H¨ohere Mathematik - Kompakt

H¨ ohere Mathematik - Kompakt

2

Inhaltsverzeichnis

4

Teil 1

Grundlagen

6

1.1 Aussagenlogik

Aussage und Axiom

Aussage: sprachlicher Ausdruck mit eindeutigem Wahrheitswert w (

” wahr“) bzw. f (

” falsch“) A : Beschreibung

Axiom: grundlegende nicht aus anderen Aussagen ableitbare Aussage Logische Operationen

Negation ¬ A nicht A Konjunktion A ∧ B A und B Disjunktion A ∨ B A oder B Implikation A ⇒ B aus A folgt B

Aquivalenz ¨ A ⇔ B A ist ¨aquivalent zu B

Umformungsregeln f¨ ur logische Operationen Assoziativgesetze

(A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C), (A ∨ B) ∨ C = A ∨ (B ∨ C) Kommutativgesetze

A ∧ B = B ∧ A, A ∨ B = B ∨ A De Morgansche Regeln

¬ (A ∧ B) = ( ¬ A) ∨ ( ¬ B ), ¬ (A ∨ B) = ( ¬ A) ∧ ( ¬ B) Distributivgesetze

(A ∧ B) ∨ C = (A ∨ C) ∧ (B ∨ C), (A ∨ B) ∧ C = (A ∧ C) ∨ (B ∧ C)

¨aquivalente Darstellung der Implikation: ¬ A ∨ B Quantoren

Existenzquantor und Allquantor

∃ :

” es gibt . . .“, ∀ :

” f¨ur alle . . .“

Negation Vertauschung der Quantoren

¬ ∃ p ∈ P : A(p)

= ∀ p ∈ P : ¬ A(p)

¬ ∀ p ∈ P : A(p)

= ∃ p ∈ P : ¬ A(p)

Direkter Beweis

Herleitung einer Behauptung B aus bekannten wahren Aussagen A A = ⇒ B

gegebenenfalls Ber¨ucksichtigung von Voraussetzungen

Indirekter Beweis

Herleitung einer Aussage B aus Voraussetzungen V durch Folgern eines Widerspruchs aus der Annahme, dass die Aussage B bei G¨ultigkeit der Voraussetzungen V falsch ist:

V ∧ ( ¬ B) = ⇒ F mit einer falschen Aussage F , insbesondere F = ¬ V oder F = B Vollst¨ andige Induktion

Beweis von parameterabh¨angigen Aussagen A(n), n ∈ N

• Induktionsanfang: zeige A(1)

• Induktionsschluss: zeige A(n) = ⇒ A(n + 1)

8

1.2 Mengen

Menge

Menge mit Elementen a k bzw. a

A = { a 1 , a 2 , . . . } , A = { a : a besitzt die Eigenschaft E }

a ∈ A a ist Element von A a / ∈ A a ist nicht Element von A A ⊆ B ( ⊂ ) A ist (echte) Teilmenge von B

| A | Anzahl der Elemente in A

∅ leere Menge

nat¨urliche, ganze, rationale, relle und komplexe Zahlen N , Z , Q , R , C

Mengenoperationen

Vereinigung A ∪ B

Durchschnitt A ∩ B

Differenz, Komplement¨armenge A \ B

Regeln f¨ ur Mengenoperationen Assoziativgesetze

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C), (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) Kommutativgesetze

A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A De Morgansche Regeln

C \ (A ∩ B ) = (C \ A) ∪ (C \ B ), C \ (A ∪ B) = (C \ A) ∩ (C \ B) Distributivgesetze

(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C), (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

Kartesisches Produkt

geordnete Paare von Elementen zweier Mengen

A × B = { (a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B }

n-Tupel: (a 1 , . . . , a n ) ∈ A 1 × · · · × A n

Relation

Beziehung zwischen Elementen zweier Mengen

a R b ⇔ (a, b) ∈ R ⊆ A × B Eigenschaften von Relationen

reflexiv (a, a) ∈ R

symmetrisch (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R

antisymmetrisch (a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R ⇒ a = b transitiv (a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R total (a, b) ∈ R ∨ (b, a) ∈ R

Aquivalenzrelation (a ¨ ∼ b): reflexiv, symmetrisch und transitiv Partition der Grundmenge in disjunkte ¨ Aquivalenzklassen Halbordnung (a ≤ b): reflexiv, antisymmetrisch und transitiv Ordnung: zus¨atzlich total

10

1.3 Abbildungen

Abbildung

eindeutige Zuordnung

f : A −→ B, a 7→ b = f (a) Bild: f(U ), Urbild: f ^{− 1} (V )

Eigenschaften von Abbildungen injektiv

∀ a 6 = a ⁰ ∈ A : f (a) 6 = f (a ⁰ ) surjektiv

∀ b ∈ B ∃ a ∈ A : f(a) = b bijektiv: injektiv und surjektiv

Verkn¨ upfung von Abbildungen

Hintereinanderschaltung von f : A → B und g : B → C

a 7→ (g ◦ f )(a) = g(f(a)) assoziativ aber i.a. nicht kommutativ

Inverse Abbildung

Umkehrung f ^{− 1} einer bijektiven Abbildung f : A → B

b = f (a) ⇔ a = f ⁻¹ (b)

1.4 Kombinatorik

Fakult¨ at

Anzahl der Permutationen von n Elementen

n! = 1 · 2 · · · n Stirlingsche Formel

n! = √

2πn n e

n

1 + O(1/n)

Binomialkoeffizient

Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer Menge mit n Elementen n

k

= n!

(n − k)!k! = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1) 1 · · · (k − 2)(k − 1)k

Pascalsches Dreieck

Rekursion f¨ur Binomialkoeffizienten

n + 1 k

= n

k − 1

+ n

k

Dreiecksschema

0 k

1

1 k

1 1

2 k

1 2 1

3 k

1 3 3 1

& + . & + . & + . 4

k

1 4 6 4 1

.. . .. . .. .

Binomischer Satz

(a + b) ⁿ = a ⁿ + n

1

a ^{n − 1} b + · · · + n

n − 1

ab ^{n − 1} + b ⁿ

= X n k=0

n k

a ^n−k b ^k

Identit¨ aten f¨ ur Binomialkoeffizienten

12

2 ⁿ = X n k=0

n k

0 = X n k=0

n k

( − 1) ^k , n ≥ 1 n

k

= X k

i=0

n − k − 1 + i i

, k < n n

k

=

n − k

X

i=0

k − 1 + i k − 1

, k > 0

Auswahl von Teilmengen

Anzahl der M¨oglichkeiten, aus einer Menge mit n verschiedenen Elementen k Elemente auszuw¨ahlen nicht sortiert sortiert

ohne Wiederholungen n(n − 1) · · · (n − k + 1)

n k

mit Wiederholungen n ^k

n + k − 1 k

1.5 Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen

imagin¨are Einheit: i ² = − 1

C = { z = x + iy, x, y ∈ R}

Real- und Imagin¨arteil

x = Re z, y = Im z

Komplexe Konjugation konjugiert komplexe Zahl

¯

z = x − iy vertr¨aglich mit den arithmetischen Operationen

z ₁ ◦ z ₂ = ¯ z ₁ ◦ z ¯ ₂ , ◦ = +, − , ∗ , /

Betrag komplexer Zahlen

| z | = p

x ² + y ² = √ z z ¯ Positivit¨at

| z | ≥ 0, | z | = 0 ⇐⇒ z = 0 Multiplikativit¨at

| z 1 z 2 | = | z 1 | | z 2 | , | z 1 /z 2 | = | z 1 | / | z 2 | , z 2 6 = 0 Dreiecksungleichung

| z 1 | − | z 2 | ≤ | z 1 + z 2 | ≤ | z 1 | + | z 2 |

Formel von Euler-Moivre

cos t + i sin t = exp(it), t ∈ R

Sinus und Kosinus: Real- und Imagin¨arteil komplexer Zahlen mit Betrag 1

cos t = Re e ^it = 1

2 e ^it + e ^{− it} sin t = Im e ^it = 1

2i e ^it − e ^{− it}

14

Gaußsche Zahlenebene

| z |

z = x + iy

z = x − iy x

y

Re(z) Im(z)

z = re

z = re

Re(z) Im(z)

r

ϕ

−ϕ

Darstellung in Polarkoordinaten

z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = r exp(iϕ) mit

r = | z | = p

x ² + y ² , ϕ = arg(z) = arctan y/x + σπ σ = 0 f¨ur x ≥ 0, σ = ± π f¨ur x < 0 Standardbereich ϕ ∈ ( − π, π]

z 1 − 1 ± i 1 ± i √

3 ± i 1 ± √ 3i

r 1 1 1 √

2 2 2

ϕ 0 π ± π/2 ± π/4 ± π/6 ± π/3

Multiplikation komplexer Zahlen z k = x k + iy k = r k exp(iϕ k )

z 1 z 2 = (x 1 x 2 − y 1 y 2 ) + (x 1 y 2 + x 2 y 1 )i = r 1 r 2 exp(i(ϕ 1 + ϕ 2 ))

Division komplexer Zahlen z k = x k + iy k = r k exp(iϕ k )

z 1

z 2

= x 1 x 2 + y 1 y 2

x ² ₂ + y ₂ ² + x 2 y 1 − x 1 y 2

x ² ₂ + y ² ₂ i = r 1

r 2

exp(i(ϕ 1 − ϕ 2 ))

Kehrwert

1 z = 1

r ² z ¯ = 1

r exp( − iϕ) = x r ² − y

r ² i

Komplexe Einheitswurzeln z ⁿ = 1

z k = w ^k _n , w n = exp(2πi/n), k = 0, . . . , n − 1

Re z Im z

w _n ⁰ = 1 w _n ¹

w _n ^{n − 1}

Potenzen einer komplexen Zahl ganzzahlige Exponenten m ∈ Z

z ^m = r ^m e ^imϕ , z = re ^iϕ rationale Exponenten p/q ∈ Q

z ^p/q = r ^p/q exp (ipϕ/q) w _q ^kp , k = 0, . . . , q − 1 mit w ^k _q = exp (2πi/q) ^k den q-ten Einheitswurzeln

Kreis in der Gaußschen Zahlenebene

| z − a | = s | z − b | , s 6 = 1 Mittelpunkt

w = 1

1 − s ² a − s ² 1 − s ² b Radius

r = s

| 1 − s ² | | b − a | Parameterform des Kreises

w + re ^it , t ∈ [0, 2π)

16

Teil 2

Vektorrechnung

18

2.1 Koordinaten

Kartesisches Koordinatensystem in der Ebene und im Raum

senkrecht schneidende Zahlengeraden (Achsen), orientiert gem¨aß der

” Rechten-Hand-Regel“

PSfragreplaements

O

x

1

-Ahse x

2

-Ahse x

3

-Ahse

X

x

1

x

2 x

3

PSfrag replaements

O

Daumen

Zeigenger Mittelnger

Punkte, dargestellt durch Koordinaten: X = (x 1 , x 2 , x 3 ) bzw. P = (x, y, z) Kugelkoordinaten

O

x-Achse y-Achse

z-Achse

P

ϕ ϑ r

x = r cos ϕ sin ϑ, y = r sin ϕ sin ϑ, z = r cos ϑ bzw.

r = p

x ² + y ² + z ² , ϕ = arctan(y/x) + σπ, ϑ = arccos(z/ p

x ² + y ² + z ² ) mit σ = 0 f¨ur x ≥ 0 und σ = ±1 f¨ur x < 0 Standardbereich ϕ ∈ ( − π, π]

Zylinderkoordinaten

O

x-Achse y-Achse

z-Achse

P

ϕ ̺ z

x = % cos ϕ, y = % sin ϕ, z = z bzw.

% = p

x ² + y ² , ϕ = arctan(y/x) + σπ, z = z mit σ = 0 f¨ur x ≥ 0 und σ = ±1 f¨ur x < 0 Standardbereich ϕ ∈ ( − π, π]

Translation eines kartesischen Koordinatensystems

Verschiebung des Ursprungs, O → O ⁰ = (p 1 , p 2 , p 3 )

X = (x 1 , x 2 , x 3 ) → X ⁰ = (x 1 − p 1 , x 2 − p 2 , x 3 − p 3 )

X =X b ^′

O ^′

O p 1

p 2

x ^′ ₁

x 1

x 2

x ^′ ₂

Rotation eines kartesischen Koordinatensystems

Drehung der xy-Ebene um die z-Achse mit dem Winkel α:

P = (p 1 , p 2 , p 3 ) → P ⁰ = (p ⁰ ₁ , p ⁰ ₂ , p ⁰ ₃ ) mit

p ⁰ ₁ = cos α p ₁ + sin α p ₂ , p ⁰ ₂ = − sin α p ₁ + cos α p ₂ , p ⁰ ₃ = p ₃

20

α

x x ^′ y

y ^′

1 1

p ₁

p ₂ P

p ^′ ₁

p ^′ ₂

2.2 Vektoren

Vektoren im Raum

Pfeil vom Punkt P zum Punkt Q

~a = −→

P Q =



 q 1 − p 1

q 2 − p 2

q ₃ − p ₃





P 1

Q 1

P 2

Q ₂

~a

~a

− ~a

Ortsvektor: −→ OA = (a 1 , a 2 , a 2 ) ^t , Nullvektor: ~ 0 Addition von Vektoren

−→ P R = −→

P Q + −→

QR

P R

Q

~a ~b

~c

~c = ~a ± ~b =



 a 1

a 2

a 3



 ±



 b 1

b 2

b 3



 =



 a 1 ± b 1

a 2 ± b 2

a 3 ± b 3





Skalarmultiplikation

s



 a 1

a 2

a ₃



 =



 sa 1

sa 2

sa ₃





22

a 1 sa 1

a 2

sa 2

~a

s~a

Betrag eines Vektors im Raum

| ~a | = q

a ² ₁ + a ² ₂ + a ² ₃ kompatibel mit Skalarmultiplikation: | s~a | = | s || ~a |

Einheitsvektor: Vektor mit Betrag 1

~v ⁰ = ~v/ | ~v | Dreiecksungleichung

| ~a + ~b | ≤ | ~a | + | ~b | Gleichheit genau dann, wenn ~a k ~b

~a ~b

~a + ~b

Rechenregeln f¨ ur Vektoren Kommutativgesetz

~a + ~b = ~b + ~a Assoziativgesetz

~a + (~b + ~c) = (~a + ~b) + ~c Distributivgesetz

s(~a + ~b) = s~a + s~b

2.3 Skalarprodukt

Winkel zwischen zwei Vektoren

γ = ^ (~a,~b) ∈ [0, π]

~a

~b

∢ (~a,~b)

orthogonal: ~a ⊥ ~b ⇔ γ = π/2 Kosinussatz

c ² = a ² + b ² − 2ab cos γ

b

a c

A B

γ

γ = π/2 Satz des Pythagoras: c ² = a ² + b ² Sinussatz

sin α

a = sin β

b = sin γ

c

24

b

c

a

A B

C

α β

γ

Skalarprodukt von Vektoren im Raum

~a · ~b = | ~a || ~b | cos ^ (~a,~b) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3

~a · ~a = | ~a | ² , ~a · ~b = 0 ⇔ ~a ⊥ ~b ubliche Rechenregeln f¨ur Produkte ¨

~a · ~b = ~b · ~a, (s~a + r~b) · ~c = s~a · ~c + r~b · ~c Orthogonalbasis im Raum

paarweise orthogonale Vektoren ~u, ~v, w, jeweils ungleich ~ ~ 0

~u

~v

~ w

~a _u

~a _v

~a _w

~a

Zerlegung eines Vektors in Projektionen auf die Achsen

~a = ~a · ~u

| ~u | ² ~u + ~a · ~v

| ~v | ² ~v + ~a · w ~

| w ~ | ² w ~ Vereinfachung (Nenner 1) f¨ur Einheitsvektoren (Orthonormalbasis) Satz des Pythagoras (allgemeinere Form)

| ~a · ~u | ²

| ~u | ² + | ~a · ~v | ²

| ~v | ² + | ~a · w ~ | ²

| w ~ | ² = | ~a | ²

2.4 Vektorprodukt

Vektorprodukt

~c = ~a × ~b =



 a 2 b 3 − a 3 b 2

a 3 b 1 − a 1 b 3

a 1 b 2 − a 2 b 1



 orthogonal zu ~a und ~b, gem¨aß der

” Rechten-Hand-Regel“ orientiert L¨ange: Fl¨acheninhalt des von ~a und ~b aufgespannten Parallelogramms

~c = ~a ~b sin( ^ ( ~a,~b))

~a

~b

~c

Daumen

Zeigefinger Mittelfinger

∢ (~a,~b)

Regeln f¨ ur Vektorprodukte

~a k ~b = ⇒ ~a × ~b = ~ 0

~a ⊥ ~b = ⇒ | ~a × ~b | = | ~a || ~b | Antisymmetrie

~a × ~b = − ~b × ~a Linearit¨at

α ₁ ~a ₁ + α ₂ ~a ₂

× β ₁ ~b 1 + β ₂ ~b 2

= α ₁ β ₁ ~a ₁ × ~b 1

+ α ₁ β ₂ ~a ₁ × ~b 2

+ α ₂ β ₁ ~a ₂ × ~b 1

+ α ₂ β ₂ ~a ₂ × ~b 2

Grassmann-Identit¨at

( ~a × ~b) × ~c = (~a · ~c)~b − ( ~b · ~c)~a Lagrange-Identit¨at

(~a × ~b) · (~c × d) = (~a ~ · ~c)( ~b · d) ~ − ( ~a · d)( ~ ~b · ~c) Epsilon-Tensor

ε i,j,k ∈ {− 1, 0, 1 } , i, j, k ∈ { 1, 2, 3 } Null bei zwei gleichen Indizes,

positiv bei zyklischer Permutation der kanonischen Indexfolge (i, j, k) = (1, 2, 3), Vorzeichen¨anderung bei Vertauschung von Indizes.

26

2.5 Spatprodukt

Spatprodukt

~a,~b, ~c

= ~a · ( ~b × ~c) =

a 1 (b 2 c 3 − b 3 c 2 ) + a 2 (b 3 c 1 − b 1 c 3 ) + a 3 (b 1 c 2 − b 2 c 1 ) orientiertes Volumen des von den drei Vektoren ~a, ~b, ~c aufgespannten Spats positiv bei Orientierung der Vektoren gem¨aß der Rechten-Hand-Regel

~b

~c

~b × ~c ~a

Eigenschaften des Spatprodukts zyklische Vertauschung

[~a,~b, ~c] = [ ~b,~c,~a] = [~c, ~a,~b]

lineare Abh¨angigkeit

[ ~a,~b, ~c] = 0 ⇔ ~ 0 = α~a + β~b + γ~c mit mindestens einem der Skalare α, β, γ ungleich 0

Orientierung

[~a,~b, ~c] > 0 f¨ur jedes Rechtssystem

Volumen eines Tetraeders aufspannende Vektoren ~a, ~b und ~c

V = 1

6 | [~a,~b, ~c] |

Berechnung von Koordinaten mit Hilfe des Spatproduktes d = [~u, ~v, ~ w] 6 = 0 = ⇒

~x = α~u + β~v + γ ~ w mit

α = [~x, ~v, ~ w]/d, β = [~x, ~ w, ~u]/d, γ = [~x, ~u, ~v ]/d

2.6 Geraden

Punkt-Richtungs-Form

−−→ P X = t~u ⇔ x i = p i + tu i

~u P

X

Zwei-Punkte-Form

−−→ P X = t −→ P Q ⇔ x i = p i + t(q i − p i )

−→ P Q

−−→ P X P

Q

X

Momentenform

−−→ P X × ~u = ~ 0 ⇔ ~x × ~u = ~p × ~u

~u

~u

−−→ P X

O P

X

−→ OP = ~p

~x = −−→ OX

| ~p × ~u | = | ~c |

| ~x × ~u | = | ~c |

28

Abstand Punkt-Gerade

Projektion X eines Punktes Q auf eine Gerade durch P mit Richtung ~u

−−→ P X = t~u, t = (~q − ~p) · ~u

| ~u | ²

~u

~u t~u = −−→ P X

O P

X

Q

−→ OP = ~p

−→ OQ = ~q

−→ P Q = ~q − ~p

| (~q − ~p) × ~u |

Abstand

d = | −−→

XQ | = | (~q − ~p) × ~u |

| ~u | Abstand zweier Geraden

d = | [ −→ P Q, ~u, ~v] |

| ~u × ~v | Geraden gegeben durch Punkte P , Q und Richtungen ~u 6k ~v windschief: d > 0

P

Q −→

P Q

~v ~u

h −→

P Q, ~u, ~v i

Abstand paralleler Geraden

d = | −→

P Q × ~u |

| ~u |

Berechnung der Punkte X, Y k¨urzesten Abstandes aus den Orthogonalit¨atsbedingungen

~x − ~y ⊥ ~u, ~v, ~x = ~p + s~u, ~y = ~q + t~v lineares Gleichungssystem f¨ur s und t

30

2.7 Ebenen

Parametrische Darstellung einer Ebene

−−→ P X = s~u + t~v ⇔ x i = p i + su i + tv i

X P

O

r~u s~v

Drei-Punkte-Form einer Ebene

[ −−→

P X, −→

P Q, −→

P R] = 0 =

p 1 q 1 r 1 x 1

p 2 q 2 r 2 x 2

p 3 q 3 r 3 x 3

1 1 1 1

PSfrag replaements

X

P

Q R

Hesse-Normalform einer Ebene

~x · ~n = d, d = ~p · ~n

PSfrag replaements

X

P

O

~

n;j~nj= 1

~n

Normalform: | ~n | = 1 und d ≥ 0 ist der Abstand der Ebene zum Ursprung Abstand Punkt-Ebene

Abstand von Q

d = | −→

P Q · ~n |

| ~n |

P X

Q

O

~n

−−→ XQ

−→ P Q

Projektion von Q

~x = ~q − (~q − ~p) · ~n

| ~n | ² ~n

32

Schnitt zweier Ebenen

cos ϕ = | ~n ₁ · ~n ₂ |

| ~n 1 || ~n 2 | ∈ [0, π/2]

!

n1

!

n2

Richtung der Schnittgeraden g: ~u = ~n 1 × ~n 2

gemeinsame L¨osungen beider Ebenengleichungen Punkte P auf g

2.8 Quadratische Kurven

Ellipse

Punkte P = (x, y) mit konstanter Abstandssumme zu zwei Brennpunkten F _±

| −−→

P F ₋ | + | −−→

P F + | = 2a mit 2a > | −−−→

F ₋ F + |

a x y

b

F

F

P r

ϕ

F _± = ( ± f, 0) Koordinatendarstellung x ² a ² + y ²

b ² = 1, b ² = a ² − f ² bzw.

r ² = b ²

1 − (f /a) ² cos ² ϕ f¨ur die Polarkoordinaten der Punkte P

Parametrisierung

x = a cos t, y = b sin t, t ∈ [0, 2π) Parabel

Punkte P = (x, y) gleichen Abstands von einem Brennpunkt F und einer Leitgerade g

x y

F

P

g

r ϕ

34

F = (0, f ) und g : y = − f Koordinatendarstellung 4f y = x ² bzw.

r = 4f sin ϕ cos ² ϕ f¨ur die Polarkoordinaten der Punkte P

Hyperbel

Punkte P = (x, y) mit konstanter Abstandsdifferenz zu zwei Brennpunkten F _±

| −−→

P F ₋ | − | −−→

P F + | = ± 2a mit 2a < | −−−→ F ₋ F + |

x y

F

F

P r ϕ

a b

F _± = ( ± f, 0) Koordinatendarstellung x ² a ² − y ²

b ² = 1, b ² = f ² − a ² bzw.

r ² = − b ²

1 − (f /a) ² cos ² ϕ f¨ur die Polarkoordinaten der Punkte P

Parametrisierung

x = ± a cosh t, y = b sinh t, t ∈ R

36

Teil 3

Analysis einer Ver¨ anderlichen

38

3.1 Funktionen einer Ver¨ anderlichen

3.1.1 Grundlagen

Funktion

f : D → R , x 7→ f (x)

ordnet jedem Argument x aus dem Definitionsbereich D ⊆ R einen Wert f (x) aus dem Wertebereich W ⊆ R zu

y

x D

W

f

Graph: Paare (x, y) mit y = f(x) Umkehrfunktion

injektive Funktion f : D 3 x → y = f (x) ∈ W

f ^{− 1} : W → D ⊆ R , y 7→ x = f ^{− 1} (y) Graph: Spiegelbild des Graphen von f an der ersten Winkelhalbierenden Rechnen mit Funktionen

punktweise definierte Operationen

• Linearkombination: (rf + sg)(x) = rf (x) + sg(x)

• Produkt und Quotient: (f g)(x) = f(x)g(x), (f /g)(x) = f(x)/g(x)

• Hintereinanderschaltung: (f ◦ g)(x) = f (g(x)) Gerade und ungerade Funktionen

gerade: symmetrisch zur y-Achse, f (x) = f ( − x)

ungerade: punktsymmetrisch zum Ursprung, f(x) = − f( − x) Monotone Funktion

wachsend

x 1 < x 2 = ⇒ f (x 1 ) ≤ f (x 2 )

⇔ f ⁰ ≥ 0 bis auf isolierte Punkte

analog: monoton fallend ( ≤ ↔ ≥ )

Konvexe Funktion

Sekante oberhalb des Graphen

f ((1 − t) x 1 + tx 2 ) ≤ (1 − t) f(x 1 ) + t f (x 2 ), t ∈ (0, 1)

⇔ f ⁰⁰ ≥ 0 bis auf isolierte Punkte Konvexit¨at = ⇒ Stetigkeit

40

3.1.2 Polynome

Polynom

Polynom p vom Grad n

p(x) = a 0 + a 1 x + · · · + a n x ⁿ , a n 6 = 0 reelle oder komplexe Koeffizienten a _k

Lineare Funktion

f (x) = ax + b Graph: Gerade mit Steigung a und y-Achsenabschnitt b

y = ax + b

1 a b

0 x

y

• Punkt-Steigungs-Form: y − y 0

x − x ₀ = a

• Zwei-Punkte-Form: y − y 0

x − x 0

= y 1 − y 0

x 1 − x 0

Quadratische Funktion

f (x) = ax ² + bx + c ⇔ y = a(x − x 0 ) ² + y 0

Graph: Parabel mit Scheitel (x 0 , y 0 ) = ( − b/(2a), − b ² /(4a) + c) Polynomdivision

Division mit Rest

p = f q + r, Grad f = Grad p − Grad q ≥ 0, Grad r < Grad q p(t) = 0, q(x) = (x − t) = ⇒ r = 0, d.h. p(x) = f (x)(x − t)

Faktorisierung von Polynomen

Linearfaktoren zu komplexen Nullstellen z k

p(z) = c(z − z 1 ) · · · (z − z n )

Paare komplex konjugierter Nullstellen x k ± iy k reelle quadratische Faktoren

(z − x k − iy k )(z − x k + iy k ) = (z − x k ) ² + y _k ²

Interpolationspolynom in Lagrange-Form p(x _k ) = f _k = ⇒

p(x) = X n

k=0

f k q k (x), q k (x) = Y

j 6 =k

x − x j

x k − x j

linearer Interpolant (n = 1)

p(x) = f 0

x 1 − x x 1 − x 0

+ f 1

x − x 0

x 1 − x 0

42

3.1.3 Rationale Funktionen

Rationale Funktion Quotient zweier Polynome

r(x) = p(x)

q(x) = a 0 + a 1 x + · · · + a m x ^m b 0 + b 1 x + · · · + b n x ⁿ irreduzibel, wenn p und q keinen gemeinsamen Linearfaktor besitzen Polstellen: Nullstellen des Nenners, Ordnung entspricht der Vielfachheit Partialbruchzerlegung

Zerlegung entsprechend der Polstellen z j (Ordnung m j ) r(z) = p(z)

q(z) = f (z) + X

j

r j (z), r j (z) = a j,1

z − z _j + ... + a j,m

(z − z _j ) ^m

Grad f = Grad p − Grad q (f = 0, falls Z¨ahlergrad < Nennergrad)

Berechnungsmethoden

• Multiplikation mit

q(z) = c Y

j

(z − z _j ) ^m

und Vergleich der Koeffizienten von z ^k

• Multiplikation mit (z − z j ) ^m

und Setzen von z = z j Koeffizient a j,m

; rekursive Anwendung nach Subtraktion bereits bestimmter Terme

Reelle Partialbruchzerlegung

reelle Polstellen x j (Vielfachheit m j ) und komplex-konjugierte Polstellen u k ± iv k (Vielfachheit n k ) r(x) = p(x)

q(x) = f (x) + X

j m

X

ν=1

a _j,ν

(x − x j ) ^ν + X

k n

X

µ=1

b _k,µ (x − u _k ) + c _k,µ ((x − u k ) ² + v _k ² ) ^µ Grad f = Grad p − Grad q (f = 0 falls Z¨ahlergrad < Nennergrad)

Berechnungsmethoden

• Multiplikation mit

q(z) = c Y

j

(z − x j ) ^m

Y

k

((x − u k ) ² + v ² _k ) ⁿ

und Vergleich der Koeffizienten von z ^`

• Zusammenfassen komplex-konjugierter Terme der komplexen Partialbruchzerlegung

3.1.4 Trigonometrische Funktionen

Sinus und Kosinus

1 1

0 cos t 1

si n t

t

−2π −π 0 π 2π

− 2

−1 0 1 2

co s t

sin t

Identit¨aten

• cos t = sin(t + π/2),

• cos t = cos( − t), sin t = − sin( − t),

• sin ² t + cos ² t = 1.

spezielle Werte

0 ^π ₆ ^π ₄ ^π ₃ ^π ₂ sin 0 ¹ ₂ ¹ ₂ √

2 ¹ ₂ √ 3 1 cos 1 ¹ ₂ √

3 ¹ ₂ √

2 ¹ ₂ 0

Formel von Euler-Moivre

cos t + i sin t = exp(it), t ∈ R

Sinus und Kosinus: Real- und Imagin¨arteil komplexer Zahlen mit Betrag 1

cos t = Re e ^it = 1

2 e ^it + e ^{− it} sin t = Im e ^it = 1

2i e ^it − e ^{− it} Additionstheoreme von Sinus und Kosinus

• cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β

• sin(α + β) = sin β cos α + sin α cos β

insbesondere: cos(2α) = cos ² α − sin ² α, sin(2α) = 2 sin α cos α

44

Tangens und Cotangens

tan t = sin t

cos t , cot t = cos t sin t spezielle Werte

0 ^π ₆ ^π ₄ ^π ₃ ^π ₂

tan 0 ¹ ₃ √

3 1 √

3 nicht def.

cot nicht def. √

3 1 ¹ ₃ √

3 0

Arkusfunktionen

Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen

arccos : [ − 1 . . . 1] → [π . . . 0]

arcsin : [ − 1 . . . 1] → [ − π/2 . . . π/2]

arctan : [ −∞ . . . ∞ ] → [ − π/2 . . . π/2]

Harmonische Schwingung

x(t) = c cos(ωt − δ)

Amplitude c ≥ 0, Phasenverschiebung δ, Frequenz ω bzw. Periode T = 2π/ω

c

T= 2π/ω δ/ω

x

t

¨aquivalente Darstellungen

x(t) = Re c exp(i(ωt − δ)) = a cos(ωt) + b sin(ωt) mit a = c cos(δ), b = c sin(δ)

Uberlagerung harmonischer Schwingungen gleicher Frequenz ¨

X 2 k=1

c k cos(ωt − δ k ) = c cos(ωt − δ) mit c = p

c ² ₁ + 2 cos(δ ₁ − δ ₂ )c ₁ c ₂ + c ² ₂

alternative Darstellung x k (t) = a k cos(ωt) + b k sin(ωt) c = p

(a 1 + a 2 ) ² + (b 1 + b 2 ) ² Modulierte Schwingung

X 2 k=1

c _k e ^iω

^t = c(t)e ^{i¯ ωt} , c(t) = c ₁ e ^i∆ωt + c ₂ e ^−i∆ωt mit ¯ ω = (ω 1 + ω 2 )/2 und ∆ω = (ω 1 − ω 2 )/2

periodisch bei rationalem Frequenzverh¨altnis ω 1 /ω 2

46

3.1.5 Exponentialfunktionen

Exponentialfunktion

y = e ^x = exp(x), e = 2.71828...

replacemen

y= exp(x)

−2 −1 0 1 2

0 1 2 3 4 5 6 7

Funktionalgleichung

e ^x+y = e ^x e ^y insbesondere: e ^{− x} = 1/e ^x

Verzinsung

Endkapital bei Startkapital x nach n-facher Aus- bzw. Einzahlung einer Rate r (r < 0 bzw. r > 0) und einem Zinsfaktor (1 + p)

y = (1 + p) ⁿ x + (1 + p) ⁿ − 1

p r

effektiver Jahreszins bei monatlicher Verzinsung mit Zinsfaktor 1 + p m

p j = (1 + p m ) ¹² − 1 ≥ 12p m

Nat¨ urlicher Logarithmus

Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

y = e ^x ⇔ x = ln y PSfrag

0 1 2 3 4 5 6 7

− 2

− 1 0 1 2

y = ln x

Funktionalgleichung

ln(xy) = ln x + ln y insbesondere: ln(1/x) = − ln x

Allgemeine Potenzfunktion und Logarithmus

y = a ^x = exp(x ln a), a > 0 Umkehrfunktion

x = log _a y, y > 0 Zehner- und dualer Logarithmus: log = log ₁₀ , ld = log ₂

Rechenregeln f¨ ur Potenzen und Logarithmen

a ^s+t = a ^s a ^t , log _a x + log _a y = log _a (xy), a ^{s − t} = a ^s /a ^t , log _a x − log _a y = log _a (x/y), (a ^s ) ^t = a ^st log _a x ^t = t log _a x Umrechnung zwischen verschiedenen Basen

log _b x = log _b a log _a x

Hyperbelfunktionen

cosh x = e ^x + e ^−x

2 , sinh x = e ^x − e ^−x

2 , tanh x = sinh x

cosh x = 1/coth x

y = sinh x y = cosh x

− 4 − 2 0 2 4

− 3

− 2

− 1 0 1 2 3

y = tanh x y = coth x

− 3 − 2 − 1 0 1 2 3

− 2

− 1 0 1 2

48

Hyperbolische Identit¨ aten

sinh( − x) = − sinh x cosh( − x) = cosh x

sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y

cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y

cosh ² x − sinh ² x = 1

3.2 Konvergenz und Grenzwerte

3.2.1 Folgen

Grenzwert einer Folge

a = lim _n→∞ a n ⇔

∀ ε > 0 ∃ n ε ∀ n > n ε : | a n − a | < ε

Rechenregeln f¨ ur Grenzwerte bei Folgen

a _n → a und b _n → b = ⇒

• lim

n→∞ (a _n ± b _n ) = a ± b

• lim

n→∞ (a n b n ) = ab

• lim

n →∞ (a n /b n ) = a/b, falls b 6 = 0 Cauchy-Kriterium

Konvergenz von (a n ) ⇔

∀ ε > 0 ∃ n ε ∀ j, k > n ε : | a j − a k | < ε

Monotone Konvergenz einer Folge

a n ≤ a n+1 ≤ · · · ≤ c = ⇒ Konvergenz gegen Grenzwert a ≤ c

analog: Konvergenz monoton fallender, nach unten beschr¨ankter Folgen Uneigentliche Grenzwerte

lim _n→∞ a n = ∞ ⇔

∀ a > 0 ∃ n a ∀ n > n a : a n > a analog: a n → −∞

Limes Inferior und Limes Superior

lim

n →∞

a n = lim

n →∞ a n , a n = inf

k ≥ n a k n→∞ lim a n = lim

n→∞ a n , a n = sup

k≥n

a k

lim

n →∞ a n = a = lim

n →∞ a n = ⇒ Konvergenz von (a n ) gegen a

50

Vergleichskriterium f¨ ur Folgen

lim a n = a, lim c n = c und a n ≤ b n ≤ c n f¨ur n > n 0 = ⇒

a ≤ lim b _n ≤ lim b _n ≤ c a = c = ⇒ Konvergenz von (b n )

H¨ aufungspunkt einer Folge

Grenzwert a einer konvergenten Teilfolge von (a n )

⇔ jedes Intervall (a − ε, a + ε), ε > 0, enth¨alt unendlich viele Folgenelemente Rekursive Approximation von Pi

a n , b n : halbe Umf¨ange der um- bzw. einbeschriebenen (6 · 2 ⁿ )-Ecke eines Einheitskreises rekursiv definierte, gegen π = 3.1415926535897932 . . . konvergene Folgen

a n+1 = 2a n b n

a n + b n

, b n +1 = p

a n+1 b n , a 0 = 2 √

3 , b 0 = 3

Spezielle Grenzwerte von Folgen

a n a = lim

n →∞ a n

√

n 1

n ^α q ⁿ , | q | < 1 0 n ^{− α} ln n , α > 0 0

q ⁿ /n! 0

n!/n ⁿ 0

(1 + 1/n) ⁿ e

(1 − 1/n) ⁿ 1/e

3.2.2 Reihen

Grenzwert einer Reihe

Konvergenz ⇔ Konvergenz der Partialsummen s =

X ∞ k=0

a k ⇔ s = lim

n →∞

X n k=0

a k

notwendig: lim _n→∞ a n = 0 Geometrische Reihe

1 + q + q ² + q ³ + · · · = 1

1 − q , | q | < 1 Harmonische Reihe

1 1 + 1

2 + 1

3 + · · · = ∞ allgemeiner: P _∞

n=1 n ^−α , Konvergenz ⇔ α > 1 Absolut konvergente Reihen

Konvergenz von

X ∞ n=0

| a n |

= ⇒ Konvergenz von P _∞

n=0 a n , beliebige Umordnung der Summanden m¨oglich Majorante und Minorante einer Reihe

X

n

| b n | < ∞ = ⇒ X

n

| a n | < ∞ falls | a n | ≤ c | b n | , n ≥ n 0

umgekehrt: Divergenz von P

n | b n | = ⇒ Divergenz von P

n | a n | , falls | a n | ≥ c | b n | f¨ur alle bis auf endlich viele n

Quotientenkriterium

a n+1

a _n

≤ q ∈ (0, 1), n > n 0

= ⇒ absolute Konvergenz von P

n a n

alternativ: lim _n→∞ | a n+1 | / | a n | = q ∈ (0, 1) a n+1

a n

≥ 1, n > n ₀

= ⇒ Divergenz von P

n a n

52

Wurzelkriterium

p

| a _n | ≤ q < 1, n > n ₀

= ⇒ absolute Konvergenz P a n

alternativ: lim n →∞

p | a n | = q < 1

p

| a _n | ≥ 1, n > n ₀

= ⇒ Divergenz von P a n

Leibniz-Kriterium

(a k ) monotone Nullfolge = ⇒ Konvergenz der alternierenden Reihe X ∞

k=0

( − 1) ^k a _k = a ₀ − a ₁ + a ₂ − a ₃ ± · · · Reihenrest: | P _∞

k=n+1 . . . | ≤ | a n+1 | Eulersche Zahl

n→∞ lim

1 + 1 n

n

= e = X ∞ n=0

1

n! , e = 2.71828182845905 . . . Spezielle Reihen

X ∞ k=0

aq ^k = a + aq + aq ² + · · · = a

1 − q , | q | < 1 X ∞

k=1

( − 1) ^{k − 1} 1

k = 1 − 1 2 + 1

3 − 1

4 ± · · · = ln 2 X ∞

k=1

1

k ² = 1 + 1 2 ² + 1

3 ² + · · · = π ² 6 X ∞

k=0

1

k! = 1 + 1 1! + 1

2! + 1

3! + · · · = e

3.2.3 Stetigkeit

Stetigkeit

x n → a = ⇒ f (x n ) → f (a) ⇔

∀ ε > 0 ∃ δ ε : | f(x) − f(a) | < ε f¨ur | x − a | < δ ε

Einseitige Stetigkeit

x lim → a − f(x) = f ⁻ (a), lim

x → a+ f (x) = f ⁺ (a) Regeln f¨ ur stetige Funktionen

f und g stetig = ⇒

f ± g, f /g (g 6 = 0), f ◦ g stetig

Zwischenwertsatz

Annahme aller Werte zwischen f (a) und f(b) f¨ur stetige Funktionen Satz vom Maximum und Minimum

Existenz von Minimum und Maximum f¨ur stetige Funktionen auf einem endlichen abgeschlossenen Intervall Gleichm¨ aßige Stetigkeit

∀ ε > 0 ∃ δ ε : | f (x) − f(a) | < ε f¨ur | x − a | < ε (δ ε unabh¨angig von a)

54

3.3 Differentiation

3.3.1 Grundbegriffe

Ableitung

f ⁰ (a) = lim

h→0

f (a + h) − f (a) h

alternative Schreibweisen: f ⁰ (x) = dy/dx = (d/dx)f (x) Tangente: y = f (a) + f ⁰ (a)(x − a)

Linearit¨ at der Ableitung

(rf ) ⁰ = rf ⁰ (r ∈ R ), (f ± g) ⁰ = f ⁰ ± g ⁰ Ableitungen von Grundfunktionen

f (x) f ⁰ (x) f(x) f ⁰ (x)

c 0 x ^r , r 6 = 0 rx ^{r − 1}

e ^x e ^x ln | x | 1

x

sin x cos x arcsin x 1

√ 1 − x ²

cos x − sin x arccos x − 1

√ 1 − x ²

tan x tan ² x + 1 arctan x 1 1 + x ² cot x − 1

sin ² x arccot x − 1

1 + x ²

3.3.2 Ableitungsregeln

Produktregel

(f g) ⁰ = f ⁰ g + f g ⁰ Quotientenregel

f g

₀

= f ⁰ g − f g ⁰ g ² insbesondere: (1/g) ⁰ = − g ⁰ /g ²

Kettenregel

d

dx f(g(x)) = f ⁰ (g(x))g ⁰ (x) bzw. mit f (y) = z, g(x) = y

dz dx = dz

dy dy dx Ableitung der Umkehrfunktion

y = f (x), x = f ^{− 1} (y) = ⇒

(f ^{− 1} ) ⁰ (y) = f ⁰ (x) ^{− 1} bzw. dx/dy = (dy/dx) ^{− 1}

Logarithmische Ableitung

f ⁰ (x) = f (x) d

dx ln | f(x) | (f 6 = 0) Differentiation von Funktionen der Form y = g(x) ^h(x) mit g(x) > 0

56

3.3.3 Anwendungen

Satz von Rolle

f (a) = f (b) = ⇒ f ⁰ (c) = 0 f¨ur ein c ∈ (a, b)

allgemeiner: n Nullstellen von f einschließlich Vielfachheiten mindestens n − k Nullstellen von f ^(k) Mittelwertsatz

f (b) − f(a) = f ⁰ (t)(b − a) f¨ur ein t ∈ (a, b) Landau-Symbole

f (x) = O(g(x)) ⇔ | f(x) | ≤ c | g(x) | f¨ur x → x ₀

f (x) = o(g(x)) ⇔ lim

x → x

| f (x) | / | g(x) | = 0 Fehlerfortpflanzung

absoluter Fehler

| ∆y | = | f ⁰ (x) || ∆x | + o(∆x) relativer Fehler

| ∆y |

| y | =

| f ⁰ (x) | | x |

| y |

| ∆x |

| x | + o(∆x) Absch¨atzung mit Hilfe geeigneter Schranken f¨ur f ⁰

Regel von l’Hospital

f (a) = 0 = g(a) oder | f (a) | = ∞ = | g(a) | = ⇒

x lim → a

f (x) g(x) = lim

x → a

f ⁰ (x) g ⁰ (x) ,

falls der rechte Grenzwert existiert (gegebenenfalls im uneigentlichen Sinn)

3.3.4 Taylor-Entwicklung

Taylor-Polynom

p n (x) = f (a) + f ⁰ (a)(x − a) + · · · + f ⁽ⁿ⁾ (a)

n! (x − a) ⁿ interpoliert Ableitungen von f

Restglied

R = f (x) − p n (x) = f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (t)

(n + 1)! (x − a) ⁿ⁺¹ f¨ur ein t zwischen a und x.

Newton-Verfahren

x _{`+1</sub> = x <sub>`} − f (x _{`</sub> )/f <sup>0</sup> (x <sub>`} ) quadratische Konvergenz gegen Nullstelle x _∗ von f

| x `+1 − x <sub>∗</sub> | ≤ c | x ` − x _∗ | ²

Taylor-Reihe

f(x) = X ∞ n=0

c n (x − a) ⁿ , c n = 1

n! f ⁽ⁿ⁾ (a) Konvergenz in einem Intervall (a − r, a + r) mit

r =

n lim →∞ | c n | ^1/n ₋ 1

Binomialreihe

(1 + x) ^α = X ∞

k=0

α k

x ^k = 1 + αx + α(α − 1)

2! x ² + α(α − 1)(α − 2)

3! x ³ + · · · konvergent f¨ur | x | < 1

Differentiation und Integration von Taylor-Reihen

f (x) = P _∞

k=0 c k (x − a) ^k

f ⁰ (x) = X ∞

k=0

(k + 1)c k+1 (x − a) ^k Z

f (x)dx = c + X ∞

k=1

c k − 1

k (x − a) ^k

58

Multiplikation von Taylor-Reihen

X ∞ k=0

f k (x − a) ^k

! _∞ X

k=0

g k (x − a) ^k

!

= X ∞ k=0

c k (x − a) ^k mit c k = P k

j=0 f k − j g j

Division von Taylor-Reihen

Koeffizienten von

q(x) = X ∞ k=0

f k (x − a) ^k /

X ∞ k=0

g k (x − a) ^k , g 0 6 = 0, durch Koeffizientenvergleich aus der Identit¨at

(q 0 + q 1 u + . . .)(g 0 + g 1 u + . . .) = f 0 + f 1 u + . . . , u = x − a

Taylor-Entwicklung der Umkehrfunktion

Berechnung der Taylor-Koeffizienten der Umkehrfunktion g von f mit f ⁰ (a) 6 = 0 im Punkt b = f(a) ⇔ a = g(b) durch Differentiation von

g(f(x)) = x , d.h.

g ⁰ (b) f ⁰ (a) = 1 → g ⁰ (b), g ⁰⁰ (b) f ⁰ (a) ² + g ⁰ (b) f ⁰⁰ (a) = 0 → g ⁰⁰ (b), . . . Spezielle Taylor-Reihen

e ^x = X ∞ k=0

x ^k

k! = 1 + x + x ²

2! + · · · x ∈ R

ln(1 + x) = X ∞ k=1

( − 1) ^k+1 x ^k

k = x − x ² 2 + x ³

3 ± · · · − 1 < x ≤ 1

sin x = X ∞ k=0

( − 1) ^k x ^2k+1

(2k + 1)! = x − x ³ 3! + x ⁵

5! ± · · · x ∈ R

cos x = X ∞ k=0

( − 1) ^k x ^2k

(2k)! = 1 − x ² 2! + x ⁴

4! ± · · · x ∈ R

arctan x = X ∞ k=0

( − 1) ^k x ^2k+1

2k + 1 = x − x ³ 3 + x ⁵

5 ± · · · | x | < 1

3.3.5 Funktionsuntersuchung

Extremwert

x y

D

globale Extrema lokale Extrema

Extremwerte nur an den Nullstellen der Ableitung, Unstetigkeitsstellen oder Randpunkten Extremwerttest

f ⁰ (a) = 0 , f ⁰⁰ (a) > 0 (f ⁰⁰ (a) < 0)

= ⇒ lokales Minimum (Maximum) bei a allgemeiner: Extremstelle, falls

f ⁰ (a) = f ⁰⁰ (a) = · · · = f ^{(n − 1)} (a) = 0 und f ⁽ⁿ⁾ (a) 6 = 0 , mit n gerade

lokales Maximum (Minimum), falls f ⁽ⁿ⁾ (a) < 0 (f ⁽ⁿ⁾ (a) > 0) Wendepunkte

Nullstelle a von f ⁰⁰ mit Vorzeichenwechsel hinreichend: f ⁰⁰⁰ (a) 6 = 0

Asymptoten

lineare Funktion p(x) = ax + b mit

f(x) − p(x) → 0 f¨ur x → ∞ oder x → −∞

60

Kurvendiskussion

Bestimmung qualitativer Merkmale einer Funktion

• Symmetrien

• Periodizit¨at

• Unstetigkeitsstellen

• Nullstellen ( → Vorzeichen)

• Extrema ( → Monotoniebereiche)

• Wendepunkte ( → Konvexit¨atsbereiche)

• Polstellen

• Asymptoten

3.4 Integration

3.4.1 Bestimmtes und unbestimmtes Integral

Riemann-Integral

Z b a

f(x) dx = lim

| ∆ |→ 0

Z b a

f ∆ = lim

| ∆ |→ 0

X

k

f(ξ k ) ∆x k

mit ∆ : a = x 0 < x 1 < · · · < x n = b einer Zerlegung von [a, b], ∆x k = x k − x _k−1 , | ∆ | der maximalen L¨ange der Teilintervalle und ξ k einem beliebigem Punkt im k-ten Intervall

Eigenschaften des Integrals

• Linearit¨at:

Z

rf = r Z

f , Z

f + g = Z

f + Z

g

• Monotonie: f ≤ g = ⇒ Z

f ≤ Z

g

• Additivit¨at:

Z b a

f + Z c

b

f = Z c

a

f , insbesondere R a

b f = − R b a f Mittelwertsatz der Integralrechnung

g ohne Vorzeichenwechsel = ⇒

Z b a

f g = f (c) Z b

a

g f¨ur ein c ∈ [a, b]

insbesondere: R b

a f = (b − a)f(c) Stammfunktion

Z

f(x) dx = F (x) + c, F ⁰ = f beliebige Integrationskonstante c

Stammfunktionen einiger Grundfunktionen

f (x) F (x) f (x) F (x)

x ^s , s 6 = − 1 x ^s+1 /(s + 1) 1/x ln | x | exp(x) exp(x) ln(x) x ln(x) − x

sin x − cos x cos x sin x

tan x − ln(cos x) sin x cos x sin ² (x)/2 1/(1 + x ² ) arctan x 1/ √

1 − x ² arcsin x

62

Hauptsatz der Integralrechnung

Z b a

f(x) dx = [F ] ^b _a = F (b) − F (a), F ⁰ = f

3.4.2 Integrationsregeln

Partielle Integration

Z

f ⁰ (x)g(x)dx = f (x)g(x) − Z

f(x)g ⁰ (x) dx entsprechende Formel f¨ur bestimmte Integrale

Z b a

f ⁰ g = [f g] ^b _a − Z b

a

f g ⁰

kein Randterm f¨ur periodische Funktionen mit Periodenl¨ange (b − a) und wenn eine der beiden Funktionen an den Intervallendpunkten Null ist

Dirac- und Heaviside-Funktion

Z

R

δf = f (0) verallgemeinerte Ableitung der Heavisideschen Sprungfunktion

δ = H ⁰ , H(x) =

 



 

1, f¨ur x > 0 0, sonst

Variablensubstitution

Substitution y = g(x) Z

f (g(x))g ⁰ (x) dx = F (y) + c = Z

f (y) dy

bzw. Z b

a

f(g(x)) g ⁰ (x)

| {z }

dy/dx

dx = F (g(b)) − F (g(a)) = Z g(b)

g(a)

f (y) dy f¨ur bestimmte Integrale

64

3.4.3 Rationale Integranden

Elementare rationale Integranden

Z dx

ax + b = 1

a ln | x + b/a | + c Z dx

(x − a) ² + b ² = 1

b arctan

x − a b

+ c Z (x − a)dx

(x − a) ² + b ² = 1

2 ln((x − a) ² + b ² ) + c Elementare rationale Integranden mit mehrfachen Polstellen

Z

(x − a) ^{− n − 1} dx = − 1

n (x − a) ^{− n} + c

rekursive Berechnung bei quadratischen Faktoren q(x) = (x − a) ² + b ² f¨ur mehrfache komplex konjugierte Polstellen Z

c(x − a) + d

q(x) ⁿ⁺¹ dx = − c

2n q(x) ⁿ + d(x − a)

2b ² n q(x) ⁿ + d(2n − 1) 2b ² n

Z dx q(x) ⁿ Partialbruchzerlegung

Darstellung als Summe der drei elementaren Grundtypen ax ⁿ , c

(ax + b) ⁿ , c(x − a) + d

((x − a) ² + b ² ) ⁿ

3.4.4 Trigonometrische Integranden

Integration trigonometrischer Polynome

Z X

|k|≤n

c _k e ^ikx dx = c + c ₀ x + X

06=|k|≤n

c k

ik e ^ikx , Z π

π

. . . = 2πc ₀

Integration von Polynomen in sin(kx) und cos(kx) mit Hilfe der Formel von Euler-Moivre Trigonometrische Substitutionen

Substitutionen f¨ur algebraische Integranden

x = a sin t : dx = a cos t dt √

a ² − x ² = a cos t x = a tan t : dx = a/ cos ² t dt √

a ² + x ² = a/ cos t x = a/ cos t : dx = a sin t/ cos ² t dt √

x ² − a ² = a tan t Rationale Funktionen von Sinus und Kosinus

Substitution x = tan(t/2) Z

r(cos t, sin t) dt = Z

r

1 − x ² 1 + x ² , 2x

1 + x ² 2

1 + x ² dx f¨ur eine beliebige rationale Funktion r

66

3.4.5 Uneigentliche Integrale

Uneigentliches Integral

Singularit¨at bei b (b = ∞ oder unbeschr¨ankter Integrand) Z b

a

f = lim

c→b−

Z c a

f Singularit¨at an beiden Grenzen:

Grenzwert muss unabh¨angig von der Wahl der Folgen c → a+, d → b − sein hinreichend: absolute Intergrierbarkeit, d. h.

Z d

c | f (x) | ≤ const f¨ur alle Teilintervalle [c, d] ⊂ (a, b)

Vergleichskriterium f¨ ur uneigentliche Integrale

g absolut integrierbar, | f(x) | ≤ c | g(x) | , a < x < b (Majorante)

= ⇒ absolute Integrierbarkeit von f auf [a, b]

Gamma-Funktion

Γ(x) = Z _∞

0

t ^{x − 1} e ^{− t} dt, x ∈ (0, ∞ ) Funktionalgleichung

Γ(x + 1) = xΓ(x) insbesondere Γ(n + 1) = n!

einfache Pole f¨ur x = 0, − 1, . . .

68

Teil 4

Lineare Algebra

70

4.1 Grundlegende Strukturen

4.1.1 Gruppen und K¨ orper

Gruppe

Menge G mit bin¨arer Operation : G × G 7−→ G

• Assoziativit¨at: (a b) c = a (b c)

• Neutrales Element: ∃ ! e ∈ G: e a = a e = a

• Inverses Element: a a ⁻¹ = a ⁻¹ a = e kommutativ oder abelsch ⇔ a b = b a Untergruppe

Teilmenge U einer Gruppe G

abgeschlossen unter der Gruppenoperation von G, d.h.

a, b ∈ U = ⇒ a b ∈ U, a ∈ U = ⇒ a ^{− 1} ∈ U

Permutationen und symmetrische Gruppe

Gruppe S n der Bijektionen auf { 1, 2, . . . , n } π =



 1 2 3 . . . n

π(1) π(2) π(3) . . . π(n)





n! Elemente

Zyklenschreibweise von Permutationen

Zyklus: Bilder eines Elementes bei mehrfacher Ausf¨uhrung der Permutation Zerlegung von π ∈ S n , z.B.

π =



 1 2 3 4 5 6 4 3 2 6 5 1



 ≡ (1 4 6) (2 3) (5) bzw. π = (1 4 6) (2 3)

Transposition und Signum einer Permutation

τ = (j k): Vertauschung von j und k Produktdarstellung von Permutationen

π = τ 1 ◦ · · · ◦ τ m

Vorzeichen (Signum) einer Permutation: σ(π) = ( − 1) ^m

K¨ orper

Menge K , auf der eine Addition + und eine Multiplikation · definiert sind

• (K, +): abelsche Gruppe mit neutralem Element 0

a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c)

a + 0 = a a + ( − a) = 0

• (K \{ 0 } , · ): abelsche Gruppe mit neutralem Element 1 a · b = b · a (a · b) · c = a · (b · c)

a · 1 = a a · a ^{− 1} = 1

• Distributivgesetz: a · (b + c) = a · b + a · c

Primk¨ orper

Z p = { 0, 1, . . . , p − 1 } , p : Primzahl K¨orper unter Addition und Multiplikation modulo p

Chinesischer Restsatz

Kongruenzen

x = a 1 mod p 1

. . .

x = a n mod p n

eindeutige L¨osung x ∈ { 0, . . . , P − 1 } , P = p 1 · · · p n , f¨ur teilerfremde Zahlen p 1 , . . . , p n

x = X n k=1

a k Q k (P/p k ) mod P, Q k (P/p k ) = 1 mod p k

72

4.1.2 Vektorr¨ aume

Vektorraum

abelsche Gruppe (V, +), auf der eine Skalarmultiplikation · mit Elementen aus einem K¨orper K mit den folgenden Eigenschaften definiert ist

(λ 1 + λ 2 ) · v = λ 1 · v + λ 2 · v λ · (v ₁ + v ₂ ) = λ · v ₁ + λ · v ₂

(λ 1 · λ 2 ) · v = λ 1 · (λ 2 · v) 1 · v = v

Vektorraum der n-Tupel

K ⁿ : a =



 

 a 1

...

a n



 

 = (a ₁ , . . . , a _n ) ^t , a _i ∈ K komponentenweise definierte Addition und Skalarmultiplikation



 

 a 1

...

a n



 

 +



 

 b 1

...

b n



 

 =



 



a 1 + b 1

...

a n + b n



 

 , λ ·



 

 a 1

...

a n



 

 =



 

 λ · a 1

...

λ · a n



 



R ⁿ ( C ⁿ ): n-Tupel reeller (komplexer) Zahlen Unterraum

Teilmenge U eines K -Vektorraums V , die bzgl. der Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist:

u, v ∈ U = ⇒ u + v ∈ U λ ∈ K, u ∈ U = ⇒ λ · u ∈ U Linearkombination

λ 1 · v 1 + λ 2 · v 2 + · · · + λ m · v m = X m

i=1

λ i · v i

lineare H¨ulle span(U ): Menge aller Linearkombinationen von Elementen aus U Konvexkombination

λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + · · · + λ m v m , λ i ≥ 0, X

i

λ i = 1

konvexe H¨ulle conv(U ): Menge aller Konvexkombinationen von Vektoren aus U

4.1.3 Skalarprodukt und Norm

Reelles Skalarprodukt

Bilinearform h· , ·i : V × V → R auf einem reellen Vektorraum V mit folgenden Eigenschaften

• Positivit¨at:

h v, v i > 0 f¨ur v 6 = 0

• Symmetrie:

h u, v i = h v, u i

• Linearit¨at:

h λu + %v, w i = λ h u, w i + % h v, w i

Skalarprodukt reeller Vektoren

v ^t w = v 1 w 1 + · · · + v n w n = | v || w | cos α mit α ∈ [0, π] dem kleineren der beiden Winkel zwischen v und w assoziierte Norm

| v | = q

v ₁ ² + · · · + v ² _n Komplexes Skalarprodukt

Abbildung h· , ·i : V × V → C auf einem komplexen Vektroraum V mit folgenden Eigenschaften

• Positivit¨at:

h v, v i > 0 f¨ur v 6 = 0

• Schiefsymmetrie:

h u, v i = h v, u i

• Linearit¨at:

h λu + %v, w i = λ h u, w i + % h v, w i

Skalarprodukt komplexer Vektoren

y ^∗ x = x 1 y ¯ 1 + · · · + x n y ¯ n

assoziierte Norm

| z | = p

| z ₁ | ² + · · · + | z _n | ²

74

Cauchy-Schwarz-Ungleichung

|h u, v i| ≤ | u || v | , | w | = p h w, w i Gleichheit genau dann wenn u k v

bei reellem Skalarprodukt Definition eines Winkels α ∈ [0, π] via cos α = h u, v i

| u || v | Norm

Abbildung k · k : V → R mit den folgenden Eigenschaften

• Positivit¨at:

k v k > 0 f¨ur v 6 = 0

• Homogenit¨at:

k λv k = | λ |k v k

• Dreiecksungleichung:

k u + v k ≤ k u k + k v k Norm, assoziiert mit einem Skalarprodukt

| u | = p

h u, v i