Algorithmische Graphentheorie (WS2014/15) Kapitel 2 Planare Graphen Walter Unger

(1)

Algorithmische Graphentheorie (WS2014/15)

Kapitel 2 Planare Graphen

Walter Unger

Lehrstuhl für Informatik 1

15.10.2014 10:18

(2)

Einleitung Separatoren für planare Graphen Anwendungen Weitere Separatoren

(2:2.3) <> Walter Unger 6.1.2015 16:54 WS2014/15 Z

Inhalt I

1 Einleitung Definitionen

Theoreme zu planaren Graphen Definitionen zu außenplanaren Graphen Theoreme zu außenplanaren Graphen Theoreme zu SP-Graphen Homeomorphe Graphen

2 Separatoren für planare Graphen Motivation

Definition

Beispiele

Alternative Definition

Einleitung zu planaren Separatoren Überblick

Vorbereitung

Planare-Graph-Separator Theorem

3 Anwendungen

Unabhängige Mengen auf planaren Graphen

4 Weitere Separatoren Resultate

(3)

Definitionen (2:1.1) <> Walter Unger 6.1.2015 16:54 WS2014/15 Z

Definitionen

Definition

Ein GraphG = (V,E) heißt planar, falls er so in die Ebene gezeichnet (eingebettet) werden kann, dass keine zwei Kanten sich kreuzen.

Eine zusammenhängende abgeschlossene Region in dieser Einbettung heißt Fenster.

Das unbeschränkte Fenster heißt äußeres Fenster.

Definition

Ein GraphG = (V,E) heißt maximal planar, falls das Hinzufügen einer beliebigen KanteG nicht planar macht.

(4)

Definitionen

Definition

Ein GraphG = (V,E) heißt planar, falls er so in die Ebene gezeichnet (eingebettet) werden kann, dass keine zwei Kanten sich kreuzen.

Eine zusammenhängende abgeschlossene Region in dieser Einbettung heißt Fenster.

Das unbeschränkte Fenster heißt äußeres Fenster.

Definition

Ein GraphG = (V,E) heißt maximal planar, falls das Hinzufügen einer beliebigen KanteG nicht planar macht.

(5)

Beispiel: planarer Graph

v0 v1

v2 v3

v4 v5

v6

(6)

Beispiel: planarer Graph

v0 v1

v2 v3

v4 v5

v6

(7)

Beispiel: planarer Graph

v0 v1

v2 v3

v4 v5

v6

(8)

Beispiel: planarer Graph

v0 v1

v2 v3

v4 v5

v6

(9)

Theoreme zu planaren Graphen (2:3.1) <> Walter Unger 6.1.2015 16:54 WS2014/15 Z

Aussagen I

Theorem

Falls G= (V,E)planar und 2-fach zusammenhängend ist, dann ist jedes Fenster ein einfacher Kreis und jede Kante trennt zwei verschiedene Fenster.

Theorem (Euler)

Sei G= (V,E)ein planarer Graph mit|V|=n,|E|=e, f die Anzahl der Fenster und k die Anzahl der Zusammenhangskomponenten. Dann gilt:

n−e+f = 1 +k.

Beweis mittels einfacher Induktion

(10)

Aussagen I

Theorem

Falls G= (V,E)planar und 2-fach zusammenhängend ist, dann ist jedes Fenster ein einfacher Kreis und jede Kante trennt zwei verschiedene Fenster.

Theorem (Euler)

Sei G= (V,E)ein planarer Graph mit|V|=n,|E|=e, f die Anzahl der Fenster und k die Anzahl der Zusammenhangskomponenten. Dann gilt:

n−e+f = 1 +k.

Beweis mittels einfacher Induktion

(11)

Beweis

n−e+f = 1 +k gilt für einzelnen Knoten neuer Knoten:

(n+ 1)−e+f = 1 + (k+ 1) neue Kante verbindet

Komponenten:

n−(e+ 1) +f = 1 + (k−1) neue Kante trennt Fenster:

n−(e+ 1) + (f + 1) = 1 +k.

a₁

c₁ c₂

e₁ e₂

o₁ o₂

r₁

(12)

Beweis

Komponenten:

n−(e+ 1) + (f + 1) = 1 +k.

a₁

c₁

c₂

e₁ e₂

o₁ o₂

r₁

(13)

Beweis

Komponenten:

n−(e+ 1) + (f + 1) = 1 +k.

a₁

c₁ c₂

e₁ e₂

o₁ o₂

r₁

(14)

Beweis

Komponenten:

n−(e+ 1) + (f + 1) = 1 +k.

a₁

c₁ c₂

e₁ e₂

o₁ o₂

r₁

(15)

Beweis

Komponenten:

n−(e+ 1) + (f + 1) = 1 +k.

a₁

c₁ c₂

e₁ e₂

o₁ o₂

r₁

(16)

Beweis

Komponenten:

n−(e+ 1) + (f + 1) = 1 +k.

a₁

c₁ c₂

e₁ e₂

o₁ o₂

r₁

(17)

Beweis

Komponenten:

n−(e+ 1) + (f + 1) = 1 +k.

a₁

c₁ c₂

e₁ e₂

o₁ o₂

r₁

(18)

Beweis

Komponenten:

n−(e+ 1) + (f + 1) = 1 +k.

a₁

c₁ c₂

e₁ e₂

o₁ o₂

r₁

(19)

Beweis

Komponenten:

n−(e+ 1) + (f + 1) = 1 +k.

a₁

c₁ c₂

e₁ e₂

o₁ o₂

r₁

(20)

Beweis

Komponenten:

n−(e+ 1) + (f + 1) = 1 +k.

a₁

c₁ c₂

e₁ e₂

o₁ o₂

r₁

(21)

Beweis

Komponenten:

n−(e+ 1) + (f + 1) = 1 +k.

a₁

c₁ c₂

e₁ e₂

o₁ o₂

r₁

(22)

Beweis

Komponenten:

n−(e+ 1) + (f + 1) = 1 +k.

a₁

c₁ c₂

e₁ e₂

o₁ o₂

r₁

(23)

Beweis

Komponenten:

n−(e+ 1) + (f + 1) = 1 +k.

a₁

c₁ c₂

e₁ e₂

o₁ o₂

r₁

(24)

Aussagen II

n−e+f= 1 +k

Theorem

Sei G= (V,E)ein planarer Graph mit|V|=n,|E|=e und jedes Fenster sei ein einfacher Kreis der Länge k. Dann gilt:

e=k·n−2 k−2 Beachte: k·f = 2·e und n−e+f = 2

Theorem

Sei G= (V,E)ein planarer Graph mit|V|=n,|E|=e und jedes Fenster sei ein Dreieck. Dann gilt: e= 3·n−6.

Falls jedes Fenster ein einfacher Kreis der Länge 4 ist, gilt: e= 2·n−4.

Theorem

Sei G= (V,E)ein planarer Graph mit|V|=n,|E|=e. Dann gilt:

e63·n−6.Falls G keine Dreiecke enthält, gilt: e62·n−4.

(25)

Aussagen II

n−e+f= 1 +k

Theorem

Sei G= (V,E)ein planarer Graph mit|V|=n,|E|=e und jedes Fenster sei ein einfacher Kreis der Länge k. Dann gilt:

e=k·n−2 k−2 Beachte: k·f = 2·e und n−e+f = 2

Theorem

Sei G= (V,E)ein planarer Graph mit|V|=n,|E|=e und jedes Fenster sei ein Dreieck. Dann gilt: e= 3·n−6.

Falls jedes Fenster ein einfacher Kreis der Länge 4 ist, gilt: e= 2·n−4.

Theorem

Sei G= (V,E)ein planarer Graph mit|V|=n,|E|=e. Dann gilt:

e63·n−6.Falls G keine Dreiecke enthält, gilt: e62·n−4.

(26)

Aussagen III

n−e+f= 1 +k e63·n−6

Theorem

K5und K3,3sind nicht planar.

Theorem

Sei G= (V,E)ein planarer Graph mit|V|>4. Dann gibt es mindestens vier Knoten mit einem Knotengrad65.

Theorem

Sei G= (V,E)ein planarer Graph. Dann kann jedes Fenster zu einem äußeren Fenster gemacht werden.

(27)

Aussagen III

n−e+f= 1 +k e63·n−6

Theorem

(28)

Aussagen III

n−e+f= 1 +k e63·n−6

Theorem

(29)

Aussagen IV

n−e+f= 1 +k e63·n−6

Theorem

Sei G= (V,E)ein maximaler planarer Graph mit|V|>4. Dann ist G 3-fach zusammenhängend.

Theorem

Jeder 3-fach zusammenhängende planarer Graph kann eindeutig auf eine Kugel eingebettet werden.

Theorem

Ein planarer Graph kann mit geraden Linien als Kanten in die Ebene eingebettet werden.

(30)

Aussagen IV

n−e+f= 1 +k e63·n−6

Theorem

(31)

Aussagen IV

n−e+f= 1 +k e63·n−6

Theorem

(32)

Erkennungsproblem

n−e+f= 1 +k e63·n−6

Definition

Das folgende Problem ist das Erkennungsproblem für Graphen:

Gegeben GraphG= (V,E) und eine GraphklasseG.

Frage; giltG∈ G.

Theorem

Das Erkennungsproblem für planare Graphen ist in linearer Zeit lösbar.

(33)

Erkennungsproblem

n−e+f= 1 +k e63·n−6

Definition

Frage; giltG∈ G.

Theorem

(34)

Erkennungsproblem

n−e+f= 1 +k e63·n−6

Definition

Frage; giltG∈ G.

Theorem

(35)

Erkennungsproblem

n−e+f= 1 +k e63·n−6

Definition

Frage; giltG∈ G.

Theorem

(36)

Erkennungsproblem

n−e+f= 1 +k e63·n−6

Definition

Frage; giltG∈ G.

Theorem

(37)

Aussagen V

n−e+f= 1 +k e63·n−6

Definition

Das Komplement eines GraphenG= (V,E) ist der Graph G= (V,{(a,b); (a,b)6∈E,a6=b})

Theorem

Jeder planare Graph mit mindestens 9 Knoten hat ein nicht planares Komplement.

9 ist minimal bezüglich obiger Eigenschaft.

(38)

Aussagen V

n−e+f= 1 +k e63·n−6

Definition

Das Komplement eines GraphenG= (V,E) ist der Graph G= (V,{(a,b); (a,b)6∈E,a6=b})

Theorem

Jeder planare Graph mit mindestens 9 Knoten hat ein nicht planares Komplement.

(39)

Definitionen zu außenplanaren Graphen (2:10.1) <> Walter Unger 6.1.2015 16:54 WS2014/15 Z

Definition

Ein planarer GraphG heißt außenplanar, falls er kreuzungsfrei so in die Ebene zeichenbar (eingebettbar) ist, dass alle Knoten auf einem (dem äußeren) Fenster liegen.

Definition

Ein GraphG = (V,E) heißt maximal außenplanar, falls das Hinzufügen einer beliebigen KanteG nicht außenplanar macht.

Definition

Ein planarer GraphG= (V,E) heißtk-außenplanar, falls er so in die Ebene gezeichnet (eingebettet) werden kann,

dass keine zwei Kanten sich kreuzen und

mank−1 mal die Knoten des äußeren Fensters löschen kann, so dass der verbleibende Graph außenplanar eingebettet ist.

(40)

Definition

(41)

Definition

(42)

Definition

(43)

Beispiel: aussenplanarer Graph

v0 v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v8 v9

(44)

Beispiel: aussenplanarer Graph

v0 v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v8 v9

(45)

Beispiel: aussenplanarer Graph

v0 v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v8 v9

(46)

Beispiel: aussenplanarer Graph

v0 v1

v2

v3

v4

v5

v6

v7

v8 v9

(47)

Theoreme zu außenplanaren Graphen (2:12.1) <> Walter Unger 6.1.2015 16:54 WS2014/15 Z

Aussagen I

Theorem

Sei G= (V,E)ein maximal außenplanarer Graph mit|V|=n>3. Dann hat G n−2innere Fenster.

Theorem

Sei G= (V,E)ein maximal außenplanarer Graph mit|V|=n und|E|=e.

Dann gilt:

1 2·n−3 =e

2 Mindestens drei Knoten haben einen Grad63.

3 Mindestens zwei Knoten haben einen Grad von zwei.

4 G ist genau zweifachzusammenhängend.

Theorem

K4und K2,3sind keine außenplanaren Graphen.

(48)

Aussagen I

Theorem

Dann gilt:

1 2·n−3 =e

Theorem

(49)

Aussagen I

Theorem

Dann gilt:

1 2·n−3 =e

Theorem

(50)

Aussagen II

Theorem

Jeder außenplanare Graph mit mindestens 7 Knoten hat ein nicht außenplanares Komplement.

(51)

Theoreme zu SP-Graphen (2:14.1) <> Walter Unger 6.1.2015 16:54 WS2014/15 Z

SP-Graphen

Definition

Ein SP-Graph entsteht durch Serien- und Paralleloperationen aus den Graphen ({a,b},{(a,b)}) und ({a,b},∅).

Dabei werden bei der Paralleloperation die Anschlussknoten verschmolzen.

Bei der Serienoperation werden zwei Anschlussknoten verschmolzen und können danach nicht mehr als Anschlussknoten verwendet werden.

Theorem

K4ist kein SP-Graph, aber der K2,3 ist ein SP-Graph.

(52)

Theoreme zu SP-Graphen (2:14.2) <> Walter Unger 6.1.2015 16:54 WS2014/15 Z

SP-Graphen

Definition

Ein SP-Graph entsteht durch Serien- und Paralleloperationen aus den Graphen ({a,b},{(a,b)}) und ({a,b},∅).

Dabei werden bei der Paralleloperation die Anschlussknoten verschmolzen.

Bei der Serienoperation werden zwei Anschlussknoten verschmolzen und können danach nicht mehr als Anschlussknoten verwendet werden.

Theorem

K4ist kein SP-Graph, aber der K2,3 ist ein SP-Graph.

(53)

Homeomorphe Graphen (2:15.1) <> Walter Unger 6.1.2015 16:54 WS2014/15 Z

Definition

Zwei GraphenG undHheißen homeomorph genau dann, wenn sie durch Aufteilung von Kanten aus einem GraphenX erzeugt werden können.

(54)

Aussagen I

Theorem

G= (V,E)ist außenplanar genau dann, wenn kein Teilgraph homeomorph zum K4ist oder durch Kantenaufteilung aus dem K2,3erzeugbar ist.

Theorem

G= (V,E)ist SP-Graph genau dann, wenn kein Teilgraph homeomorph zum K4ist.

Theorem (Kuratowski)

G= (V,E)ist planar genau dann, wenn kein Teilgraph homeomorph zum K5

oder K3,3ist.

Theorem

Jeder außenplanare Graph ist ein SP-Graph.

Jeder SP-Graph ist ein planarer Graph.

(55)

Aussagen I

Theorem

oder K3,3ist.

Theorem

(56)

Aussagen I

Theorem

oder K3,3ist.

Theorem

(57)

Aussagen I

Theorem

oder K3,3ist.

Theorem

(58)

Aussagen I

Theorem

Jeder planare Graph ist 5-färbbar.

Theorem

Jeder planare Graph mit höchstens drei Dreiecken ist 3-färbbar.

(59)

Aussagen I

Theorem

(60)

Aussagen I

Theorem

(61)

Aussagen I

Theorem

(62)

Ein Beweis

Theorem

Beweisidee:

Suche Knotenv vom Grad kleiner als 6.

Färbe rekursivG− {v}

Falls deg(v)<5, so kannv direkt gefärbt werden.

Falls die Nachbarn vonv nur vier Farben nutzen, so kannv direkt gefärbt werden.

Falls deg(v) = 5 und die Nachbarn von v sind alle verschieden gefärbt, so beachte:

InG− {v}kann eine Komponente, die nur zwei Farben nutzt, umgefärbt werden.

Eine kurze Fallunterscheidung zeigt:

es gibt zwei Farben und eine passende Komponente, so dass genau ein Nachbar vonv umgefärbt werden kann.

(63)

Ein Beweis

Theorem

Beweisidee:

(64)

Ein Beweis

Theorem

Beweisidee:

(65)

Ein Beweis

Theorem

Beweisidee:

(66)

Ein Beweis

Theorem

Beweisidee:

(67)

Ein Beweis

Theorem

Beweisidee:

(68)

Ein Beweis

Theorem

Beweisidee:

(69)

Ein Beweis

Theorem

Beweisidee:

(70)

Ein Beweis

Theorem

Beweisidee:

(71)

Ein Beweis

Theorem

Beweisidee:

(72)

Ein Beweis

Theorem

Beweisidee:

(73)

Umfärbung einer Komponente

v

a b

c

d e

b₁ d₁ b₂

d₂ b_i d_i

c₁ e₁ c₂ e₂

(74)

Umfärbung einer Komponente

v

a b

c

d e

b₁ d₁ b₂

d₂ b_i d_i

c₁ e₁ c₂ e₂