Springer-Lehrbuch
GertBohme
Analysis 1
Anwendungsorientierte Mathematik
Funktionen, Differentialrechnung 6. Auflage
Mit 262 Abbildungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York
London Paris Tokyo Hong Kong Barcelona
Professor Dr. GERT BOHME
Fachhochschule FurtwangeniSchwarzwald Fachbereich Allgemeine Informatik
, Die 5., verbesserte Auflage erschien 1987 in der Reihe
»Anwendungsorientierte Mathematik« als Band 2
ISBN-13: 978-3-540-52828-9 e-ISBN-13: 978-3-642-85585-6 DOl: 10.1007/978-3-642-85585-6
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Anwendungsorientierte Mathematik: Funktionen, Ditferentialrechnung, 6. Aufl. - 1990 Berlin; Heidelberg; New York ; London; Paris; Tokyo; HongKong ; Barcelona: Springer.
Friiher u. d. T.: Biihme, Gert: Mathematik. NE: Biihme, Gert [Hrsg.]
(Springer-Lehrbuch) lSBN-13: 978-3-540-52828-9
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Vorwort zur sechsten Auflage
Die Grundkonzeption dieses Buches, das nun in die Springer-Lehrbuch-Reihe aufge- nommen wurde, blieb unverandert: eine auf den Benutzer und Anwender von Mathe- matik zugeschnittene EinfUhrung in die Differentialrechnung, so wie sie insbesondere von Studienanfangern der Ingenieur-, Informatik- und Wirtschaftswissenschaften be- natigt wird. Die Breite der Darstellung solI Wissensliicken schlieBen und eine Briicke bauen zur anspruchsvollen Hochschulmathematik. Eine graB ere Anzahl von Textstellen wurde verbessert, erweitert und aktualisiert, wobei ich Frau Diplom-:-Mathematikerin Ingeborg Kettern fiir vi ele Hinweise ein weiteres Mal zu Dank verpflichtet bin. Den Mitarbeitern des SpringE;lr- Verlages bin ich fUr die ziigige Herstellung auch dieser Auflage verbunden. Mage das Buch vielen jungen Menschen helfen, einen Zugang zur Mathematik zu finden und dieses gewaltige Instrument spielen zu lernen.
Furtwangen, im Juli 1990 Gert Bahme
Vorwort zur fUnften Auflage
Der methodische Ansatz der Analysis hat sich weiter gefestigt. Die auf den Be- nutzer zugeschnittene Darstellung mit ihrer Betonung exemplarischer und ver- fahrenstechnischer Vorgehensweisen fiihrt zu einem auf Praktikabilitat und Anwendbarkeit Wert legenden Verstandnis der Analysis, so wie es heute in den Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaften benatigt wird. Eine Reihe von Druck- und Rechenfehlern der vier ten Auflage wurde beseitigt, ansonsten blieb die Dar- stellung unverandert. Frau Dipl.-Math. Ingeborg Kettern danke ich fiir die ent- sprechenden Hinweise. Dem Springer-Verlag bin ich fiir die ziigige Herausgabe der Neuauflage verbunden.
Furtwangen, im Miirz 1987 Gert Bahme
Vorwort zur vierten Auflage
Gegenuber der dritten Auflage wurde eine groEere Anzahl von Beispielen neu aufgenommen. Besondere Betonung fanden Anwendungen wirtschaftswissen- schaftlicher Funktionen, die in jtingster Zeit an Bedeutung gewonnen haben:
Kosten-, Grenzkosten- und Gewinn-Funktionen, Preis-Absatz- und Elastizi- tats-Funktionen, urn nur einige zu nennen. Die problemorientierte Konzeption mit ihrer Bevorzugung exemplarischer Betrachtungen bei gleichzeitiger Re- duktion theoretischer Darstellungen auf ein mittleres Niveau bleibt auch bei dieser Auflage die didaktische Leitlinie. Fur die Entwicklung und Bereitstel- lung praktischer Beispiele aus den Wirtschaftswissenschaften und der Elektro- technik bin ich Herrn Dipl. -Ing. P. Gemballa herzlich verbunden. Dem Springer-Verlag danke ich fUr die gute Zusammenarbeit bei der Herstellung dieser Auflage.
Furtwangen, im Dezember 1982 Gert Bohme
Vorwort zur dritten Auflage
Das in den ersten beiden Auflagen bewahrte Konzept einer EinfUhrung in die Differen- tialrechnung wurde auch in der dritten Auflage beibehalten. Studenten der Ingenieur- oder Wirtschaftswissenschaften, a ber auch der im Beruf stehende Praktiker, beno- tigen eine methodisch orientierte Darstellung, die sich inhaltlich an den Anwendun- gen der Mathematik in diesen Bereichen ausrichtet. Das schlieEt theoretische Uber- legungen nicht aus, beschrankt diese jedoch auf jenes MaE, das fUr das Verstandnis des Infinitesimalkalktils unbedingt erforderlich ist.
Nach wie vor h2.ben die Studierenden des ersten Semesters enorme Schwierigkeiten beim Ubergang von der Schule zur Hochschule. Hier will dieses Buch eine Brucke schlagen, indem es der eigentlichen Differentialrechnung ein ausftihrlich gehaltenes
Vorwort zur dritten Auflage VII Kapitel iiber reelle Funktionen voranstellt. Da bei werden die wichtigsten Klassen ele- mentarer Funktionen von den Polynomen bis zu den Hyperbelfunktionen behandelt und die fiir den Anwender interessanten Eigenschaften herausgehoben. Ein weiteres Kapi- tel iiber komplexwertige Funktionen eines reellen Parameters fUhrt in die wichtigsten Ortskurven der GauBschen Zahlenebene ein, die vornehmlich in der Regelungstechnik benotigt werden.
Wichtigste Erweiterung gegeniiber der zweiten Auflage ist die Erganzung jedes Teil- abschnitts urn Dbungsaufgaben. Diese sind nach Anzahl, Umfang und Schwierigkeits- grad so bemessen, daB sie yom Leser in einem vertretbaren Zeitraum bearbeitet werden konnen und ihm eine Vorstellung yom Lehrziel des entsprechenden Abschnitts vermitteln. Zur Selbstkontrolle sind die Losungen, in vie len Fallen mit Zwischen- ergebnissen und Herleitungen, im Anhang aufgefiihrt.
Mengentheoretische N otationen wurden maBvoll und genau dort verwendet, wo sie zur Klarung exakter Begriffsbildungen einen echten didaktischen Fortschritt brach- ten. Anders als in der Algebra steht in der Analysis der Kalki.il fUr den Anwender mathematischer Methoden im Vordergrund. Aus diesem Grunde habe ich mi::iglichst wenig auf die A 1ge bra zuriickgegriffen, so daB dieses Buch auch una bhangig yom ersten Band (Algebra) gelesen werden kann. An vielen Stellen wurden moderne Dar- stellungsformen mit eingebiirgerten und seit langem bewahrten Formulierungen syno- nymisiert - so etwa beim Funktionsbegriff - und zur besseren Lesbarkeit alte und neue Schrei bweisen ne beneinander verwendet.
Die fUr ein Lehrbuch dieser Art auBergewi::ihnliche Breite der Darstellung will dem Studenten das selbstandige Arbeiten mit einem Fachbuch erleichtern. Sollte dabei die in seiner Vorlesung gebrachte Form von der hier gebotenen abweichen, was viel- leicht sogar die Regel sein wird, so ist das Kennenlernen des Stoffes unter einem anderen Blickwinkel fachlich und didaktisch nur vorteilhaft fUr ihn.
Herzlichen Dank sagen mochte ich an dieser Stelle Herrn Professor Dr. Franz Pelz und Herrn Professor Dr. Ekkehard Frenkel fiir ihre Unterstiitzung bei der Erstellung des Aufgabenteils. Fiir eine Durchsicht des Manuskriptes bin ich Herrn Professor Dr. Hans-Volker Niemeier verbunden. Fraulein Jutta Senff, MTA, hat mich in dan- kenswerter Weise bei der Dberpriifung der Losungen und beim Korrekturenlesen un- terstiitzt. Mein besonderer Dank gilt jedoch dem Springer-Verlag fiir die hervor- ragende Zusammenarbeit und das Verstandnis, das er meinen Wiinschen bei der N eugestaltung dieser Auflage entgegenbrachte.
Furtwangen, im Juni 1975 Gert Bohme
Inhaltsverzeichnis
1. Elementare reelle Funktionen • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1 1. 1 Grundlagen •••..•.•••••••.•.••.•..••••••••••••••••• 1 1. 1. 1 Der reelle Zahlenk6rper • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • . • • • • 1 1. 1.2 Der binomische Satz • • • . . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 8 1. 1. 3 Ungleichungen • • • • • • . . • • • . • • • • • . • • • • • • • . . • • . • • •• 20 1. 1. 4 Der absolute Betrag • . • • • . • • • • • • • • . • • • • . • • • . • • • • •• 27 1.2 Reelle Funktionen • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 33 1. 2.1 Begriff. Darstellungsformen •.•.•••••••••••••••••••• 33 1. 2. 2 Symmetrieeigenschaften ••••••••••••••••••••••••••• 51 1. 2. 3 Kongruente Verschiebung. Affine Stauchung •••••••••••••• 57 1. 2. 4 Schranken. Nullstellen ••••••••••••••••••••••••••• 64
1.2.5 Umkehrfunktionen 71
1.3 Polynome •.••••••••••••.•••••••••••••••••••••••••• 78 1. 3.1 Polynombegriff. Polynomwerte. Polynomverkniipfungen • • • • •• 78 1.3.2 Polynomumordnung. Vollstandiges Horner-Schema •••••.•.• 87 1. 3. 3 P olynomgleichungen: LOsungen • • • • • • • • • • • • . • • • • • • . . .• 93 1. 3. 4 P olynomgleichungen: LOsungsverfahren • • • • • • • • • • • • • • • " 10 3 1. 3.5 Interpola tionspolynome • • • • • • . . • • . • • • • . • • • • • • • • • • •• 113 1. 3. 6 Stellenwertsysteme •••••••••••••••••••••••••••••• 117 1. 4 Gebrochen-rationale Funktionen ••.•••••.••••••••••••••••• 124 1.4. 1 Charakteristische Merkmale •..•••••••••••••.•.••••• 124 1. 4. 2 Partialbruchzerlegung von Polynombriichen 129 1. 5 Algebraische Funktionen •••••••••••••••••••••••••....•• 135 1.6 Kreis- und Bogenfunktionen ••••••••••••••••••••••••••••• 141 1. 7 Exponential- und Logarithmusfunktionen ••••••••••••••••••••• 154 1. 8 Hyperbel- und Areafunktionen • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 159 1.9 Funktionspapiere • . . • . • . . . . • . . . • . . • • • • • • . . . • . . . •• 168
x
Inhaltsverzeichnis2. Komplexwertige Funktionen .•• 173
173 182 2.1 EinfUhrung •••••••••.••••
2. 2 Die komplexe Gerade • • • • • ••
2.3 Die Inversion der Geraden •••• " . . . 186 2. 4 Der Allgemeine Kreis
3. Differentialrechnung ••• " ••••••••••••••••••••••••••••
3. 1 Grenzwerte •••••••••••••.••••••••••••••••••••
3.1.1 3.1.2 3.1. 3
Konvergente Zahlenfolgen • Grenzwerte von Funktionen Stetigkeit von Funktionen ••
195 201 201 201 210 219 3.2 Der Begriff der Ableitungsfunktion ••••••••••••••••••••• 227 3.2. 1 Die Ableitungsfunktion als Steigungsfunktion ••••••••••••• 227 3.2.2 Die Ableitung als Grenzwert ••••••••••••••..••••••• 231 3.2.3 Bestimmung von Ableitungsfunktionen ••••.•••••.•••••• 233 3.3 Formale Ableitungsrechnung •••••••••••••••••••••••
3.3. 1 Konstanten-, Faktor- und Summenregel •••.••••••
239 239 3.3.2 Die Potenzregel fUr ganze positive Exponenten •••• ". • • • • 241 3.3.3 Produkt- und Quotientenregel • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 243 3.3.4 Ableitungen h6herer Ordnung •••••••••••••.••. 249 3.3.5 Die Kettenregel •••••••••••••••••••••••••• 254 3.3.6 Ableitung der Kreisfunktionen . . . • • . • • • • • • • • • • • • • • • •• 263 3.3.7 Ableitung der Bogenfunktionen. • . • • • • • • • • • . • • • • • • • • •• 267 3.3.8 Ableitung von Logarithmus- und Exponentialfunktion • • • • • • •• 269 3.3.9 Logarithmisches Ableiten •••.••••••••••••• ~ • • • • • • •• 274 3.3.10 Ableitung der Hyperbel- und Areafunktionen ••.•••••••••• 276 3.4 Differentiale. Differentialquotienten.
Differentialoperatoren ••••••••• ••••••••••••••••• 279 3.4.1 Der Begriff des Differentials •••••••••••••••.••••••• 279 3.4.2
3.4.3 3.4.4
Rechnen mit Differentialen Der Differentialquotient Differentialoperatoren •
284 287 292 3.5 Kurvenuntersuchungen • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 296 3.5.1 Steigen und Fallen. Extrempunkte ••••••••••••••••••• 296 3.5.2 Links- und Rechtskurven. Wendepunkte •••••••••••••••• 300 3.5.3 Sonstige geometrische Eigenschaften • • . • • • • . . . • . • •• 302 3.5.4 Untersuchung algebraischer Funktionen ••••••••••••• • •• 306 3.5.5 Untersuchung transzendenter Funktionen ••••••••••••••• 313 3.5.6 Angewandte Maxima- und Minimaaufgaben •••••••••••••• 322
Inhaltsverzeichnis XI 3.6 Weitere Anwendungen der Differentialrechnung ••••••.•••••• 332
3.6.1 Tangenten und Tangentenabschnitte • • • • • • • • . • • • • • • • • 332 3.6.2 Linearisierung von Funktionen •••••.••••••••••.••••• 336 3.6.3 Der Mittelwertsatz •••••••••••••••••••.•••••••••• 341 3.6.4
3.6.5
Grenzwertbestimmung mit der Regel von Bernoulli und de I'Hospital •.•••.••.•••••••••••••••
Das Newtonsche Iterationsverfahren •••••
345 355 3.7 Funktionen von zwei reellen Veranderlichen •••••••••••••••••• 365
3.7.1 3.7.2 3.7.3 3.7.4
Der Funktionsbegriff ••••••••
Analytische Darstellungsformen
Geometrische Darstellungsformen • • • • • • ••
Skalare Darstellung durch Leitertafeln •••••
365 366 369 376 3.7.5 Raumkurven ••••••••••••••.•••••••••••••••• 380 3.7.6 Partielle Ableitungen. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 383 3.7.7 Das totale (vollstiindige) Differential
3.7.8 Ableitung impliziter Funktionen •••
387 397 3.7.9 Ableiten von Parameterdarstellungen • • . • • • • • • • • • • • • 402 3.7.10 Ableiten von Vektorfunktionen • • • • • • • • . • • • • • • • • 407 3.7.11 Krtimmungskreise und Schmiegungsparabeln
3.7.12 Ableiten von Funktionen in Polarkoordinaten
415 426
4. Anhang: LOsungen der Aufgaben ••••••••••••••••••.••.•••••••• 433
Sachverzeichnis. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 484
