1 Anderung der Besetzung der Fermikugel durch ein ¨ elektrisches Feld

(1)

Prof. B. Batlogg WS 2006/07

Ubungen zur Festk¨ ¨ orperphysik I L¨ osungen zu Serie 8

1 Anderung der Besetzung der Fermikugel durch ein ¨ elektrisches Feld

a) Da die Verschiebung δk des Fermik¨orpers klein ist, macht man keinen grossen Fehler, wenn man statt δV

k

das Volumen δV

_k^′

betrachtet, dass sich aus der Differenz einer Halbkugel mit Radius k

F

und einer Kugelkalotte der H¨ohe h = k

F

− δk ergibt:

δV

_k^′

≈ 2π

3 k

_F³

− ( 2π

3 k

³_F

− πδk k

²_F

) = πk

²_F

δk Damit wird:

V

k

2δV

_k^′

=

4π 3

k

_F³

2πk

_F²

δk = 2

3 k

F

δk

Mit v

F

= ~ k

F

/m, |δk| = |

~^e

E∆t|, ∆t = τ und < ∆v >= v

D

=

_m^e

Eτ ergibt sich:

k

F

= v

F

m

~ = (3π

²

n)

¹³

Nach der Verschiebung der Fermikugel um δk tragen alle Zust¨ande zum Strom bei, die zwischen k

F

− δk und k

F

+ δk liegen. Da die Zust¨ande im k-Raum gleichm¨assig verteilt sind, ist δn = 2δV

k

und damit

ⁿ_δn^e

≈

₂^V_δV^k

k

. Damit ergibt sich schliesslich : n

e

δn ≈ V

k

2δV

K

≈ V

K

δV

_k^′

≈ 2 3

k

F

δk = 2 3

v

F

v

D

= 2 3

(3π

²

n)

¹³

(e/ ~ )Eτ

b) F¨ur Silber gilt: n = 5.86 · 10

²⁸

m

⁻³

, e = 1.6 · 10

⁻¹⁹

C, E = 0.1 V/m, τ = 2 · 10

⁻¹³

s

⇒ n

e

δn = 2.6 · 10

⁸

(2)

2 Halbmetall

Beide Dispersionsrelationen E

¹,2

(k) sind quadratisch in k. Man kann also die Zustands- dichte freier Elektronen (mit angepassten effektiven Massen und Energienullpunkten) ver- wenden.

D

¹

(E) = V (2π)

²

2m

¹

~

²

³₂

p E − E

¹

= c(m

¹

)

³²

p

E − E

¹

D

²

(E) = V

(2π)

²

2m

2

~

²

³2

p E

²

− E = c(m

²

)

³²

p

E

²

− E

Die gesamte Anzahl der Elektronen (L¨ocher) in Band 1(2) ergibt sich durch Integration der Zustandsdichte mit der Fermiverteilung f (E)

n = 2 Z

^∞

E1

D

¹

(E)f(E)dE p = 2

Z

E2

−∞

D

²

(E)(1 − f(E))dE

Der Faktor 2 vor dem Integral kommt von der doppelten Besetzung jedes Zustandes (Spin). Im Falle T = 0 K ist die Fermiverteilung nur bis E = µ

⁰

von Null verschieden und dort konstant gleich 1.

n = 2 Z

µ0

E1

D

¹

(E)dE

= c(m

¹

)

³²

(µ

⁰

− E

¹

)

³²

p = 2

Z

E2

µ0

D

²

(E)dE

= c(m

²

)

³²

(E

²

− µ

⁰

)

³²

Die Neutralit¨atsbedingung (alle L¨ocher sind durch Elektronen entstanden, die das Band wechselten) p=n liefert

µ

⁰

= m

¹

E

¹

+ m

²

E

²

m

¹

+ m

²

= E

¹

+ m

²

m

1

+ m

2

(E

²

− E

¹

)

= E

¹

+ 3

4 (E

²

− E

¹

)

= E

¹

+ 0.075eV

Wie beim Halbleiter ist das chemische Potential bei gleichen effektiven Massen in der

Mitte zwischen E

¹

und E

²

und bei ungleichen effektiven Massen zum ”leichteren” Band

hin verschoben. Anders ausgedr¨uckt: Beim Halbmetall ist das chemische Potential zur

Bandkante des ”schwereren” Bandes hin verschoben.

(3)

3 Zyklotronresonanz der Leitungselektronen

a) Klassisch: Aufgrund der Lorentz-Kraft F

L

= e(v × B) bewegt sich ein Elektron in einem homogenen Magnetfeld auf einer Kreisbahn, erf¨ahrt also die Zentrifugalkraft:

F

Z

=

^mv_r²

= mω

²

r. Im Kr¨aftegleichgewicht gilt:

|F

L

| = |F

Z

| evB = mv

²

/r

⇒ ω

c

= e m

B

b)

ω

c

= e m

B ⇒ B = ω

c

(m/e)

In InSb k¨onnen nach Voraussetzung die Leitungselektronen als freie Elektronen mit reduzierter Masse m

^∗

beschrieben werden: B = ω

cm^∗

e

mit ω

c

=

²^πc_λ

⇒ B = 2πc λ

m

^∗

e

Mit den angegebenen Zahlen ergibt sich ein Magnetfeld B = 5.0 · 10

⁻³

T.