Klausur zu Grundz¨ uge der Statistik: Statistik I Prof. Dr. Claudia Becker
Wintersemester 2003/04 13.02.2004
Name: ...
Matrikelnummer: ...
Erlaubte Hilfsmittel:
• Taschenrechner (keine alphanumerische Tastatur)
• standardisierte Formelsammlung in gehefteter Form (keine losen Bl¨atter) Nicht zugelassen sind:
• eigenes Papier
• Skript, ¨ Ubungsaufgaben, alte Klausuren
• Lehrb¨ucher
Es sind insgesamt 100 Punkte zu erreichen.
Uberpr¨ufen Sie, ob Ihre Klausur alle sechs Aufgaben enth¨alt. ¨
Geben Sie die Aufgaben bitte zusammen mit Ihrer L¨ osung ab!
Aufgabe 1 2 3 4 5 6 P
erreichbare
Punkte 19 22 13 22 12 12 100
erreichte
Punkte
Zur aktuellen Diskussion um Studiengeb¨uhren f¨uhrte eine Wochenzeitschrift eine Umfrage durch. Es wurden 2000 Bundesb¨urger gefragt, welche H¨ohe von Studiengeb¨uhren pro Jahr sie f¨ur angemessen halten.
Wie hoch d¨ urfen Studiengeb¨ uhren sein?
Wir haben 2000 Bundesb¨urger nach ihrer Meinung gefragt. Die Ergebnisse sehen Sie in der folgenden Abbildung.
6
Geb¨uhrenklasse
4 3 2 1
12%
18%
16%
54%
Legende:
Klasse 1 = keine Studiengeb¨uhren
Klasse 2 = Geb¨uhren ¨uber 0 bis zu 200 Euro Klasse 3 = Geb¨uhren ¨uber 200 bis zu 500 Euro Klasse 4 = Geb¨uhren ¨uber 500 bis zu 2000 Euro
(a) Welches Merkmal wurde hier erhoben, welche m¨oglichen Auspr¨agungen besitzt es?
Welches Skalenniveau besitzt das Merkmal? Begr¨unden Sie Ihre Antwort! (4 Punkte) (b) Halten Sie die oben gew¨ahlte Darstellungsform f¨ur diese Daten f¨ur angemessen? Welche
Alternativen sind sinnvoll? Begr¨unden Sie Ihre Meinung. (5 Punkte)
(c) Welche der folgenden Aussagen sind korrekt? Begr¨unden Sie jeweils Ihre Antwort!
(8 Punkte)
1. 18% der befragten B¨urger sind f¨ur Studiengeb¨uhren in H¨ohe von ¨uber 200 bis zu 500 Euro im Jahr.
2. Die meisten Studierenden lehnen Studiengeb¨uhren ab.
3. Mehr als die H¨alfte der Befragten sind f¨ur Studiengeb¨uhren.
4. 44% der befragten Bundesb¨urger finden Studiengeb¨uhren von ¨uber 0 bis zu 500 Euro pro Jahr angemessen.
(d) Wie viele Befragte finden hohe Studiengeb¨uhren (mehr als 500 Euro pro Jahr) in Ordnung? (2 Punkte)
Ein Organisator von kulturellen Ereignissen veranstaltet in verschiedenen St¨adten eine Wan- derausstellung. Die Ausstellung verbleibt jeweils 10 Tage lang in einer Stadt. In der folgenden Tabelle sind die Besucherzahlen f¨ur die St¨adte Halle und Erfurt angegeben.
Tag i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Anzahl xi Besucher in Halle 287 225 321 174 220 249 288 174 154 199 Anzahl yi Besucher in Erfurt 333 221 371 175 367 221 175 233 29 175 (a) Vergleichen Sie die “mittleren” Besucherzahlen in den beiden St¨adten an Hand der
drei Lagemaße Modus, Median und arithmetisches Mittel. (10 Punkte)
(b) Wie typisch ist in beiden Datens¨atzen jeweils der Modus als Charakterisierung der Lage? (4 Punkte)
(c) Vergleichen Sie die Variabilit¨at der Besucherzahlen in den beiden St¨adten mit Hilfe der Standardabweichungen. Nutzen Sie zur Berechnung den Verschiebungssatz.
(8 Punkte) Hinweis:
Geben Sie in (a), (b) und (c) jeweils zun¨achst die allgemeinen Formeln an. Nutzen Sie die folgenden Hilfsgr¨oßen:
X10
i=1
x2i = 553 249,
X10
i=1
y2i = 627 906 Runden Sie ggf. Ihre Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma.
Aufgabe 3 (13 Punkte)
Um die Entwicklung in seiner Branche beurteilen zu k¨onnen, beobachtet ein Reiseveranstalter den f¨ur ihn relevanten Markt der Anbieter von Pauschalreisen. Er tr¨agt die Anbieter und deren Ums¨atze (in Mio. Euro) aus drei aufeinander folgenden Jahren zusammen:
Jahr 2000 Jahr 2001
Anbieter 1 2 3 4 5 6
Umsatz 75 85 90 90 85 75
Anbieter 1 2 3 4 5 6
Umsatz 150 170 180 180 170 150 Jahr 2002
Anbieter 1 2 3
Umsatz 300 340 360
(a) Bestimmen Sie f¨ur jedes der drei Jahre eine Maßzahl f¨ur die absolute Konzentration des Umsatzes. Wie erkl¨aren Sie die Zusammenh¨ange zwischen den drei Resultaten?
(9 Punkte)
(b) Welche Gr¨oße w¨urden Sie bestimmen, wenn Sie die relative Konzentration angeben sollten (nur nennen, nicht ausrechnen)? Welchen Wert w¨urden Sie f¨ur das von Ihnen ausgew¨ahlte Maß f¨ur die Daten von 2002 erwarten? Begr¨unden Sie Ihre Einsch¨atzung.
(4 Punkte) Hinweis:
Geben Sie in (a) zun¨achst die allgemeine Formel an. In (b) bitte nicht rechnen!
Zum Stadtjubil¨aum 2006 plant die Stadt Halle den Umbau des Marktplatzes. Unter anderem sind zwei m¨ogliche Maßnahmen im Gespr¨ach: die Entfernung des Umbaus um den roten Turm und der R¨uckbau der Straßenbahngleise am Kaufhaus W¨ohrl. Bei einer Befragung unter 2000 Bewohnern der Stadt wurde die Einstellung zu diesen beiden Maßnahmen erfragt. Die Ergebnisse sind in der folgenden Kontingenztafel zusammen gestellt.
Einstellung zum R¨uckbau der Gleise (Y)
stimme zu stimme nicht zu
Eintellung stimme zu 750 250
zu R¨uckbau
roter Turm (X) stimme nicht zu 450 550
2000
(a) Wie ist die generelle Einstellung zur Entfernung des Umbaus um den roten Turm?
Bestimmen Sie dazu die Randverteilung des Merkmals in relativen H¨aufigkeiten und interpretieren Sie das Ergebnis. (3 Punkte)
(b) Wie ist die Stimmungslage zum R¨uckbau des roten Turms unter denjenigen, die einem R¨uckbau der Gleise zustimmen, und unter denjenigen, die einem R¨uckbau der Gleise nicht zustimmen? Welche Verteilung bestimmen Sie zur Beantwortung dieser Frage?
(7 Punkte)
(c) Geben Sie die Tafel mit den unter Unabh¨angigkeit erwarteten H¨aufigkeiten an und be- rechnen Sie denχ2-Wert. Geben Sie dabei den vollst¨andigen Rechenweg an. (6 Punkte) (d) Angenommen, derχ2-Wert f¨ur diese Tafel w¨areχ2 = 187.5, wie groß ist dann der korri- gierte KontingenzkoeffizientK∗? Wie stark ist demnach der Zusammenhang zwischen der Einstellung zum Umbau des roten Turms und zum R¨uckbau der Straßenbahngleise?
(6 Punkte)
Hinweis:
Geben Sie in (c) und (d) jeweils zun¨achst die allgemeinen Formeln an.
Runden Sie ggf. Ihre Ergebnisse auf drei Nachkommastellen.
Um ihre Studierenden zu motivieren, sich mit den ¨Ubungsaufgaben zur Vorlesung ausein- ander zu setzen, erhebt eine Professorin bei 6 Studierenden die Zeit (X) in Stunden, die sie im Schnitt w¨ochentlich zur Bearbeitung der ¨Ubungen aufgewendet haben. Außerdem notiert sie, welche Punktzahl (Y) diese Studierenden in der Klausur zur Vorlesung erreicht haben.
Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse der Untersuchung:
Studierender i 1 2 3 4 5 6
Zeit pro Woche (Stunden) 1.2 1.6 0.5 2.0 1.5 0.75 Punktzahl Klausur 54 62 30 75 60 46
(a) Berechnen Sie den Rangkorrelationskoeffizienten von Spearman. Was stellen Sie f¨ur den Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen fest? Was bedeutet dieser Zu- sammenhang inhaltlich? (8 Punkte)
(b) Der Wert des Korrelationskoeffizienten von Bravais-Pearson f¨ur die obigen Daten be- tr¨agt rX Y = 0.98. Was k¨onnen Sie daraus f¨ur den Zusammenhang zwischen Zeit f¨ur Ubungsaufgaben und Klausurergebnis schließen? (2 Punkte)¨
(c) Ist die f¨ur (b) durchgef¨uhrte Berechnung des Korrelationskoeffizienten rX Y ¨uberhaupt erlaubt? Begr¨unden Sie Ihre Antwort. (2 Punkte)
Hinweis:
Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf zwei Nachkommastellen.
Aufgabe 6 (12 Punkte)
In einer Firma, die unter anderem N¨agel und Bolzen verkauft, sind beide Produkte verse- hentlich in einen Beh¨alter zusammengeworfen worden. Ein Praktikant muss die Metallstifte nun wieder in zwei einzelne Beh¨alter einsortieren. Da er N¨agel nicht immer gut von Bolzen unterscheiden kann, ist seine Sortierung auch nicht vollkommen korrekt. Das Ergebnis seiner Arbeit sieht folgendermaßen aus:
Produkt “Nagel” Produkt “Bolzen”
Beh¨alter “N¨agel” 100 110
Beh¨alter “Bolzen” 50 70
(a) Der Chef pr¨uft die Arbeit des Praktikanten und greift “blind” (d.h. zuf¨allig) aus den einsortierten Objekten eines heraus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das zuf¨allig gegriffene Objekt
1. ein Bolzen ist?
2. aus dem Beh¨alter “Bolzen” genommen wird?
3. ein Nagel ist und im Beh¨alter “N¨agel” liegt?
4. ein Bolzen ist und im Beh¨alter “N¨agel” liegt?
(9 Punkte)
(b) Der Chef greift jetzt direkt in den Beh¨alter “Bolzen”. Wie groß ist die Wahrscheinlich- keit, dass er dabei tats¨achlich einen Bolzen erwischt? (3 Punkte)
Hinweis:
Runden Sie Ihre Ergebnisse ggf. auf zwei Nachkommastellen.
