¾ Die Wirkung der Reibungskraft
¾ Der thermische Wind
¾ Luftbewegungen bei äquivalent-barotroper Schichtung
Die Wirkung der Reibungskraft
¾ Innerhalb derplanetarischen Grenzschichtbzw.
Reibungsschicht bewirkt die Reibungskraft eine Abbremsung des Windes unter den geostrophischen Wert.
¾ Die Windgeschwindigkeit ist besonders in Bodennähe subgeostrophischund nähert sich bis zur Obergrenze der Reibungsschicht in ungefähr1000bis1500 mHöhe dem geostrophischen Wert an.
¾ Bei verringerter Windgeschwindigkeit ist auch die
Corioliskraft kleiner, deshalb kann sie die Druckgradient- kraft nicht mehr ausbalancieren.
¾ Dann gibt es eine Windkomponenten quer zu den Isobaren in Richtung tieferen Druck.
H
T
Die Wirkung der Reibungskraft
p−2Δp p− Δp
p
p+ Δp
V P
Co F
Die Wirkung der Reibungskraft
Wenn die drei Kräfte im Gleichgewicht sind, gilt
| | | | sinF= P α | | cosP α =|Co| f |= V| | | f |F= V| tanα α
α
|
F| f |
= V| tan
α¾ Der Betrag der Reibungskraft ist vorwiegend von der Windgeschwindigkeit abhängig auch wenn der
Ablenkungswinkel am Boden unterschiedlich sein kann.
¾ Über Landkann man im Mittel einen Ablenkungswinkel von 30°annehmen, wobei das VerhältnisV/Vgetwa0,5beträgt.
¾ Über Seeist der Winkel gegen die Isobaren zumindest in mittleren und höheren Breiten recht gering (10-20°) und die Windgeschwindigkeit erreicht durch-schnittlich70-80%des geostrophischen Wertes.
Einfache Theorie der Reibungsschicht
Ug= (ug, 0) Vb= (ub, vb)
p+ p-
h
Reibung y
x 1 p
y
− ∂ ρ ∂
f(0 , −ug)
2 2 1/ 2
D b b b b
C (u v ) (u , v )
− ρ +
f(vb, −ub) 1 p
y
− ∂ ρ ∂
empirisch - pro Einheitsfläche
Reibungchichtskraft verteilt über der Reibungsschicht
2 2 1/ 2
2 2 1/ 2
D b b b b D
b b b b
C (u v ) (u , v ) C
(u v ) (u , v )
h h
ρ +
− = − +
ρ
2 2 1/ 2 D
b b g b b b b
f (v , u ) f (0, u ) C (u v ) (u , v )
− + − − h + =0
Kraftbilanz in der Reibungsschicht
Zwei Gleichungen für ubund vb Masse der schicht pro Einheitsfläche
2 2 1/ 2 D
b g b b b
2 2 1/ 2 D
b b b b
u u C (u v ) v
fh
v C (u v ) u fh
= − +
= +
Lösung als Übung
Lineare Reibung
b g b
b b
u u v
v u
= − μ
= μ
μ= Reibungskoeffizient
Vereinfachte Lösung
g
b 2
g
b 2
u u 1 v u
1
= + μ
= μ + μ
ug
α vb
ub
b b
tan v
α = u = μ
(ub, vb)
g
b b 2
| (u , v ) | u
=1 + μ
Der thermische Wind
Die hydrostatische Gleichung lautet dp
dz = −ρg
Je größer die Dichte ist, nimmt der Druck um so rascher mit der Höhe ab.
Der Druck nimmt schneller in kalter Luft ab als in warmer Luft.
p(x z t p(x t g x z t dz
z
, , )= , , )0 −
z
0 ρ( , , )′ ′p(x z t p(x t g x z t dz
z
, , )= , , )0 −
z
0 ρ( , ′, ) ′∂
∂x ∂∂ ∂∂ ∂ρ∂
p x
p
x g
x x z t dz
z h z
z
= =
= 0−
z
0 ( , , )′ ′ In Gebieten mit horizontalen Dichtegradienten bzw.Temperaturgradienten ist der horizontale Druckgradient höhenabhängig.
Der geostrophischen Wind ist auch in solchen Gebieten höhenabhängig.
.
V f
p
g x
z
( )0 1
0
= ρ =
∂
∂
V h f
p
x f
p
g x
z h z
( )= >
= =
1 1
ρ 0
∂
∂ ρ
∂
∂
kalt
warm kalt
warm
z = 0
z
=h
z = 0 z
=h
Vg( )0
V hg( ) ∂
∂ p xz h= <0
∂
∂
p
ρz
= −g
fV p
g =
1 x
ρ∂
∂
geostrophisch hydrostatisch
∂
∂z ⇒
f z V
z p
x x
p
z g
g x
∂
∂ ρ ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ρ
( )= = = − ∂
g g
g fV f V
x z z
∂ρ ∂ρ ∂
+ = − ρ
∂ ∂ ∂
g g
fV V
ln ln f
x g z g z
∂ ρ ∂ ρ ∂
+ = −
∂ ∂ ∂
Eine partielle Differentielgleichung erster Ordnung für ln ρ
g g
fV V
ln ln f
x g z g z
∂ ρ ∂ ρ ∂
+ = −
∂ ∂ ∂
z z
c f (x, t)
t x
∂ + ∂ =
∂ ∂
z.B.
p = ρRT ⇒ lnρ =ln p−ln R−ln T
g g g
fV fV V
ln T ln T ln p ln p f
x g z x g z g z
⎛ ⎞ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
+ −⎜ + ⎟=
∂ ∂ ⎝ ∂ ∂ ⎠ ∂
fVg
ln p ln p
x g z 0
∂ + ∂ =
∂ ∂
∂
∂p ρ z = − g
g
p fV
x
∂ = ρ
∂
g g
fV V
ln T ln T f
x g z g z
∂ + ∂ = ∂
∂ ∂ ∂
A B C
1
g 4 g 4 1 7
4
V V 4 0 m s
f 1 0 1 0 s 4 1 0
z z 1 0 m
− − − − −
∂ Δ
≈ × ≈ × ≈ ×
∂ Δ
2 2
7 6
g T 1 0 m s T 1 0 m s 1 0 K
3, 3 1 0 T x 3 0 0 K x 3 0 0 K 1 0 m
− −
∂ ≈ Δ ≈ × ≈ × −
∂ Δ
4 1 2
g 8
4
fV T 10 s 20 m s 65 K
T z 300 K 10 m 5 10
− − −
∂ ≈ − × × ≈ − × −
∂ ×
g g
fV V
g T T
T x T z f z
∂ ∂ ∂
+ =
∂ ∂ ∂
g g
V g T fV T
f z T x T z
∂ = ∂ + ∂
∂ ∂ ∂
vertikale Scherung
horizontale Temperaturgradient
Die thermische Windgleichung
g g
V g T fV T
f z T x T z
∂ = ∂ + ∂
∂ ∂ ∂
relativ kleine
f V z
g
x fV
z
g
g
∂
∂ ρ
∂ρ
∂ ρ
∂ρ
= − − 1 ∂
vertikale Scherung
horizontale Dichtegradient
−1 = 1 ρ
∂ρ
∂z Hs
Andere Form der thermischen Windgleichung
g g
s
V g fV
f z x H
∂ = − ∂ρ −
∂ ρ ∂
Der Form der Gleichung ist einfacher in Druckkoordinaten!
Januar
Juli
warm
isentropen
isotachen African Easterly Jet
Easterly waves over Africa
WV Imagery 17 June 1997 00Z
Die Änderung des geostrophischen Windes zwischen zwei Druck- bzw. Höhenflächen (oberhalb der Reibungsschicht)
bezeichnet man auch alsthermischen Wind.
z
V
g1V
g2V
g2V
T500 m b
700 m b
1000 m b
z700 z500 kalt
warm
Vg(700mb) Vg(500mb)
n-Richtung
zur Erinnerung: Δz = (R T /g) ln (p2 / p1)
∂
∂
∂
∂ z
n
z
m b n m b
5 0 0 7 0 0
>
Wie sieht die Situation in Druckkoordinaten aus?
kalt warm
V g
f z
n V g
f z
mb
n
mb
mb
mb 500
500
700
700
= ∂ > =
∂
∂
∂
Derthermische Windzwischen700 mbund 500 mbergibt sich zu
V V V g
f n z z g
f D
T
=
500mb−
700mb= ∂
500mb−
700mb= n
∂
∂
( ) ∂
D = z500 mb- z700 mb gibt die Schichtdicke zwischen den zwei Druckflächen an.
kalt z700 warm
1000 m b
Vg(700mb)
700 m b 500 m b z500
Vg(500mb)
n-Richtung
V g
f D
T = ∂n >
∂ 0
∂
∂ D
n > 0 Hier
die geostrophische Windgeschwindigkeit nimmt mit der Höhe zu.
z700
1000 m b
Vg(700mb) 700 m b
500 m b
z500 Vg(500mb)
n-Richtung
∂
∂
∂
∂
∂
∂ z
n
z n
z
m b m b n m b
5 0 0 7 0 0 1 0 0 0
= =
Vg(1000m b)
∂
∂ D
n = 0 VT = 0 ∂
∂ T n = 0
barotrope Schichtung
Die allgemein gültige Beziehung für den thermischen Windlautet VT = V2 − V1 =
g
k ∧ ∇ − = k ∧ ∇f z z g
f D
p
(
2 1)
p¾ hat die gleiche Form wie die für den geostrophischen Wind
Vg =
g
k ∧ ∇f
pz
Analog zum geostrophischen Wind,der thermische Wind bläst parallel zu den Schichtdickenlinien(gemittelten Isothermen), oder - anders ausgedrückt, im rechten Winkel zum
Temperaturgradienten.
Auf der Nordhalbkugel liegen die niedrigen Schichtdickenwerte (tiefen Temperaturen) zur Linken.
z
V
g1V
g2V
g2V
TT
+T
T
−Isothermen kalt
warm
Luftbewegungen bei äquivalent- barotroper Schichtung
¾ In erster Näherung sind viele Störungen in der Erdatmosphäre äquivalent-barotrop geschichtet.
¾ Beispiele: Hurrikane, Tiefdruckgebiete und Frontalzonen der mittleren Breiten.
¾ Im folgenden Bildern verlaufen die Isothermen und Isohypsen im Bereich der Frontalzone in allen Druckflächen annähernd in gleicher Richtung - von Südwesten nach Nordosten.
700 mb Isohypsen im 700 mb Niveau am 20 November 1964, 12 Z
Isohypsen im 500 mb Niveau am 20 November 1964, 12 Z
500 mb
Isohypsen im 250 mb Niveau am 20 November 1964, 12 Z
250 mb
V D
r
V D
r
kaltes Hoch warmes Hoch
warmes Tief
isobaric surfa V
D
r
V D
r
kaltes Tief
Dieser Querschnitt ist senkrecht zu den Isothermen und Isohypsen orientiert. Deshalb liegt er senkrecht zur geostrophischen Windrichtung.
bilancierte Wirbeln
1000 700 500 300 100
200
400
600 800 900
Tropopause Stratosphäre
Troposphäre
Struktur eines hohen kalten Tiefs bzw. Höhentroges
p
1000 700 500 300 100 200
Struktur eines hohen kalten Tiefs bzw. Höhentroges Cut-off lowoderupper troughauf englisch
Isentropen Isotachen
r = 0 r
Tropopause Stratosphäre
Troposphäre
Strahlstrom = jet stream
r p
1000 700 500 300 100 200
Isentropen
Isotachen
Tropopause Stratosphäre
Troposphäre
Strahlstrom
r = 0
Struktur eines hohen warmen Hochs, bzw. Höhenrückens
Innerhalb der planetarischen Grenzschicht bzw. Reibungs-schicht bewirkt die Reibungskraft eine Abbremsung des Windes unter den geostrophischen Wert. In dieser Schicht bläst der Wind mit einem Komponent in Richtung tieferen Druck.
1. Der Auswirkung von Reibung
p
-p
+T
H V
Die planetarische Grenzschicht hat typischeweise eine Dicke von etwa 1 - 1.5km (bis zu4km in Wüstengebieten während des Tages auf Grund der thermischen Mischung).
Zusammenfassung 1
Zusammenfassung 2
2. Thermische Windgleichung (differentielle Form)
vertikale Scherung
horizontale Temperaturgradient
relativ klein aber nicht vernachlässigbar
für einedicke Schicht
g g
V g T fV T
f z T x T z
∂ = ∂ + ∂
∂ ∂ ∂
3. Die thermishe Windgleichung (Lösung in Druckkoordinaten) VT = V2 − V1 VT =
g
k ∧ ∇f
pD
Vergleich: Vg =
g
k ∧ ∇f
pz
Zusammenfassung 3
4. Barotrop VT = 0
5. Äquivalent Barotrop - Isothermen und Isohypsen sind in allen Druckflächen in gleicher Richtung
V(p) ändert seine Richtung nicht
V D
r
V D
r
kaltes Hoch warmes Hoch
warmes Tief
6. Bilanzierte Wirbeln
Zusammenfassung 4
isobaric surfaces V
D
r
V D
r
kaltes Tief
