Technische Universit¨at Wien WS 2009/10 Institut f¨ur Analysis u. Scientific Coumputing
Prof. Dr. A. Arnold / Dipl.-Math. J. Geier
11. ¨Ubungsblatt zur VL
“Zeitabh¨angige Probleme in Physik und Technik”
(Cahn-Hilliard Gleichung/Poincar´e Ungleichung) 1. Aufgabe
Es sei 0 < l < ∞ und Ω = (0, l). Definiere M: L2(Ω) −→ R durch M(u) = 1l R
Ωu dx.
Zeigen Sie, dass eine Konstante σ >0 existiert, so dass f¨ur alle u∈HE2(Ω) :={y∈H2(Ω)
yx(0) =yx(l) = 0}
gilt ku−M(u)kL2(Ω) ≤σku00kL2(Ω) . 2. Aufgabe
Betrachten sie
ct(x, t) = −γ ∆2x c(x, t), x∈Rd, t >0, c(·,0) = c0 ∈L2(Rd).
Zeigen Sie, dass c(t)∈Hk(Rd)∩C∞(Rd) f¨ur alle k ∈N und t >0. Finden Sie f¨urt > 0 eine m¨oglichst scharfe Absch¨atzung (bez¨uglich der t-Abh¨angigkeit) der Form
kc(t)kHk(Rd) ≤ α(t)kc0kL2(Rd).
Hinweis: Auf Hk(Rd)∩C∞(Rd) ist q
k·k2L2(Ω)+k|∆|k2·k2L2(Rd) eine ¨aquivalente Norm zu k·kHk(Rd) (warum?).
3. Aufgabe
Die freie Energie der Cahn-Hilliard Gleichung auf Ω = (0, l) ⊂ R ohne Regularisierung (d.h. γ = 0) lautet:
E(c) = Z
Ω
f(c)dx .
Es sei nun f ein Doppelmuldenpotential mitf(c) = γ2c4+γ1c3+γ0c2 und γ2 >0 sowie γ0 < 0. Zeigen Sie, dass es eine st¨uckweise konstante Funktion u gibt, die E unter der Nebenbedingung
Z
Ω
u(x)dx = 0 minimiert.
Hinweis: Betrachten Sie ˜E(c) mit ˜f(c) =f(c)−αcf¨ur geeignetesα ∈R.
Bemerkung: F¨urγ > 0 und f(c) = 14(c2−1)2 ist c(x) = tanh(√x2γ) station¨are L¨osung der Cahn-Hilliard Gleichung aufR und es ist limγ→0c(x) = sgn(x).√
γ ist also typische Breite der ¨Ubergangsgrenzschicht zwischen c=±1.