Statistik und Graphentheorie

(1)

Statistik und Graphentheorie

Sommersemester 2014 24. M¨ arz 2015

Teil Graphentheorie

Name:

Matrikelnummer:

1 (12) 2 (12) 3 (12) 4 (12) 5 (12)

^P

(60)

(2)

Gegeben sei das folgende Netzwerk:

(a) Berechnen Sie schrittweise die Abst¨ ande von a zu allen anderen Knoten.

(b) Geben Sie einen k¨ urzesten Weg von a nach j an.

(3)

Aufgabe 2 (12 Punkte)

Der folgende Graph repr¨ asentiert ein Straßennetz einer Stadt. Die Knoten stellen Pl¨ atze dar, die durch Straßen modelliert als Kanten verbunden sind. Die Zahlen an den Kanten geben dabei die j¨ ahrlichen Kosten f¨ ur die Straßenbelechtung an.

Da die Stadt sparen muss, sollen Teile der Straßenbeleuchtung abgeschaltet werden. Dabei sollen aber folgende Bedingungen ber¨ ucksichtigt werden:

• Die drei Straßen zwischen den Pl¨ atzen a, b und c stellen den Kern der Stadt dar.

Deshalb soll hier die Straßenbeleuchtung auf jeden Fall erhalten bleiben.

• Zwischen je zwei Pl¨ atzen muss es mindestens einen Weg geben, der vollst¨ andig beleuchtet ist.

Wie soll das Straßennetz beleuchtet werden, so dass die j¨ ahrlichen Kosten minimal und obige Bedingungen erf¨ ullt sind?

(a) Erl¨ autern Sie kurz, wie Sie dieses Problem graphentheoretisch l¨ osen k¨ onnen.

(b) Berechnen Sie eine L¨ osung.

3

(4)

(a) Geben Sie die Definition der beiden Begriffe “hamiltonscher Kreis” und “hamilton- scher Graph” an.

(b) Es sei G = (V, E) ein zusammenh¨ angender Graph. Ein Knoten v ∈ V heißt Artiku- lationspunkt, wenn G ohne v und die mit v inzidenten Kanten nicht mehr zusam- menh¨ angend ist.

Kann ein hamiltonscher Graph einen Artikulationspunkt haben (nur “ja” oder

“nein” als Antwort)?

(c) Beweisen Sie Ihre Antwort aus (b).

(5)

Aufgabe 4 (12 Punkte)

L¨ osen Sie das folgende Anfangswertproblem:

a

_n

= 5a

n−1

+ 6a

n−2

mit a

₀

= 1 und a

₁

= 2.

5

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Statistik und Graphentheorie

Statistik und Graphentheorie

Sommersemester 2014 24. M¨ arz 2015

Teil Graphentheorie

Name:

Matrikelnummer:

1 (12) 2 (12) 3 (12) 4 (12) 5 (12)

(60)

Gegeben sei das folgende Netzwerk:

(a) Berechnen Sie schrittweise die Abst¨ ande von a zu allen anderen Knoten.

(b) Geben Sie einen k¨ urzesten Weg von a nach j an.

Aufgabe 2 (12 Punkte)

Der folgende Graph repr¨ asentiert ein Straßennetz einer Stadt. Die Knoten stellen Pl¨ atze dar, die durch Straßen modelliert als Kanten verbunden sind. Die Zahlen an den Kanten geben dabei die j¨ ahrlichen Kosten f¨ ur die Straßenbelechtung an.

Da die Stadt sparen muss, sollen Teile der Straßenbeleuchtung abgeschaltet werden. Dabei sollen aber folgende Bedingungen ber¨ ucksichtigt werden:

• Die drei Straßen zwischen den Pl¨ atzen a, b und c stellen den Kern der Stadt dar.

Deshalb soll hier die Straßenbeleuchtung auf jeden Fall erhalten bleiben.

• Zwischen je zwei Pl¨ atzen muss es mindestens einen Weg geben, der vollst¨ andig beleuchtet ist.

Wie soll das Straßennetz beleuchtet werden, so dass die j¨ ahrlichen Kosten minimal und obige Bedingungen erf¨ ullt sind?

(a) Erl¨ autern Sie kurz, wie Sie dieses Problem graphentheoretisch l¨ osen k¨ onnen.

(b) Berechnen Sie eine L¨ osung.

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(a) Geben Sie die Definition der beiden Begriffe “hamiltonscher Kreis” und “hamilton- scher Graph” an.

(b) Es sei G = (V, E) ein zusammenh¨ angender Graph. Ein Knoten v ∈ V heißt Artiku- lationspunkt, wenn G ohne v und die mit v inzidenten Kanten nicht mehr zusam- menh¨ angend ist.

Kann ein hamiltonscher Graph einen Artikulationspunkt haben (nur “ja” oder

“nein” als Antwort)?

(c) Beweisen Sie Ihre Antwort aus (b).

Aufgabe 4 (12 Punkte)

L¨ osen Sie das folgende Anfangswertproblem:

a

= 5a

+ 6a

mit a

= 1 und a

= 2.

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Berechnen Sie f¨ ur das folgende Flussnetzwerk einen Maximalfluss f . Die angegebenen Zahlen geben die Kapazit¨ at der jeweiligen Kante an.

Geben Sie f¨ ur jeden Schritt einen zunehmenden Weg und den Flusswert Φ(f) an. Be-

gr¨ unden Sie den Maximalfluss.