Klausur zu Grundz¨ uge der Statistik: Statistik I Prof. Dr. Claudia Becker
Wintersemester 2003/04 25.03.2004
Name: ...
Matrikelnummer: ...
Erlaubte Hilfsmittel:
• Taschenrechner (keine alphanumerische Tastatur)
• standardisierte Formelsammlung (unver¨andert, keine Hervorhebungen, keine Zus¨atze) in gehefteter Form (keine losen Bl¨atter)
Nicht zugelassen sind:
• eigenes Papier
• Skript, ¨ Ubungsaufgaben, alte Klausuren, andere Formelsammlungen, eigene Aufzeichnungen
• Lehrb¨ucher
Es sind insgesamt 100 Punkte zu erreichen.
Uberpr¨ufen Sie, ob Ihre Klausur alle sechs Aufgaben enth¨alt. ¨
Geben Sie die Aufgaben bitte zusammen mit Ihrer L¨ osung ab!
Aufgabe 1 2 3 4 5 6 P
erreichbare
Punkte 12 20 19 18 18 13 100
erreichte
Punkte
Treffen die folgenden Aussagen zu oder nicht? Begr¨unden Sie Ihre Antwort.
1. Das arithmetische Mittel ist immer kleiner als der Median. (3 Punkte)
2. Das Merkmal “Alter” ist stetig, wird aber in der Regel diskret erhoben. (3 Punkte) 3. Der Median darf bereits bei nominal skalierten Merkmalen berechnet werden.
(3 Punkte)
4. Ein Kreisdiagramm folgt dem Prinzip der L¨angentreue. (3 Punkte)
Aufgabe 2 (20 Punkte)
Zwei bekannte Drogerieketten A und B haben 7 bzw. 5 Filialen in Halle. In der folgenden Tabelle sind die Ums¨atze (in Mio e) des vergangenen Jahres f¨ur die jeweiligen Filialen zusammen gestellt.
Drogeriekette A
Filiale i 1 2 3 4 5 6 7
Umsatz xi 1.4 1.5 1.7 4.9 3.4 3.6 4.5 Drogeriekette B
Filiale i 1 2 3 4 5
Umsatz yi 3.0 1.1 3.2 7.4 5.3
(a) Bestimmen und vergleichen Sie die durchschnittlichen Ums¨atze der beiden Drogerie- ketten in Halle an Hand der arithmetischen Mittelwerte. (4 Punkte)
(b) Die beiden Drogerieketten planen eine Fusion und m¨ochten wissen, wie hoch der mitt- lere Umsatz ¨uber alle Filialen zusammen genommen ist. Bestimmen Sie auf Basis der Ergebnisse aus (a) das arithmetische Mittel der gesamten Datenreihe. (4 Punkte) (c) Bestimmen Sie f¨ur die Ums¨atze der Drogeriekette B die Variabilit¨at. Benutzen Sie als
Streuungsmaße die Spannweite und den MAD. (9 Punkte)
(d) Bestimmen Sie das 20%-Quantil der Ums¨atze in Drogeriekette A. (3 Punkte) Hinweis:
Geben Sie in (a), (b) und (c) jeweils zun¨achst die allgemeinen Formeln an. Runden Sie ggf.
Ihre Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma.
In Halle teilen sich drei Firmen den Markt f¨ur die Veranstaltung von Kongressen und wis- senschaftlichen Fachtagungen. Die drei Anbieter haben zusammen 90 Besch¨aftigte. Diese verteilten sich in den Jahren 1995 und 2000 folgendermaßen auf die drei Firmen:
Jahr 1995 Jahr 2000
Firma 1 2 3
Besch¨aftigte 20 50 20
Firma 1 2 3
Besch¨aftigte 40 40 10
(a) Bestimmen Sie f¨ur die beiden Jahre jeweils den Gini-Koeffizienten als Maßzahl f¨ur die relative Konzentration der Besch¨aftigten. Was stellen Sie fest? (10 Punkte)
(b) Zeichnen Sie die zugeh¨origen Lorenzkurven zu den Jahren 1995 und 2000. Tragen Sie sie dazu gemeinsam in ein Diagramm ein. Wie interpretieren Sie das Ergebnis im Zusammenhang mit dem Resultat aus (a)? (9 Punkte)
Hinweis:
Geben Sie in (a) zun¨achst die allgemeine Formel an. Runden Sie ggf. auf zwei Nachkomma- stellen.
Rechnen Sie in (b) mit Br¨uchen, nicht mit Dezimalzahlen. W¨ahlen Sie als Achseneinteilung 1/9-Schritte.
Aufgabe 4 (18 Punkte)
In einer Studie zum Alkoholkonsum wurden 190 ausgew¨ahlte Personen danach befragt, ob sie regelm¨aßig, gelegentlich oder nie Alkohol zu sich nehmen. Zus¨atzlich wurde das Alter der Befragten erhoben, eingeteilt in die Kategorien “bis 30 Jahre” und “¨alter als 30 Jahre”. Die folgende Tabelle zeigt das Ergebnis der Befragung.
Alter (Y) bis 30 uber 30¨ Alkohol- regelm¨aßig 35 48 konsum (X) gelegentlich 7 24
nie 28 48
190
(a) Unterscheiden sich j¨ungere und ¨altere Befragte in ihrem Alkoholkonsum? Beantworten Sie diese Frage an Hand der geeigneten bedingten Verteilungen. (7 Punkte)
(b) Wieviel Prozent der Befragten nehmen nie Alkohol zu sich? Aus welcher Verteilung ist dieser Wert abzulesen? (3 Punkte)
(c) Der χ2-Wert f¨ur diese Tafel betr¨agt χ2 = 3.72. Wie stark ist der Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen “Alter” und “Alkoholkonsum”? (8 Punkte)
Hinweis:
Geben Sie, falls ben¨otigt, in (c) zun¨achst die allgemeinen Formeln an.
Runden Sie ggf. Ihre Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen.
F¨ur 9 Verb¨ande von Reha-Kliniken wurde das ihnen zur Verf¨ugung stehende j¨ahrliche Budget (in 1000 e) und die Anzahl der von ihnen besch¨aftigten Sozialarbeiter erhoben:
Klinik i 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Budget xi (1000 e) 80.4 69.5 75.8 88.1 83.3 99.6 72.4 42.6 108.3
Anzahl Sozialarbeiteryi 11 8 13 10 11 14 7 14 12
(a) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten nach Bravais und Pearson. Welche der fol- genden Aussagen trifft zu und warum? (10 Punkte)
1. Zwischen den beiden Merkmalen besteht ein starker Zusammenhang, der aber nicht linear ist.
2. Zwischen den beiden Merkmalen besteht ein starker linearer Zusammenhang.
3. Es besteht ein schwach ausgepr¨agter linearer Zusammenhang zwischen den Merk- malen.
(b) Die folgenden drei Abbildungen zeigen Streudiagramme verschiedener Datens¨atze. Be- stimmt man die Korrelationskoeffizienten rXY und rSp f¨ur die zugeh¨origen Beobach- tungen, so ergeben sich die folgenden Werte:
Datensatz 1 Datensatz 2 Datensatz 3
rXY 0.89 1 -0.08
rSp 1 1 -0.08
Welcher Datensatz geh¨ort zu welcher Abbildung? Begr¨unden Sie Ihre Antwort.
(8 Punkte)
Abbildung 1 Abbildung 2
0 2 4 6 8 10
-1.0-0.50.00.51.0
0 1 2 3 4
05000100001500020000
Abbildung 3
0 1 2 3 4
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Hinweis:
Geben Sie in (a) zun¨achst die ben¨otigten Formeln an.
Benutzen Sie die folgenden Hilfsgr¨oßen zur Berechnung:
P9
i=1xi = 720, P9i=1yi = 90, P9i=1xi·yi = 7594.3, seX = 17.78, esY = 2.98 Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf zwei Nachkommastellen.
In einer Pilotstudie zur Steuerehrlichkeit von Bundesb¨urgern wird beim Finanzamt Halle- Nord zu einem ausgew¨ahlten Kontingent von 50 Steuererkl¨arungen eine zus¨atzliche Befra- gung der Steuerzahler durchgef¨uhrt. Dabei wird gefragt, ob bei den Angaben zu Werbungs- kosten und/oder Kapitaleink¨unften falsche Angaben gemacht wurden. Zur Wahrung der Anonymit¨at und um ehrliche Angaben zu bekommen, findet die Befragung separat statt, d.h. ein vom Finanzamt unabh¨angiges Institut trifft die Auswahl und f¨uhrt die Befragung durch. Der Finanzbeh¨orde werden nur die folgenden Ergebnisse mitgeteilt:
• 30 Befragte hatten mindestens bei den Werbungskosten falsche Angaben gemacht;
• ebenfalls 30 Befragte hatten mindestens bei den Kapitaleink¨unften geschummelt;
• 26% der Befragten gaben an, bei beiden Kategorien falsche Ausk¨unfte gegeben zu haben.
(a) Stellen Sie den oben beschriebenen Sachverhalt in einem Venn-Diagramm dar. Wie viele der befragten Steuerzahler haben in keiner von beiden Kategorien geschummelt?
(3 Punkte)
(b) Durch ein ungl¨uckliches Zusammentreffen f¨allt die Liste der Befragten einem Steuer- fahnder in die H¨ande. Er weiß nicht, wer welche Antworten gegeben hat und greift sich daher “blind” (d.h. zuf¨allig) eine der Personen aus der Liste zur Steuerpr¨ufung her- aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zuf¨allig ins Visier des Steuerfahnders geratene Person
1. nur bei den Kapitaleink¨unften, jedoch nicht bei den Werbungskosten falsche An- gaben gemacht hat? (2 Punkte)
2. bei den Werbungskosten geschummelt hat? (2 Punkte)
3. entweder in beiden Kategorien oder aber in keiner der beiden falsche Angaben gemacht hat? (3 Punkte)
(c) Der Steuerfahnder erh¨alt die Zusatzinformation, wer laut eigener Angabe bei den Ka- pitaleink¨unften geschummelt hat. Er w¨ahlt aus diesen Personen einen Steuerzahler aus.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er auf diese Weise jemanden erwischt, der auch bei den Werbungskosten falsche Angaben gemacht hat? (3 Punkte)
Hinweis:
Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf zwei Nachkommastellen.
