Binomialkoeffizient
Gymnasium Immensee Stochastik, 5. Klassen
Bettina Bieri
27. Februar 2017
Inhaltsverzeichnis
1 N¨otiges Vorwissen: Fakult¨aten 1
1.1 Definition: Fakult¨at . . . 1
1.2 spezielle Fakul¨aten . . . 1
1.3 Rechenregeln f¨ur die Fakult¨at . . . 2
1.4 Beispiele . . . 3
2 Binomialkoeffizient 4 2.1 Definition: Binomialkoeffizien . . . 4
2.2 Eigenschaften des Binomialkoeffizienten . . . 4
2.2.1 Beweis der Regel von Pascal . . . 5
2.3 Beispiele . . . 6
2.4 Pascalsches Dreieck . . . 7
2.4.1 Binomischer Lehrsatz . . . 8
Kapitel 1
N¨ otiges Vorwissen: Fakult¨ aten
Der Binomialkoeffizient wird in ersten Linie in der Kombinatorik verwendet.
Um ihn verstehen zu k¨onnen, braucht es einiges an Vorwissen. Dieses werden wir in diesem Kapitel erarbeiten.
1.1 Definition: Fakult¨ at
Sei n eine nat¨urliche Zahl. Dann wird das Produkt ¨uber alle Zahlen von 1 bis n geschrieben als n! und als Fakult¨at von n bezeichnet.
1.2 spezielle Fakul¨ aten
Um Problemen bei praktischen Anwendungen vorzubeugen wird per Verein- barung 0!:=1 gesetzt.
Die ist sinnvoll, da sonst diverse Kombinatorik-Formeln nicht funktionieren w¨urden. Betrachten wir zum Beispiel die Formel der Variation ohne Wieder- holung. Diese lautet:
Vow = (n−k)!n!
Nun kann es vorkommen, dass n und k gleich gross sind, dass also alle Elemen- te angeordnet werden sollen. Mit 0!=1 kommen wir in diesem Fall tats¨achlich auf die Formel der Permutation:
Vow = (n−n)!n! = n!0! =n!
1
1.3 Rechenregeln f¨ ur die Fakult¨ at
Seien k,n ∈N mit k ≤n. Dann gilt:
1. n! =n·(n−1)!
2. n!k! = (k+ 1)·...·n
3. (n−k)!n! = (n−k+ 1)·...·n
1.4 Beispiele
Berechne folgende Ausdr¨ucke m¨oglichst einfach und ohne Taschenrechner:
a) 5!5
b) 199!200!
c) 400!399!· 10!9!
d) 100!2! · 98!2!
3
Kapitel 2
Binomialkoeffizient
Um den Binomialkoeffizient zu verstehen, werden die oben eingef¨uhrten Fa- kult¨aten ben¨otigt.
2.1 Definition: Binomialkoeffizien
Seienk, n ∈ N0 mitk ≤n. Dann ist der Binomialkoeffizient
n
k
definiert als:
n
k
= k!(n−k)!n!
2.2 Eigenschaften des Binomialkoeffizienten
1.
n
0
=
n
n
= 1 ∀n ∈N
2.
n
1
=
n
n−1
=n ∀n∈N
3.
n
k
=
n
n−k
∀n∈N0 und k ∈ {0, ..., n}
4.
n+ 1
k
=
n
k
+
n
k−1
2.2.1 Beweis der Regel von Pascal
5
2.3 Beispiele
Berechne die folgenden Binomialkoeffizienten ohne Taschenrechner:
a)
6
5
b)
11
9
c)
5
5
d)
100
1
e)
6
0
2.4 Pascalsches Dreieck
Die Regel von Pascal
n+ 1
k
=
n
k
+
n
k−1
liefert eine einfache M¨oglichkeit, Binomialkoeffizienten rekursiv zu berechnen. Da die Startbedin- gungen
0
0
=
n
0
=
n
n
= 1 bekannt sind, k¨onnen auf diese Art und Weise alle Binomialkoeffizienten berechnet werden.
Diese Rekursion l¨asst sich leicht im Pascalschen Dreieck darstellen:
0
0
1
0
1 1
2
0
2 1
2 2
3
0
3 1
3 2
3 3
4
0
4 1
4 2
4 3
4 4
5
0
5 1
5 2
5 3
5 4
5 5
usw.
Die obere Zahl des Binomialkoeffizienten entspricht der Nummer der Zeile, in welcher der Koeffizient steht. Die untere Zahl gibt an, an welcher Stelle in dieser Zeile der Ausdruck steht.
7
Wenn man die Binomialkoeffizienten in der oberen Darstellung ausrechnet, erkennt man, wie das Pascalsche Dreieck aufgebaut ist: Jeweils die Summe zweier nebeneinanderstehenden Zahlen ergibt die Zahl, welche unter diesen beiden Zahlen steht. Die drei obersten Zahlen sind die Startwerte, welche alle Eins sind:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
usw.
Damit kann das Pascalsche Dreieck einfach und schnell aufgeschrieben und tiefe Binomialkoeffizienten einfach abgelesen werden.
2.4.1 Binomischer Lehrsatz
Liest man die Zeilen des pascalschen Dreiecks von links nach rechts, bekommt man die Koffizienten der Binome:
0.Zeile : (x+y)0 = 1 1.Zeile : (x+y)1 = 1x+ 1y
2.Zeile : (x+y)2 = 1x2+ 2xy+ 1y2
3.Zeile : (x+y)3 = 1x3+ 3x2y+ 3xy2+y3
4.Zeile : (x+y)4 = 1x4+ 4x3y+ 6x2y2+ 4xy3+ 1y4 usw.
Allgemein kommt man damit auf den binomischen Lehrsatz:
(a+b)n =
n
0
an+
n
1
an−1b+
n
2
an−2b2+...+
n
n−1
abn−1+
n
n
bn
(Aufgaben zum Binomischen Lehrsatz sind im Stochastik-Buch auf den Sei-
