 Die Wirkung der Reibungskraft  Der thermische Wind  Luftbewegungen bei äquivalent-barotroper Schichtung

 Die Wirkung der Reibungskraft

 Der thermische Wind

 Luftbewegungen bei äquivalent-barotroper Schichtung

Die Wirkung der Reibungskraft

 Innerhalb der planetarischen Grenzschicht bzw.

Reibungsschicht bewirkt die Reibungskraft eine Abbremsung des Windes unter den geostrophischen Wert.

 Die Windgeschwindigkeit ist besonders in Bodennähe subgeostrophisch und nähert sich bis zur Obergrenze der Reibungsschicht in ungefähr 1000 bis 1500 m Höhe dem geostrophischen Wert an.

 Bei verringerter Windgeschwindigkeit ist auch die

Corioliskraft kleiner, deshalb kann sie die Druckgradient- kraft nicht mehr ausbalancieren.

 Dann gibt es eine Windkomponenten quer zu den Isobaren in

Richtung tieferen Druck.

H

T

Die Wirkung der Reibungskraft

p  2 p

p   p p p   p

V P

Co F

Die Wirkung der Reibungskraft

Wenn die drei Kräfte im Gleichgewicht sind, gilt

| | | | sin F  P  ^{| | cos P   | Co | f | |  V} | | f | | tan F  V 





| | f | F  V | tan 

 Der Betrag der Reibungskraft ist vorwiegend von der Windgeschwindigkeit abhängig auch wenn der

Ablenkungswinkel am Boden unterschiedlich sein kann.

 Über Land kann man im Mittel einen Ablenkungswinkel von 30° annehmen, wobei das Verhältnis V/V

etwa 0,5 beträgt.

 Über See ist der Winkel gegen die Isobaren zumindest in

mittleren und höheren Breiten recht gering (10-20°) und die

Windgeschwindigkeit erreicht durch-schnittlich 70-80% des

geostrophischen Wertes.

Einfache Theorie der Reibungsschicht

U

= (u

, 0) V

= (u

, v

)

p

p

h

Reibung y

x 1 p

y

 

 

f(0 , u

)

2 2 1/ 2

D b b b b

C (u v ) (u , v )

  

f(v

, u

) 1 p

y

 

 

empirisch - pro Einheitsfläche

Reibungchichtskraft verteilt über der Reibungsschicht

2 2 1/ 2

2 2 1/ 2

D b b b b D

b b b b

C (u v ) (u , v ) C

(u v ) (u , v )

h h

 

   



2 2 1/ 2 D

b b g b b b b

f (v , u ) f (0, u ) C (u v ) (u , v )

    h   0

Kraftbilanz in der Reibungsschicht

Zwei Gleichungen für u

und v

Masse der schicht pro Einheitsfläche

2 2 1/ 2 D

b g b b b

2 2 1/ 2 D

b b b b

u u C (u v ) v fh

v C (u v ) u fh

  

 

Lösung als Übung

Lineare Reibung

b g b

b b

u u v

v u

  

 

 = Reibungskoeffizient

Vereinfachte Lösung

g

b 2

g

b 2

u u

1 v u

1

  

 

 

u

 v

u

b b

tan v

  u  

(u

, v

)

g

b b 2

| (u , v ) | u

 1

 

Der thermische Wind

Die hydrostatische Gleichung lautet ^dp

dz   g

Je größer die Dichte ist, nimmt der Druck um so rascher mit der Höhe ab.

Der Druck nimmt schneller in kalter Luft ab als in warmer Luft.

p(x z t , , )  p(x , , ) ⁰ t  g z ^{0 z } ( , , ) x z t dz  

p(x z t , , )  p(x , , ) ⁰ t  g z ^{0 z } ( , , ) x z t dz  



x











 p

x

p

x g

x x z t dz

z h z

z

 



 z

^{( , , )}   In Gebieten mit horizontalen Dichtegradienten bzw.

Temperaturgradienten ist der horizontale Druckgradient höhenabhängig.

Der geostrophischen Wind ist auch in solchen Gebieten

höhenabhängig.

.

V f

p

g

x

z

( ) 0 1

0









V h f

p

x f

p

g

x

z h z

( )  

 

1 1





 





kalt

warm kalt

warm

z  0 z  h

z  0 z  h

V

( ) 0

V h

( ) 

 p

x

 0



 p  z   g

fV p

g  1 x







geostrophisch hydrostatisch



z 

f z V

z p

x x

p

z g

g

x



  

















( )     

g g

g fV f V

x z z

      

  

g g

fV V

ln ln f

x g z g z

       

  

Eine partielle Differentielgleichung erster Ordnung für ln 

g g

fV V

ln ln f

x g z g z

       

  

z z

c f (x, t)

t x

   

 

z.B.

p   RT  ln   ln p ln R ln T  

g g g

fV fV V

ln T ln T ln p ln p f

x g z x g z g z

  

                

fV

ln p ln p

x g z 0

   

 



 p  z   g

g

p fV x

  



g g

fV V

ln T ln T f

x g z g z

    

  

A B C

g 4 g 4 1 1 7

4

V V 40 ms

f 10 10 s 4 10

z z 10 m

    

 

     

 

2 2

7 6

g T 10 ms T 10 ms 10 K

3, 3 10 T x 300 K x 300 K 10 m

 

      

 

4 1 2

g 8

4

fV T 10 s 20 ms 65 K T z 300 K 10 m 5 10

  

       

 

g g

fV V

g T T

T x T z f z

    

  

g g

V g T fV T

f z T x T z

    

  

vertikale Scherung

horizontale

Temperaturgradient

Die thermische Windgleichung

g g

V g T fV T

f z T x T z

    

  

relativ kleine

f V z

g

x fV

z

g

g



 



 



   1 

vertikale Scherung

horizontale Dichtegradient

 1  1





z H

Andere Form der thermischen Windgleichung

g g

s

V g fV

f z x H

 

  

  

Der Form der Gleichung ist einfacher in Druckkoordinaten!

p

  

 fu , fv

y x

 

  

 

x p p x , y p p y

     

                   

               

    ^{fv ,}    ^fu 

x p y p

   

    

   

v u

f , f

x p y p

   

  

   

g g

V g T fV T

f z T x T z

    

  

Hydrostatisch Geostrophisch

Mathematisch

V-component

Januar

Juli

warm

isentropen

isotachen

African Easterly Jet

Easterly waves over Africa

WV Imagery 17 June 1997 00Z

Die Änderung des geostrophischen Windes zwischen zwei Druck- bzw. Höhenflächen (oberhalb der Reibungsschicht)

bezeichnet man auch als thermischen Wind.

z

V _g1

V _g2

V _g2

V _T

500 mb

700 mb 1000 mb

z

z

kalt

warm

V

( 700 mb ) V

( 500 mb )

n-Richtung zur Erinnerung: ^{z  ( RT g / ) ln( p}

^{/ p}

⁾







 z

n

z

 n

Wie sieht die Situation in Druckkoordinaten aus?

kalt warm

V g f

z

n V g

f

z

mb n

mb

mb

mb 500

500

700

700

   







Der thermische Wind zwischen 700 mb und 500 mb ergibt sich zu

V V V g

f n z z g

f

D

T  ₅₀₀ mb  ₇₀₀ mb   ₅₀₀ mb  ₇₀₀ mb  n





( ) 

D = z

- z

gibt die Schichtdicke zwischen den zwei

Druckflächen an.

kalt ^z

warm

1000 mb

V

( 700 mb )

700 mb 500 mb

z

V

( 500 mb )

n-Richtung

V g

f

D

T

  n 

 0



 D

n  0

Hier

die geostrophische Windgeschwindigkeit nimmt

mit der Höhe zu.

z

1000 mb

V

( 700 mb ) 700 mb

500 mb

z

V

( 500 mb )

n-Richtung











 z

n

z n

z

mb mb

n

500 700 1000

 

V

( 1000 mb )



 D

n  0 V

 0 ^

 T

n  0

barotrope Schichtung

Die allgemein gültige Beziehung für den thermischen Wind lautet

V _T  V ₂  V ₁  g k     k  

f z z g

f D

p ( _{2 1} ) p

 hat die gleiche Form wie die für den geostrophischen Wind V _g  g k  

f _p z

Analog zum geostrophischen Wind, der thermische Wind bläst parallel zu den Schichtdickenlinien (gemittelten Isothermen), oder - anders ausgedrückt, im rechten Winkel zum

Temperaturgradienten.

Auf der Nordhalbkugel liegen die niedrigen Schichtdickenwerte

(tiefen Temperaturen) zur Linken.

z

V _g1

V _g2

V _g2

V _T T ₊

T T _

Isothermen kalt

warm

Luftbewegungen bei äquivalent- barotroper Schichtung

 In erster Näherung sind viele Störungen in der Erdatmosphäre äquivalent-barotrop geschichtet.

 Beispiele: Hurrikane, Tiefdruckgebiete und Frontalzonen der mittleren Breiten.

 Im folgenden Bildern verlaufen die Isothermen und Isohypsen

im Bereich der Frontalzone in allen Druckflächen annähernd in

gleicher Richtung - von Südwesten nach Nordosten.

700 mb

Isohypsen im 700 mb Niveau am 20 November 1964, 12 Z

Isohypsen im 500 mb Niveau am 20 November 1964, 12 Z

500 mb

Isohypsen im 250 mb Niveau am 20 November 1964, 12 Z

250 mb

p

  

g



fV x

 



geostrophisch hydrostatisch

p

 



V

f p p x x p x

     

   

     

g g

fV V

ln ln f

x g z g z

       

  

V

x f p

 

   

Vergleich

RT

  p

Thermischewindgleichung in Druckkoordinaten

p

  

 V

r fV r

  



Gradientwind Bilanz hydrostatisch

p

 



2V V

r f p p r r p r

     

      

       

 

2V V

r r f p

            

Thermischewindgleichung für Gradientwind Bilanz

RT

  p

Thermischewindgleichung für Gradientwind Bilanz

kaltes Hoch warmes Hoch

warmes Tief kaltes Tief

Dieser Querschnitt ist senkrecht zu den Isothermen und Isohypsen orientiert. Deshalb liegt er senkrecht zur geostrophischen Windrichtung.

bilancierte Wirbeln

1000 700 500 300 100

200

400

600 800 900

Tropopause Stratosphäre

Troposphäre

Struktur eines hohen kalten Tiefs bzw. Höhentroges

p

1000 700 500 300 100 200

Struktur eines hohen kalten Tiefs bzw. Höhentroges Cut-off low oder upper trough auf englisch

Isentropen Isotachen r = 0 r

Tropopause Stratosphäre

Troposphäre

Strahlstrom = jet stream

r

p

1000 700 500 300 100 200

Isentropen

Isotachen

Tropopause Stratosphäre

Troposphäre

Strahlstrom

r = 0

Struktur eines hohen warmen Hochs, bzw. Höhenrückens

Innerhalb der planetarischen Grenzschicht bzw. Reibungs-schicht bewirkt die Reibungskraft eine Abbremsung des Windes unter den geostrophischen Wert. In dieser Schicht bläst der Wind mit einem Komponent in Richtung tieferen Druck.

1. Der Auswirkung von Reibung

p _- p ₊ T

H

V

Die planetarische Grenzschicht hat typischeweise eine Dicke von etwa 1 - 1.5 km (bis zu 4 km in Wüstengebieten während des Tages auf

Zusammenfassung 1

Zusammenfassung 2

2. Thermische Windgleichung (differentielle Form)

vertikale Scherung

horizontale

Temperaturgradient

relativ klein aber nicht

vernachlässigbar für eine dicke

Schicht

g g

V g T fV T

f z T x T z

    

  

3. Die thermishe Windgleichung (Lösung in Druckkoordinaten) V

 V

 V

V

 g k  

f

D

Vergleich: V _g  g k  

f _p z

Zusammenfassung 3

4. Barotrop V

 0

5. Äquivalent Barotrop - Isothermen und Isohypsen sind in allen Druckflächen in gleicher Richtung

V(p) ändert seine Richtung nicht

Zusammenfassung 5

6. Thermische Windgleichung in Druckkoordinaten V

x f p

 

   

7. Thermische Windgleichung für Gradientwind Bilanz

2V V

r r f p

            

kaltes Hoch warmes Hoch

warmes Tief

6. Bilanzierte Wirbeln

Zusammenfassung 4

kaltes Tief

Ende