1 1.3 Das elektrische Feld

1 1.3 Das elektrische Feld

 

2 2

0 0

1 ( ) 1

( ) ( )

4 4

N N m V

1 1 1

C C m m

r r

q Q F r Q

F r e E r e

r q r

F q E E

 

       

     



Elektrische Feldstärke = Kraft auf Probeladung normiert

Superpositionsprinzip: von n Ladungen ausgeübte Kraft bzw. Feldstärke

 

1 0 1

( ) 1 4

n n

i

i i

i i i

E r E r Q e

 r

 

     

N m J

1 V (Volt) 1 =1

C C

 

 

1

4

n n

i

q i i

i i i

Q

F r F q e

 r

 

      ^r

= Abstände zur Probeladung q

r

= Abstände zum Beobachtungspunkt

(Abbildungen: Giancoli, Physik)

Feldlinien

Die Anwesenheit einer elektrischen Ladung verändert den umgebenden Raum, was man durch eine (kleine) "Probeladung" testen kann, die an jedem Raumpunkt eine Kraft erfährt. Es entsteht ein Vektorfeld, das man durch Feldlinien visualisieren kann. Die Kraftrichtung ist tangential zu einer Feldlinie, die Größe der Kraft auf eine Probeladung lässt sich durch die Dichte der Feldlinien darstellen.

- Feldlinien beginnen und enden stets an einer Ladung - Feldlinien haben eine Richtung (Definition: von + nach -)

- Feldlinien schneiden sich nicht (Feld an einem Punkt ist eindeutig) - Feldlinien verlaufen so, als würden sie einander abzustoßen

- Feldlinien verlaufen möglichst direkt zwischen entgegengesetzten Ladungen - Feldlinien enden senkrecht auf metallischen Oberflächen

- elektrische Dipole (z.B. Grießkörner, Eisenspäne) richten sich entlang der Feldlinien aus - Feldlinien folgen einer beschleunigten Ladung verzögert (Strahlung)

Links: Feldlinien einer ruhenden oder langsam bewegten Ladung

Mitte: Feldlinien einer Ladung mit konstanter relativistischer Geschwindigkeit

Rechts: Momentaufnahme der Feldlinien einer Ladung zur Zeit t nach einer kurzzeitigen (Dt) Beschleunigung

3

Der elektrische Fluss durch ein Flächenelement dA :

durch die Gesamtfläche A :

Beispiel: Elektrischer Fluss durch eine Kugeloberfläche mit der Ladung Q im Zentrum

el

el

el 2

0 0 0 0

1 4

4 4 4

A

A

d E dA E dA

Q Q Q Q

dA d

r 

 

 

  

  

     



 

Raumwinkel

Robert Andrews Millikan (1868-1953) Nobelpreis 1923

Der Millikan-Versuch

Robert Millikan und Harvey Fletcher 1910

Schwebende geladene Öltröpfchen in einem elektrischen Feld werden mit einem Mikroskop beobachtet:

Gewichtskraft = Kraft des elektrischen Felds + Auftrieb in Luft.

Um ihren Radius (und damit Masse und Volumen) zu bestimmen, wird das elektrische Feld abgeschaltet:

Gewichtskraft = Reibungskraft + Auftrieb in Luft.

Aus der Geschwindigkeit v der fallenden Tröpfchen wird der Radius bestimmt (Stokessche Reibung ~ v).

Die so bestimme Ladung war immer ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung.

div

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

div

mit ( ) ( ) usw.

A V

x x

y y

z z

x y z

x

x x

E dA E dV

E x dx dy dz E x dy dz E y dy dx dz E y dx dz E z dz dx dy E z dx dy

E E E

dx dy dz E dV

x y z

E x dx E x E dx x

  

   -  

    -  

    -  

    

              

    



 

Divergenz und Satz von Gauss-Ostrogradski

Johannes Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Michail Wassilijowitsch Ostrogradski (1801-1862)

Intergral der Normalkomponente eines Vektorfelds über eine geschlossene Oberfläche =

Integral der Divergenz des Vektorfelds über das eingeschlossene Volumen dh. die Divergenz sagt etwas darüber, "wie viele Feldlinien in das Volumen eintreten bzw. herauskommen" (Quellenstärke)

Wichtiges Beispiel: Gaußsches Gesetz

Kugelförmige Oberfläche mit Radius R um eine Punktladung:

Ladungen sind Quellen bzw. Senken des

div div

E dA Q  dV E dV E 

  

       

  

5

Anwendungsbeispiele

1) Elektrisches Feld eines mit konstanter Ladungsdichte l (Linienladung) besetzten Stabs:

Betrachte einen Zylinder von Radius R und Länge L um den Stab

E R L

L Q R E A d E

A

          

 2

2



 l

 l

 





 

 

0

2

2 2 2 2

2

2 2 2

0 0

2 2

0

/ 2

/ 2 / 2 / 2 0

2

0

t

o

an 1 tan

1 1

4 4

( ) c s 1 cos

4

1 1

cos sin

4 4

s

1 2

co cos

x

E x

dQ dy

dE r x y

E E dE y

x

x y dy

E d

x x

y dy d x

x x

y x

 

  



l

 

 l 



l  l



 



l





 



 

- -

- -

 



  





    

 

  

 



Es geht auch komplizierter:

2) Plattenkondensator mit homogener Ladungsdichte s (Flächenladung) besetzt. Betrachte ein Volumen mit einer Stirnfläche A senkrecht zu den Feldlinien

0 0

0



s

 s

 ^{ }

 







 ^E  ^{d A E A Q A E}

A

 

(Abbildungen: Giancoli, Physik)

6 1.4 Elektrostatisches Potenzial und Spannung

Das elektrische Feld ist konservativ

- radialsymmetrisches Zentralkraftfeld → konservativ - das bedeutet u.a.

- konservativ → skalares Zentralpotenzial definierbar

2

1

ist wegunabhängig 0 rot 0

E ds  E ds   E 

 

2 2

1 1

2 2

2

0 0 0 1 2

1 1

1 1 1 1

Kraft Weg

4 4 4

r r

r r

q Q q Q q Q

W F ds q E ds dr

r r r r

  

 

  

         -    - 

 

  

Benötigte Arbeit, um eine Ladung im E-Feld zu bewegen

(Kleine) punktförmige Probeladung q im Feld einer Punktladung Q

Vorzeichen? Annahme: r

> r

q∙Q > 0 (gleichnamige Ladungen) → W > 0 (Energie gewonnen, Abstoßung) q∙Q < 0 (ungleichnamige Ladungen) → W < 0 (Arbeit aufgewandt, Anziehung)

   

       

grad 0

grad z.B.

P

P P

P W E ds E

q

P ds dx x x P

x

  

     



 





    -  

 -  -    -  





 

Potenzial im Punkt P Verrichtende Arbeit, wenn Einheitsladung ins Unendliche

gebracht wird

7

Alessandro Guiseppe Antonio Anastasio Graf von Volta

(1745-1827)

Elektrostatisches Potenzial ( = potenzielle Energie / Ladung) Die Potenzialdifferenz zwischen zwei Punkten ist

    ^{- }  ^{ -}  ^{ }  ^



1 2

1

2 1

P

P P

P

s d E s

d E s

d E P

P

U      





Elektrische Spannung (Differenz der potenziellen Energie / Ladung)

  ^{1 J 1 N m 1 kg m}

^{1 V (Volt)}

C C A s

U    

Die Energieeinheit Elektronenvolt (eV)

bietet sich bei der Beschreibung von Elementarladungen an, die eine Potenzialdifferenz durchlaufen haben, z.B. in Teilchenbeschleunigern, aber auch beim Wechsel zwischen Energieniveaus

z.B. Elektronen in der Atomhülle:

19 19

1 eV = 1,602 10 

C 1 V = 1,602 10  

J

Beispiele:

Beschleunigte Elektronen in der Röntgenröhre

Spannung von einigen 10 kW können mit geeigneter Elektronik erzeugt werden. In einer Röntgenröhre werden hiermit Elektronen von einer Kathode (negativer Pol) auf eine Anode (positiver Pol)

beschleunigt, die aus einem Material hoher Kernladungszahl besteht (z.B. Kupfer mit Wolfram Z = 74).

Durch die abrupte Abbremsung entsteht (wie stets bei beschleunigten Ladungen) elektromagnetische Strahlung, in diesem Fall mit einem Spektrum , das bei der Elektronenenergie E endet,

z.B. E = 50 keV entspricht einer Wellenlänge von 0,025 nm , also Röntenlicht.

(Faustregel: Wellenlänge in nm = 1,24 / Energie in keV)

Beschleunigte Ionen in einem Van-de-Graaf-Generator

Hohe Spannungen lassen sich auch durch mechanischen Transport von Ladungen erzeugen, z.B. mit einem Bandgenerator (Van-de-Graaf-Generator). Hiermit lassen sich auch Teilchen beschleunigen.

Die Beschleunigungspannung liegt typisch um 10 MV (max. 18 MV Vivitron in Strasbourg), wenn sich der Generator in einem Gas mit hoher Durchschlagsfeldstärke befindet (SF

).

Ionen können die Beschleunigungsspannung 2x durchlaufen (Tandem-Van-de-Graaf):

1) negatives Ion wird zum "Terminal" beschleunigt, das auf positiver Spannung liegt

2) Elektronen werden abgestreift ("Stripper"-Gas oder -Folie) und vom Terminal abgestoßen