Das Feld eines elektrischen Dipols

Erg¨ anzungen zu Physik II Das Feld eines elektrischen Dipols

Das Feld eines elektrischen Dipols

- 6

x z

r

u u

~ 6 d A

A A A ϑ

1

) = d · cos(ϑ)

P q +

r

0

~ r

33 g

g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g q −

r

Wir betrachten zwei entgegengesetzt geladene Teilchen, deren Ladungen den gleichen Betrag ha- ben (|q + | = |q ₋ | =: q). Unser Ziel ist es, das von ihnen erzeugte elektrische Feld zu beschrei- ben, wobei wir die folgenden Schritte vornehmen:

1) Bestimmung von V (r)

2) Berechnung von E(~ ~ r) = −gradV

::::::::

Schritt

1)

V (r) = V + + V −

= + 1 4π 0

q ₊ r +

+ q ₋ r ₋

= + q 4π 0

1 r +

− 1 r −

, wobei r ₋ ∼ = r ₊ + d · cos(ϑ)

r

V(r)

6 V (r)

- r

E _r = − ^∂V _∂r

V = _4π ^+q

0

· ¹ _r

und damit 1

r +

− 1 r ₋

∼ = r + + d · cos(ϑ) − r +

r + r ₋

∼ = d · cos(ϑ)

r + 2 + r + d cos(ϑ) = d · cos(ϑ) r ₊ ² (1 + _r ^d

+

cos(ϑ)) . F¨ ur r + , r − d ist r + ' r sowie _r ^d

+

cos(ϑ) 1 , also 1

r +

− 1 r ₋

∼ = d · cos(ϑ) r ²

= ⇒ V (r) ∼ = + q 4π 0

· d · cos(ϑ) r ² .

F¨ uhren wir nun die Definition des Dipolmoments ~ p := q · d ~ ein, so l¨ asst sich das Potential schreiben als V (r) ∼ = 1

4π 0

· 1 r ³ · qd

|{z} |~ p|

r cos(ϑ)

| {z }

~ p ◦ ~ r

= 1

4π 0

· pr cos(ϑ) r ³ = 1

4π 0

· p ~ ◦ ~ r

r ³ . (1)

Diskussion: Indem wir cos(ϑ) als cos(ϑ) = ^z _r beschreiben, finden wir f¨ ur die obige N¨ aherung die Form V (r) = 1

4π ₀ · p · cos(ϑ)

r ² = p 4π ₀ · z

r ³ . (2)

F¨ ur ϑ = π/2, d.h. in der ganzen xy-Ebene (denn dort ist z = 0), gilt folglich V (r) = 0 = konst. – die xy-Ebene ist also eine Aquipotentialfl¨ ¨ ache. Dies wiederum bedeutet, dass das elektrische Feld E ~ senkrecht zur xy-Ebene steht; es ist E x = E y = 0.

1

Erg¨ anzungen zu Physik II Das Feld eines elektrischen Dipols

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Schritt

2)

E(~ ~ r) = −gradV , d.h. es ist mit Gl.(2) z.B. die x-Komponente

E _x = − ∂V

∂x = − p 4π 0

| {z }

=:A

· 0 · r ³ − z · ^∂(r _∂x

⁾

r ⁶ ,

und da r = p

x ² + y ² + z ² , ist ^∂(r _∂x

⁾ = 3r ^{2 ∂(r)} _∂x = 3r ² · ¹ ₂ √ ^2x

x

+y

+z

= 3x ^r _r

= 3xr , woraus folgt:

E _x = −Az 3xr

r ⁶ = −3Az · x

r ⁵ . (3)

Analog dazu ist E y = −3Az · y

r ⁵ . (4)

Tats¨ achlich gilt mit den gefundenen Ausdr¨ ucken wie erwartet E x (z = 0) = E y (z = 0) = 0 4. F¨ ur die z-Komponente findet man schliesslich

E z = − ∂V

∂z = A · 1 · r ³ − z · ^∂(r _∂x

⁾

r ⁶ = A · r ³ − z · 3zr

r ⁶ = A · r ³ r ⁶

1 − 3z ²

r ²

= A r ³ ·

1 − 3z ²

r ²

, (5) woraus sich f¨ ur z = 0 die Beziehung E _z (z = 0) = _r ^A

ergibt.

2