Das elektrische Feld eines Dipols
Feldlinien und Äquipotentiallinien eines Dipols
r
ϑ + q
− q l
r
E r
rE
r ϑ∆ r
E r
Wir interessieren uns für das vom Dipol erzeugte elektrische Feld im Aufpunkt mit den Koordinaten r und . Dabei sei vorausgesetzt, dass der Abstand der Dipolladungen l sehr klein gegen r sei. Das Feld be- rechnen wir aus dem Gradienten des Potentials. Das Potential ergibt sich durch Summation der Potentiale zweier Punktladungen:
ϑ
∆
≅ πε
∆
− +
∆
−
= πε 2
0
0 r
r 2 4
Q r
r 1 r
r 1 4
) Q r ( V
Hierbei wurde von der Tatsache Gebrauch gemacht, dass ∆r2<<r2. Aus der letzten Skizze entnimmt man den Zusammenhang zwischen
∆r und ϑ zu Damit erhält man für das Potential des Dipols in hinreichendem Abstand die Beziehung
. r 2 cos
l ϑ= ∆
3 0 2
0 2
0
4 r
r p r
4 cos p r
cos l 4
) Q r (
V πε
= ⋅ πε
= ϑ
ϑ
= πε
r rDas elektrische Feld erhält man aus dem Potential mittels der Relation
r gradV
.E = −
In Kugelkoordinaten schreibt sich der Gradient folgendermaßen:
θ
ϕ ϑ
ϕ θ θ
ϕ U e
e r U e r
r r U
U
grad rr r r
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂ 1
sin ) 1
, , (
Da das Problem bezüglich des Winkels ϕ rotationssymmetrisch ist und daher V auch nicht von ϕ abhängt, erhält man das elektrische Feld mittels der Relation
ϑ ϑ
θ = +
ϑ
∂
− ∂
∂
−∂
= θ
−
= Ve E e E e
r e 1 r ) V
, r ( V grad
Er rr r rrr r
Die Radialkomponente des Feldes Er ergibt sich zu
3 0 3
0
r
2 r
cos p r
cos l 2
) Q , r (
E πε
= ϑ
ϑ
= πε ϑ
die Azimutalkomponente zu3 0
r 4
sin ) p
, r (
E πε
= ϑ
ϑ
ϑ
Den Betrag der Feldstärke erhält man mit E= E2r +E2ϑ zu
1 cos
r 3 4
E p
3 20
+ πε ϑ
=
Der Betrag der Feldstärke nimmt mit der dritten Potenz des Abstandes vom Dipol ab. In Richtung der Dipolachse ( ) ist die elektrische Feldstärke maximal, das Potential gleich Null. Senkrecht zur Dipol- achse ist der Betrag der elektrischen Feldstärke minimal. In Richtung der Dipolachse trägt nur die Radialkomponente zum Feld bei, senk- recht dazu nur die Azimutalkomponente, die wegen der Drehung um 90° aber ebenfalls in Richtung der Dipolachse zeigt.
=0 ϑ
