualen Anteil von 80%. (160000 € von 200000 €)

Lösung Aufgabe 3: 20 Punkte

a)

xi yi xi-

x

y

x

y

x

y

8 40 -5 11 25 121 -55

9 35 -4 6 16 36 -24

12 30 -1 1 1 1 -1

15 25 2 -4 4 16 -8

16 24 3 -5 9 25 -15

18 20 5 -9 25 81 -45

78 174 80 280 -148

[ ]

2

78 174

x 13 ; y 29

6 6

B r 148 0,9779 0,98 80 280

= = = =

= = - » »

Der Wert von B liegt relativ sehr nahe +1. Das lineare Modell ist relativ sehr gut geeignet.

×

Ca. 98% der Varianz der yi-Werte werden durch die Varianz der

ˆy

-

b)

yx yx

b 148 1,85 80

a 29 ( 1,85) 13 53,05

= - = -

= - - × =

Die Funktionsgleichung der Regressionsgeraden von y auf x lautet:

ˆy 53,05 1,85x = -

c) Der Regressionskoeffizient ist byx=-1,85.

Mit der Zunahme der Stückzahl um eine Einheit ist im Mittel eine Abnahme der Stückkosten um 1,85 Geldeinheiten verbunden.

d) x=13 liefert

( )

ˆy 13 = 53,05 1,85 13 29 - × =

3 P 3 P

3 P

2 P 1,5 P 1,5 P

3 P 3 P

Lösung Aufgabe 4: 20 Punkte

a) a1) und a2): 10 P

Jahr 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Reihe 1 105 108 110,4 114 120 126 115,2 114 110,4

Reihe 2 87,5 90 92 95 100 105 96 95 92

Für jede Reihe sind 5 Punkte vorgesehen.

b) b1) und b2) 10 P

Jahr 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Beschäftigte 7 12 17 19 15 14 13 9 5

gl. Durch. 3.O. _- 12 16 17 16 14 12 9 -

gl. Durch. 4.O. _{- -} 14,75 16 15,75 14 11,5 - -

Für jede Reihe sind 5 Punkte vorgesehen.

Lösung Aufgabe 5: 20 Punkte

( ) ( )

6,24 6,4

a) p(x 6,24) p z p z 1,28 0,5 p 0 z 1,28 0,125

0,5 0,400 0,900

æ - ö

³ = ç è ³ ÷ ø = ³ - = + £ £ »

» + »

( ) ^{6,16 6,4} ( ) ( )

b) p x 6,16 p z p z 1,92 0,5 p 0 z 1,92 0,125

0,5 0,473 0,027

æ - ö

£ = ç è £ ÷ ø = £ - = - £ £ »

» - »

( ) ( )

( ) ( )

6,11 6,4 6,68 6,4

c) p 6,11 x 6,68 p z p 2,32 z 2,24

0,125 0,125

p 0 z 2,32 p 0 z 2,24 0,490 0,488 0,978

- -

æ ö

£ £ = ç è £ £ ÷ ø = - £ £ =

= £ £ + £ £ » + »

( )

d) p x 6,50 = = 0

( ) ( )

( )

0,22 0,22 e) p Ausschuß 1 p 6,4 0,22 x 6,4 0,22 1 p z

0,125 0,125 1 2 p 0 z 1,76 1 2 0,461 0,078

æ - ö

= - - £ £ + = - ç è £ £ ÷ ø =

= - × £ £ » - × »

f) Es sind im Mittel

1000 0,078 78 × =

3,5 P

3,5 P

4 P 2 P

4 P 3 P