Statistik und Graphentheorie

(1)

Statistik und Graphentheorie

Sommersemester 2014 21. September 2015

Teil Graphentheorie

Name:

Matrikelnummer:

1 (12) 2 (12) 3 (12) 4 (12) 5 (12)

^P

(60)

(2)

Gegeben sei das folgende Netzwerk:

(a) Berechnen Sie ein Minimalger¨ ust f¨ ur diesen Graphen. Geben Sie an, welches Verfah- ren Sie zur Berechnung verwenden und geben Sie die Kanten des Minimalger¨ ustes in der Reihenfolge ihrer Selektion an.

(b) Ist das von Ihnen bestimme Minimalger¨ ust eindeutig? Begr¨ unden Sie Ihre Antwort.

(3)

Aufgabe 2 (12 Punkte)

Gegeben sei das folgende Netzwerk:

(a) Ermitteln Sie einen k¨ urzesten Weg von a nach h an. Machen Sie Ihre Herleitung deutlich.

(b) Es seien G

₁

= (V, E, c

₁

) und G

₂

= (V, E, c

₂

) zwei Netzwerke mit identischer Knoten- und Kantenmenge und f¨ ur die Kantengewichtsfunktionen gelte c

₂

(e) = 2c

₁

(e) f¨ ur alle e ∈ E.

Sei nun W ein k¨ urzester Weg in G

₁

zwischen den Knoten a ∈ V und b ∈ V . Ist W dann auch ein k¨ urzester Weg in G

2

zwischen a und b? Begr¨ unden Sie Ihre Antwort.

(c) Es gelte nun c

₂

(e) = c

₁

(e) + K f¨ ur alle e ∈ E und K > 0. Ist W dann auch ein

k¨ urzester Weg in G

₂

zwischen a und b? Begr¨ unden Sie Ihre Antwort.

(4)

Der Gittergraph Q

_n,m

= (V

_n,m

, E

_n,m

) ist f¨ ur n, m ≥ 2 definiert durch:

V

_n,m

= {1, . . . , n} × {1, . . . , m}

E

_n,m

= {{(i, j), (i

⁰

, j

⁰

)} | |i − i

⁰

| + |j − j

⁰

| = 1}

(a) Geben Sie f¨ ur den Q

_2,m

einen hamiltonschen Kreis an.

(b) Zeigen Sie mittels vollst¨ andiger Induktion: F¨ ur alle n ∈ IN ist der Q

_2n,m

hamiltonsch.

(5)

Aufgabe 4 (12 Punkte)

Gegeben Sie das Anfangswertproblem

a

_n

= a

n−1

+ 6a

n−2

mit a

₀

= 1 und a

₁

= 2.

Bestimmen Sie a

₂₀₁₅

.

(6)

Statistik und Graphentheorie

Statistik und Graphentheorie

Sommersemester 2014 21. September 2015

Teil Graphentheorie

Name:

Matrikelnummer:

1 (12) 2 (12) 3 (12) 4 (12) 5 (12)

(60)

Gegeben sei das folgende Netzwerk:

(a) Berechnen Sie ein Minimalger¨ ust f¨ ur diesen Graphen. Geben Sie an, welches Verfah- ren Sie zur Berechnung verwenden und geben Sie die Kanten des Minimalger¨ ustes in der Reihenfolge ihrer Selektion an.

(b) Ist das von Ihnen bestimme Minimalger¨ ust eindeutig? Begr¨ unden Sie Ihre Antwort.

Aufgabe 2 (12 Punkte)

Gegeben sei das folgende Netzwerk:

(a) Ermitteln Sie einen k¨ urzesten Weg von a nach h an. Machen Sie Ihre Herleitung deutlich.

(b) Es seien G

= (V, E, c

) und G

= (V, E, c

) zwei Netzwerke mit identischer Knoten- und Kantenmenge und f¨ ur die Kantengewichtsfunktionen gelte c

(e) = 2c

(e) f¨ ur alle e ∈ E.

Sei nun W ein k¨ urzester Weg in G

zwischen den Knoten a ∈ V und b ∈ V . Ist W dann auch ein k¨ urzester Weg in G

zwischen a und b? Begr¨ unden Sie Ihre Antwort.

(c) Es gelte nun c

(e) = c

(e) + K f¨ ur alle e ∈ E und K > 0. Ist W dann auch ein

k¨ urzester Weg in G

zwischen a und b? Begr¨ unden Sie Ihre Antwort.

Der Gittergraph Q

= (V

, E

) ist f¨ ur n, m ≥ 2 definiert durch:

V

= {1, . . . , n} × {1, . . . , m}

E

= {{(i, j), (i

, j

)} | |i − i

| + |j − j

| = 1}

(a) Geben Sie f¨ ur den Q

einen hamiltonschen Kreis an.

(b) Zeigen Sie mittels vollst¨ andiger Induktion: F¨ ur alle n ∈ IN ist der Q

hamiltonsch.

Aufgabe 4 (12 Punkte)

Gegeben Sie das Anfangswertproblem

a

= a

+ 6a

mit a

= 1 und a

= 2.

Bestimmen Sie a

.

Berechnen Sie f¨ ur das folgende Flussnetzwerk einen Maximalfluss f . Die angegebenen Zahlen geben die Kapazit¨ at der jeweiligen Kante an.

Geben Sie f¨ ur jeden Schritt einen zunehmenden Weg und den Flusswert Φ(f) an. Be-

gr¨ unden Sie den Maximalfluss.