Algorithmische Graphentheorie (WS2014/15) Kapitel 3 Färbungen Walter Unger

(1)

Algorithmische Graphentheorie (WS2014/15)

Kapitel 3 Färbungen

Walter Unger

Lehrstuhl für Informatik 1

18.12.2014 10:42

(2)

Einleitung Schwere Algorithmen Greedyfärbungen Brooks Taillenweite Färbungχ(G) Komplexität

(3:2.3) <> Walter Unger 6.1.2015 16:56 WS2014/15 Z

Inhalt I

1 Einleitung

Kantengraph und Färbung Kantenfärbung Theoreme

2 Schwere der Kantenfärbung Beweis von Hoyer

3 Algorithmen Beweis von König Beweis von Vizing

4 Greedyfärbungen Einfache Schranken Algorithmus Beispiele

Aussagen

5 Satz von Brooks Aussage Beweis

6 Taillenweite Ausagen Beweis

7 Färbung bei bekanntenχ(G) Grundlage

Aussagen

8 Komplexität Negative Aussagen Positive Aussagen

(3)

Kantengraph und Färbung (3:1.1) <> Walter Unger 6.1.2015 16:56 WS2014/15 Z

Definition der Färbungszahlen

Ein GraphG= (V,E) heißtk-färbbar falls gilt:

∃f :V 7→ {1, ...,k}:∀(a,b)∈E,f(a)6=f(b).

Die Abbildungf heißt Färbung vonG.

χ(G) ist die chromatische Zahlχ(G) vonG genau dann, wenn G χ(G)-färbbar, aber nicht (χ(G)−1)-färbbar ist.

Definition

SeiG= (V,E) Graph.

α(G) = max{ |V⁰|; V⁰⊂V ∧ ∀a,b∈V⁰: (a,b)6∈E } ω(G) = max{ |V⁰|; V⁰⊂V ∧ ∀a,b∈V⁰: (a,b)∈E } χ(G) = min{k ; ∃V1,V2, . . . ,Vk:∪^ki=1Vi =V ∧

∀i: 16i6k:∀a,b∈Vi : (a,b)6∈E }

(4)

Definition der Färbungszahlen

∃f :V 7→ {1, ...,k}:∀(a,b)∈E,f(a)6=f(b).

Definition

SeiG= (V,E) Graph.

∀i: 16i6k:∀a,b∈Vi : (a,b)6∈E }

(5)

Definition der Färbungszahlen

∃f :V 7→ {1, ...,k}:∀(a,b)∈E,f(a)6=f(b).

Definition

SeiG= (V,E) Graph.

∀i: 16i6k:∀a,b∈Vi : (a,b)6∈E }

(6)

Definition der Färbungszahlen

∃f :V 7→ {1, ...,k}:∀(a,b)∈E,f(a)6=f(b).

Definition

SeiG= (V,E) Graph.

∀i: 16i6k:∀a,b∈Vi : (a,b)6∈E }

(7)

Definition der Färbungszahlen

∃f :V 7→ {1, ...,k}:∀(a,b)∈E,f(a)6=f(b).

Definition

SeiG= (V,E) Graph.

∀i: 16i6k:∀a,b∈Vi : (a,b)6∈E }

(8)

Definition der Färbungszahlen

∃f :V 7→ {1, ...,k}:∀(a,b)∈E,f(a)6=f(b).

Definition

SeiG= (V,E) Graph.

∀i: 16i6k:∀a,b∈Vi : (a,b)6∈E }

(9)

Definition der Färbungszahlen

∃f :V 7→ {1, ...,k}:∀(a,b)∈E,f(a)6=f(b).

Definition

SeiG= (V,E) Graph.

∀i: 16i6k:∀a,b∈Vi : (a,b)6∈E }

(10)

Definition der Färbungszahlen

∃f :V 7→ {1, ...,k}:∀(a,b)∈E,f(a)6=f(b).

Definition

SeiG= (V,E) Graph.

∀i: 16i6k:∀a,b∈Vi : (a,b)6∈E }

(11)

Definition der Färbungszahlen

∃f :V 7→ {1, ...,k}:∀(a,b)∈E,f(a)6=f(b).

Definition

SeiG= (V,E) Graph.

∀i: 16i6k:∀a,b∈Vi : (a,b)6∈E }

(12)

Definition der Färbungszahlen

∃f :V 7→ {1, ...,k}:∀(a,b)∈E,f(a)6=f(b).

Definition

SeiG= (V,E) Graph.

∀i: 16i6k:∀a,b∈Vi : (a,b)6∈E }

(13)

Kantengraphen

Definition (Kantengraph)

SeiG= (V,E) ungerichteter Graph.L(G) = (E,E⁰) heißt Kantengraph vonG, falls

E⁰={(e,e⁰)|e,e⁰∈E∧e∩e⁰6=∅}.

Ein GraphH heißt Kantengraph, falls es einen GraphenG gibt mitL(G) =H.

a b c

x y

(14)

Kantengraphen

E⁰={(e,e⁰)|e,e⁰∈E∧e∩e⁰6=∅}.

a b c

x y

(15)

Kantengraphen

E⁰={(e,e⁰)|e,e⁰∈E∧e∩e⁰6=∅}.

a b c

x y

(16)

Beispiel 1

a b

d c

z

az bz

dz cz

(17)

Beispiel 1

a b

d c

z

az bz

dz cz

(18)

Beispiel 1

az bz

dz cz

(19)

Beispiel 1

az bz

dz cz

(20)

Beispiel 1

a b

d c

z

az bz

dz cz

(21)

Beispiel 2

a b

d c

ab

bc cd

da

(22)

Beispiel 2

a b

d c

ab

bc cd

da

(23)

Beispiel 2

ab

bc cd

da

(24)

Beispiel 2

ab

bc cd

da

(25)

Beispiel 2

a b

d c

ab

bc cd

da

(26)

Beispiel 3

a b c d

f e g

h i j

ab

ah bh bi

bc

ce

cd

de fg ef

fj

gh gj

hi ij

(27)

Beispiel 3

a b c d

f e g

h i j

ab

ah bh bi

bc

ce

cd

de fg ef

fj

gh gj

hi ij

(28)

Beispiel 3

ab

ah bh bi

bc

ce

cd

de fg ef

fj

gh gj

hi ij

(29)

Beispiel 3

ab

ah bh bi

bc

ce

cd

de fg ef

fj

gh gj

hi ij

(30)

Beispiel 3

a b c d

f e g

h i j

ab

ah bh bi

bc

ce

cd

de fg ef

fj

gh gj

hi ij

(31)

Kantenfärbung (3:9.1) <> Walter Unger 6.1.2015 16:56 WS2014/15 Z

Kantenfärbung I

∆(G) = max_v∈V_(G){deg(v)}

Definition

Das Kantenfärbungsproblem für einen GraphenG entspricht dem Knotenfärbungsproblem fürL(G):

χ⁰(G) =χ(L(G)).

Theorem (Vizing 1965)

χ⁰(K2n) = 2n−1undχ⁰(K2n+1) = 2n+ 1.

Theorem

χ⁰(G)>ω(L(G))>∆(G).

(32)

Kantenfärbung I

Definition

χ⁰(G) =χ(L(G)).

χ⁰(K2n) = 2n−1undχ⁰(K2n+1) = 2n+ 1.

Theorem

χ⁰(G)>ω(L(G))>∆(G).

(33)

Kantenfärbung I

Definition

χ⁰(G) =χ(L(G)).

χ⁰(K2n) = 2n−1undχ⁰(K2n+1) = 2n+ 1.

Theorem

χ⁰(G)>ω(L(G))>∆(G).

(34)

Theoreme (3:10.1) <> Walter Unger 6.1.2015 16:56 WS2014/15 Z

Kantenfärbung II

Theorem (Holyer)

Das d -Kantenfärbungsproblem ist NP-vollständig für d>3.

Theorem (König 1916)

Jeder bipartite Graph mit Knotengrad∆ist∆kantenfärbbar (Laufzeit O(nm)).

Jeder Graph mit Knotengrad∆ist∆ + 1kantenfärbbar (Laufzeit O(nm)).

(35)

Kantenfärbung II

Theorem (Holyer)

(36)

Kantenfärbung II

Theorem (Holyer)

(37)

Beweis von Hoyer (3:11.1) <> Walter Unger 6.1.2015 16:56 WS2014/15 Z

Beweis I (Holyer)

Die Komponente entspricht einer Negation;

o.E.d.A. sind (a,b) und (h,i) gleich gefärbt und (c,d),(j,k),(g,l) haben drei verschiedene Farben.

Damit kann man Variablen darstellen und

mit einem ungeraden Kreis dann Klauseln auswerten.

a b c d

e f

g

h i j k

l

(38)

Beweis I (Holyer)

a b c d

e f

g

h i j k

l

(39)

Beweis I (Holyer)

a b c d

e f

g

h i j k

l

(40)

Beweis I (Holyer)

a b c d

e f

g

h i j k

l

(41)

Beweis I (Holyer)

a b c d

e f

g

h i j k

l

(42)

Beweis I (Holyer)

a b c d

e f

g

h i j k

l

(43)

Beweis II (Holyer)

1.Fall: (h,i) und (l,g) sind gleich gefärbt.

Dann färbe (i,e) und (i,j) und zeige im Weiteren:

(a,b) und (h,i) gleich gefärbt und (c,d),(j,k),(g,l) haben drei verschiedene Farben.

2.Fall: (j,k) und (l,g) sind gleich gefärbt.

Analog ergibt sich:

(c,d) und (j,k) gleich gefärbt und

(a,b),(h,i),(g,l) haben drei verschiedene Farben.

a b c d

e f

g

h i j k

l

(44)

Beweis II (Holyer)

Analog ergibt sich:

a b c d

e f

g

h i j k

l

(45)

Beweis II (Holyer)

Analog ergibt sich:

a b c d

e f

g

h i j k

l

(46)

Beweis II (Holyer)

Analog ergibt sich:

a b c d

e f

g

h i j k

l

(47)

Beweis II (Holyer)

Analog ergibt sich:

a b c d

e f

g

h i j k

l

(48)

Beweis II (Holyer)

Analog ergibt sich:

a b c d

e f

g

h i j k

l

(49)

Beweis II (Holyer)

Analog ergibt sich:

a b c d

e f

g

h i j k

l

(50)

Beweis II (Holyer)

Analog ergibt sich:

a b c d

e f

g

h i j k

l

(51)

Beweis II (Holyer)

Analog ergibt sich:

a b c d

e f

g

h i j k

l

(52)

Beweis II (Holyer)

Analog ergibt sich:

a b c d

e f

g

h i j k

l

(53)

Beweis II (Holyer)

Analog ergibt sich:

a b c d

e f

g

h i j k

l

(54)

Beweis II (Holyer)

Analog ergibt sich:

a b c d

e f

g

h i j k

l

(55)

Beweis II (Holyer)

Analog ergibt sich:

a b c d

e f

g

h i j k

l

(56)

Beweis III (Holyer)

3.Fall: (h,i) und (j,k) sind gleich gefärbt und (l,g) ist mit anderen Farbe gefärbt.

Fall 3a: (i,j) hat die gleiche Farbe wie (l,g)

Zeige weiter:

Der Fall tritt nicht auf.

a b c d

e f

g

h i j k

l

(57)

Beweis III (Holyer)

Zeige weiter:

a b c d

e f

g

h i j k

l

(58)

Beweis III (Holyer)

Zeige weiter:

a b c d

e f

g

h i j k

l

(59)

Beweis III (Holyer)

Zeige weiter:

a b c d

e f

g

h i j k

l

(60)

Beweis III (Holyer)

Zeige weiter:

a b c d

e f

g

h i j k

l

(61)

Beweis III (Holyer)

Zeige weiter:

a b c d

e f

g

h i j k

l

(62)

Beweis IV (Holyer)

3.Fall: (h,i) und (j,k) sind gleich gefärbt und (l,g) benutzt andere Farbe.

Fall 3b: (i,j) hat die dritte Farbe.

Zeige wieder:

a b c d

e f

g

h i j k

l

(63)

Beweis IV (Holyer)

Zeige wieder:

a b c d

e f

g

h i j k

l

(64)

Beweis IV (Holyer)

Zeige wieder:

a b c d

e f

g

h i j k

l

(65)

Beweis IV (Holyer)

Zeige wieder:

a b c d

e f

g

h i j k

l

(66)

Beweis IV (Holyer)

Zeige wieder:

a b c d

e f

g

h i j k

l

(67)

Beweis IV (Holyer)

Zeige wieder:

a b c d

e f

g

h i j k

l

(68)

Beweis IV (Holyer)

Zeige wieder:

a b c d

e f

g

h i j k

l