Die Integration
Schatten-operatorwertiger Funktionen bez¨uglich positiv-operatorwertiger Inhalte
Dissertation
zur Erlangung des akademischen Grades des Doktors der Naturwissenschaften am Fachbereich Mathematik und Statistik
der Universit¨at Konstanz
vorgelegt von
Markus Sigg
Gutachter: Prof. Dr. Dieter Hoffmann Prof. Dr. Robert Denk
Tag der m¨undlichen Pr¨ufung: 30. Mai 2006
Zusammenfassung
Die vorliegende Dissertation untersucht dieExistenzund dieFortsetzbarkeiteines bez¨ug- lich zweier positiv-operatorwertiger Inhalte, kurzPO-Inhalte, gebildeten sesquilinearen elementaren Integrals Schatten-operatorwertiger Funktionen. Im Zuge dessen werden die bekanntenLp-R¨aume skalarer Funktionen bez¨uglich skalarer Maße verallgemeinert auf operatorwertige Funktionen und PO-Inhalte.
Sindµund ν PO-Inhalte auf dem gleichen Mengensystem undp, q, α, β ∈ [1,∞], dann lautet die Aufgabe, m¨oglichst umfassende R¨aumeLp undLqvon operatorwertigen Funk- tionen und zu den Funktionenf ∈ Lp sowie g ∈ Lq eine sesquilinear vom Paar (f, g) abh¨angende Gr¨oße
hf, giµν
so zu finden, daß f¨ur alleeinfachsten Funktionenf =χAF undg =χBGdie Identit¨at hχAF, χBGiµν =
F µ(A∩B)1p Gν(A∩B)1q∗
gilt, wobeiAundB Elemente des den Inhalten zugrundeliegenden Mengensystems sind undF sowieGOperatoren der Schatten-α- bzw. Schatten-β-Klasse. Insbesondere sollen also die gesuchten R¨aumeLp undLq die Mengen der jeweiligen einfachsten Funktionen enthalten und somit auch deren lineare H¨ullen, d. h. die R¨aume dereinfachen Funktionen.
F¨ur einfache Funktionenf undgisthf, giµν verm¨oge der Sesquilinearit¨at durch die oben angegebene Forderung nat¨urlich schon festgelegt.
Freilich ist erst zu kl¨aren, ob bzw. wann ¨uberhaupt sich eine derartige sesquilineare Abbil- dungh, iµν wenigstens als elementares(p, q)-Integral f¨ur einfache Funktionen definie- ren l¨aßt. Wir f¨uhren hierzu die(p, q)-Vertr¨aglichkeitder Inhalte ein und zeigen, daß diese
¨aquivalent zur Existenz des zugeh¨origen elementaren(p, q)-Integrals ist. Dabei verallge- meinern wir die Aufgabenstellung noch durch Betrachten einer zus¨atzlichen AbbildungI, die ausgleichend zwischen die Inhalte eingeschoben werden kann, um die Vertr¨aglichkeit herzustellen. Das zugeh¨orige(p, q)-Integral heißt dannh, iµIν.
Die n¨achste Frage ist, wie man zu den R¨aumenLp undLqderintegrierbaren Funktionen kommt und das elementare(p, q)-Integral auf ihr Produkt erweitert. Gew¨unscht ist noch, daß dieeinfachen Funktionen dichtin diesen R¨aumen liegen. Daher gehen wir den Weg derstetigen Fortsetzung, was m¨oglich ist, sowie manPseudonormenk kµundk kνauf den Funktionenr¨aumen hat, mit denen das elementare(p, q)-Integral eineH¨older-Ungleichung
|hf, giµIν| ≤akfkµkgkν
mit einer gewissen Konstantena ∈[0,∞)erf¨ullt. Wir entwickeln zun¨achst Pseudonormen
| |µ,p,α und | |ν,q,β, die einer solchen Ungleichung gen¨ugen, auf den R¨aumen der einfa- chen Funktionen, konstruieren dann geeigneteIntegralnormenauf dem Raum der[0,∞]- wertigen Funktionen und mit deren Hilfe Pseudonormen auf den Funktionenr¨aumen, f¨ur die auf den einfachen Funktionen wieder die genannte H¨older-Ungleichung gilt.
Besondere Aufmerksamkeit widmen wir dem Fall, daß die PO-Inhalte durch Integrale positiv-operatorwertigerDichtefunktionen bez¨uglich klassischer Inhalte dargestellt sind.
Zwischen dem (p, q)-Integral zu den PO-Inhalten und demjenigen zu den klassischen Inhalten besteht ein enger Zusammenhang, den wir alsTransformationssatznotieren.
Zum Aufbau der Arbeit
In der Einleitung in Kapitel 1 wird die behandelte Aufgabe, n¨amlich die Untersuchung derExistenzund dieFortsetzungdes elementaren(p, q)-Integrals, kurz erl¨autert.
Kapitel 2 versammelt grundlegende Begriffe, Bezeichnungen und Zusammenh¨ange, die im weiteren ben¨otigt werden. Insbesondere sind hier wichtige Eigenschaften vonpositi- ven Operatorensowie vonSchatten-Operatorenzusammengestellt.
Kapitel 3 ist eine Erweiterung des in [Sig98] gegebenen knappen ¨Uberblicks ¨uber die Literatur der letzten Jahrzehnte, die sich mit Vorl¨aufern und Spezialf¨allen unserer Fra- gestellung besch¨aftigt. Ferner nennt Abschnitt 3.12 schon einige der in der vorliegenden Arbeit erzielten Fortschritte.
In Kapitel 4 werden daselementare(p, q)-Integraldefiniert und in Gestalt der(p, q)-Ver- tr¨aglichkeiteine einfache sowohl notwendige als auch hinreichende Bedingung f¨ur seine Existenz hergeleitet.
Kapitel 5 f¨uhrtPseudonormenauf den R¨aumen der einfachen Funktionen ein, die mit dem elementaren(p, q)-Integral eineH¨older-Ungleichungerf¨ullen. Das Finden dieser Pseudo- normen war einer der entscheidenden Schritte in der Entwicklung der Theorie.
Kapitel 6 befaßt sich mit der Erweiterung des elementaren(p, q)-Integrals. Hier kommt ein allgemeinerFortsetzungssatz f¨ur sesquilineare Abbildungenzur Anwendung, der da- von ausgeht, daß man Pseudonormen auf den zugrundeliegenden Vektorr¨aumen hat, die mit der gegebenen sesquilinearen Abbildung einer H¨older-Ungleichung gen¨ugen.
Zur Anwendung dieses Satzes auf das elementare (p, q)-Integral sind daher Pseudonor- men auf den vollen Funktionenr¨aumen gesucht, die auf den einfachen Funktionen die in Kapitel 5 definierten Pseudonormen majorisieren. In Kapitel 7 zeigen wir, wie man sol- che Pseudonormen ausIntegralnormenerhalten kann, die ihrerseits mit Hilfe der auf den einfachen Funktionen eingef¨uhrten Pseudonormen konstruiert werden.
Nach einem Zwischenspiel allgemeinerer Art ¨uber gewisse Transformationen operator- wertiger Funktionen in Kapitel 8, wenden wir uns PO-Inhalten zu, die durch die Inte- gration PO-wertigerDichtefunktionenbez¨uglich klassischer Inhalte entstehen, und zwar in Kapitel 9 zun¨achst einem einzelnen solchen PO-Inhalt und in Kapitel 10 einem Paar derartiger PO-Inhalte und dem zugeh¨origen(p, q)-Integral.
Schließlich sind in Kapitel 11 u. a. Fragen gesammelt, die einer weitergehenden Betrach- tung wert w¨aren und als m¨ogliche Ansatzpunkte zuk¨unftiger Forschung dienen k¨onnen.
Danksagung
Ich danke der Dr. Helmut Manfred-Riedl-Stiftung f¨ur die F¨orderung meiner Promotion und meinem Betreuer, Prof. Dr. Dieter Hoffmann, f¨ur zahllose wertvolle Hinweise, un- erm¨udliches Korrekturlesen von Zwischenst¨anden und seine schier unendliche Geduld.
Außerdem meinem Lehrer Reinhold
”Mathe-M¨uller“, der mir und vielen anderen schon im Schulunterricht und in der Mathe-AG die Augen f¨ur die Sch¨onheit dieser Wissenschaft ge¨offnet und so den Weg zum sp¨ateren Studium gewiesen hat.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
2 Allgemeine Grundlagen 3
2.1 Mengen und Abbildungen . . . 3
2.2 Vektorr¨aume und lineare Operatoren . . . 4
2.3 Orthogonale Projektionen . . . 5
2.4 Verallgemeinerte Inverse . . . 5
2.5 Positive Operatoren . . . 6
2.5.1 Positive und selbstadjungierte Operatoren . . . 6
2.5.2 Positive Potenzen positiver Operatoren . . . 6
2.5.3 Die Ando-Ungleichung . . . 7
2.5.4 Nullte Potenzen positiver Operatoren . . . 7
2.6 Schatten-Klassen . . . 9
2.6.1 Operatoren von endlichem Rang . . . 9
2.6.2 Kompakte Operatoren, Schmidt-Darstellung, singul¨are Zahlen . . 9
2.6.3 Schatten-Operatoren . . . 10
2.6.4 Spurklasseoperatoren . . . 10
2.6.5 Hilbert-Schmidt-Operatoren . . . 10
2.6.6 Normungleichungen, Idealeigenschaften usw. . . 11
2.6.7 Darstellung der Operatornorm durch die Schatten-Norm . . . 12
2.6.8 Die Schatten-Stetigkeit der Operatorpotenz . . . 13
2.7 Integrationstheoretisches . . . 14
2.7.1 Pr¨a-Ringe und Ringe . . . 14
2.7.2 Der Schnitte-Pr¨a-Ring zu einem Pr¨a-Ring . . . 14
2.7.3 Inhalte . . . 15
2.7.4 Maße . . . 15
2.7.5 Schwache Maße . . . 16
2.7.6 Semivariation und Totalvariation . . . 18
2.7.7 Einfachste und einfache Funktionen . . . 18
2.7.8 Darstellungen einfacher Funktionen . . . 18
2.7.9 Operatorwertige Inhalte und elementare Integrale . . . 19
2.7.10 Pseudonormen und Integralnormen . . . 20
2.7.11 Triviale Fortsetzung von Pseudonormen . . . 21
2.7.12 Die Integralnormenk k0p . . . 21
Inhaltsverzeichnis
3 Vorgeschichte und Ausblick 25
3.1 Wiener und Masani 1958, Masani 1959 . . . 25
3.2 Rosenberg 1964 . . . 27
3.3 Salehi 1966 . . . 27
3.4 Kuroda 1967 . . . 28
3.5 Mandrekar / Salehi 1970 . . . 28
3.6 Masani 1970 . . . 30
3.7 Welch 1972 . . . 31
3.8 Klotz 1991 . . . 31
3.9 Duran und Lopez-Rodriguez 1997 . . . 32
3.10 Sigg 1998 . . . 33
3.11 Sigg 2004 . . . 34
3.12 Erweiterungen in der vorliegenden Arbeit . . . 36
4 Das elementare(p, q)-Integral 37 4.1 Voraussetzungen und Vor¨uberlegungen . . . 37
4.2 Die(p, q)-Vertr¨aglichkeit . . . 40
4.3 Zur Existenz des elementaren(p, q)-Integrals . . . 42
4.4 Das Quadratintegral als Spezialfall . . . 44
4.5 Eine Bemerkung zur Definition . . . 45
4.6 Geht das alles denn nicht einfacher? . . . 46
5 Die Pseudonorm| |µ,p,α 47 5.1 Darstellungssummen . . . 48
5.2 Ein erster Ansatz, der aber scheitert . . . 50
5.3 Ein zweiter Ansatz, der Erfolg hat . . . 51
5.4 Zur Wahl der Mengensysteme in der Definition . . . 52
5.5 Zur Frage der Endlichkeit . . . 54
5.6 Isotone Darstellungssummen . . . 55
6 Integralfortsetzung 59 6.1 Die stetige Fortsetzung sesquilinearer Abbildungen . . . 59
6.2 Die Fortsetzung des elementaren(p, q)-Integrals . . . 61
6.3 Zur Wahl der zugrundegelegten Funktionenr¨aume . . . 62
7 Geeignete Integralnormen 65 7.1 Die Integralnormτµ,p,αund die(p, α)-Semivariation . . . 66
7.2 Semivariationsnorm und Totalvariationsnorm . . . 68
7.3 Riemann-Norm und lokale Riemann-Norm . . . 69
7.4 Lebesgue-Norm und lokale Lebesgue-Norm . . . 71
7.5 Bourbaki-Norm und lokale Bourbaki-Norm . . . 73
7.6 Vergleich der Integralnormen . . . 74
7.7 Zur Endlichkeit auf den einfachen Funktionen . . . 76
Inhaltsverzeichnis
8 Transformationen 77
8.1 Grundlagen . . . 78
8.2 Abschl¨usse allgemeiner Unterr¨aume . . . 80
8.3 Abschl¨usse von R¨aumen einfacher Funktionen . . . 83
8.4 Transformation mitΦ1/p, allgemeinesE<F(R, c) . . . 84
8.5 Transformation mitΦ1/p,E=E(R,S, c). . . 85
9 Ein PO-Inhalt mit Dichte 87 9.1 Die Halbnorm| |λ,p,α . . . 88
9.2 Die Pseudonormk kλ,p,α . . . 89
9.3 Einfache Dichtefunktionen . . . 90
9.4 Lokal PO-approximierbare Dichtefunktionen . . . 91
9.5 Vergleich mit der allgemeinen Konstruktion . . . 94
10 Zwei PO-Inhalte mit Dichte 99 10.1 Zur(p, q)-Vertr¨aglichkeit . . . 100
10.2 Das(p, q)-Integral . . . 101
10.3 Das verallgemeinerte(p, q)-Integral . . . 104
11 Erg¨anzungen 107 11.1 Anwendungen? Wo sind die Anwendungen? . . . 107
11.1.1 Schwache PO-Maße in der Wahrscheinlichkeitstheorie . . . 107
11.1.2 Schwache PO-Maße in der Quantentheorie . . . 107
11.1.3 Schatten-Normen in der Quantenkommunikation . . . 108
11.2 Offene Fragen . . . 109
11.2.1 Unbeschr¨ankte Operatoren schon im elementaren Integral? . . . . 109
11.2.2 Nichtkonjugiertepundq . . . 109
11.2.3 Der Fallp=∞ . . . 109
11.2.4 Zur Ando-Ungleichung . . . 110
11.2.5 Zu den Integralnormenk k0p . . . 110
11.2.6 Zur Konstruktion der Pseudonormen . . . 110
11.2.7 Stetige Abh¨angigkeit vonp? . . . 111
11.2.8 Zu den Voraussetzungen der H¨older-Ungleichung . . . 111
11.2.9 Isotone Darstellungssummen und aufsteigende Stetigkeit . . . 111
11.2.10 Zum Fortsetzungssatz . . . 111
11.2.11 Weitere Anwendungen von Kapitel 8? . . . 112
11.2.12 Zur Bourbaki-Norm . . . 112
11.2.13 Vergleich von Pseudonormen zu lokalen Integralnormen . . . 112
Literaturverzeichnis 113
Index 117
1 Einleitung
Der historische Ursprung unseres Themas ist dieQuadratintegrierbarkeitskalarer Funk- tionen bez¨uglich klassischer Maße. Schaut man in der mathematischen Literatur der letz- ten Jahrzehnte nach Versuchen, den Begriff einer reellen oder komplexen quadratinte- grierbaren Funktion zu verallgemeinern auf die Integration operatorwertiger Funktionen bez¨uglich operatorwertiger Maße, so findet man erste Ans¨atze schon um das Jahr 1958.
In der nachfolgenden Zeit erschien mit fortschreitendem Verallgemeinerungsgrad eine Reihe von Arbeiten, die sich mit der Integration matrixwertiger oder allgemeiner Hilbert- Schmidt-operatorwertiger Funktionen befassen. Dabei geht es um die folgende Aufgabe:
Gegeben sind ein Pr¨a-RingS¨uber einer nichtleeren MengeR, ein HilbertraumH, ein In- haltµ:S−→L(H)+und zwei weitere Hilbertr¨aumeU undV. Gesucht sind (m¨oglichst umfassende) Funktionenr¨aumeLµ,2(H, U)undLµ,2(H, V)mit
E(R,S, c2(H, U))<Lµ,2(H, U)<F(R,L(H, U)) und E(R,S, c2(H, V))<Lµ,2(H, V)<F(R,L(H, V))
sowie ein sesquilinearesQuadratintegral
h, iµ:Lµ,2(H, U)×Lµ,2(H, V)−→c1(V, U)
so, daß f¨ur alleA, B ∈SundF ∈c2(H, U)sowieG∈c2(H, V)gilt:
hχAF, χBGiµ= Fp
µ(A∩B) Gp
µ(A∩B)∗
Wenn man die ¨altere Literatur durchsieht, werden schnell die Schw¨achen der verwende- ten Methoden deutlich. Voraussetzungen erscheinen unn¨otig stark (etwa Absolutstetigkeit der Maße) oder ihre Notwendigkeit der Natur nach fragw¨urdig (etwa Separabilit¨at der zu- grundeliegenden Hilbertr¨aume) und Vorgehensweisen der Sache nicht angemessen (etwa die abstrakte Vervollst¨andigung von Funktionenr¨aumen, weil kein konstruktives Verfah- ren bekannt ist). Im Falle, daß die zugrundeliegenden Hilbertr¨aume unendlichdimensional sind, ist i. a. nicht einmal das Enthaltensein und die Dichtheit des Unterraums der ein- fachen Funktionen im Raum der quadratintegrierbaren Funktionen gew¨ahrleistet — wo man von einem Raum integrierbarer Funktionen doch wohl erwarten sollte, daß er wenig- stens die (auf elementare Weise integrierbaren) einfachen Funktionen umfaßt. ¨Uberdies bekommt man den Eindruck, daß manche mit großem Aufwand bewiesenen zentralen Er- gebnisse viel einfacher zu erzielen sein m¨ußten, wenn nur der Zugang geschickter w¨are.
1 Einleitung
Die vorliegende Arbeit zeigt, daß die geschilderte Aufgabe sich einfacher, eleganter und obendrein unter schw¨acheren Voraussetzungen und in wesentlich allgemeinerem Rahmen bew¨altigen l¨aßt, wenn man den ¨Ubergang vom elementaren Integral einfacher Funktionen zu einer gr¨oßeren Klasse integrierbarer Funktionen von vornherein und durchgehend als stetige Fortsetzung behandelt, ¨ahnlich wie dies in [HS92] f¨ur das
’gew¨ohnliche‘ lineare Integral gemacht wird. Die integrierbaren Funktionen werden als Abschluß des Raums der einfachen Funktionen bez¨uglich einer geeigneten Pseudonorm gewonnen und ihr In- tegral als die bez¨uglich dieser Pseudonorm stetige Fortsetzung des elementaren Integrals der einfachen Funktionen. Viele bei anderen Zug¨angen oft ¨außerst umst¨andlich bewiese- ne Zusammenh¨ange sind dann unmittelbar durch Stetigkeitsargumente einzusehen. Auch liegen die einfachen Funktionen bereits aufgrund des Vorgehens dicht im Raum der inte- grierbaren Funktionen.
Wir nehmen dabei die folgenden Verallgemeinerungen vor:
• Die zugrundegelegten Hilbertr¨aume sind von beliebiger Dimension und brauchen nicht separabel zu sein.
• Anstelle von Hilbert-Schmidt-operatorwertigen Funktionen betrachten wir Funk- tionen, deren Werte in vorgegebenen Unterr¨aumen von Schatten-Klassen liegen.
• Wir behandeln nicht nur Quadratintegrale, sondern(p, q)-Integralezup, q ∈[1,∞].
Quadratintegrale sind durch die Spezialisierungp=q= 2inbegriffen.
• Die beiden Argumentfunktionen des (p, q)-Integrals d¨urfen Schatten-Klassen zu unterschiedlichen Hilbertr¨aumen als Zielbereiche haben.
• Wir behandeln statt Integralen bez¨uglich nur eines Inhalts
’gemischte‘ Integrale bez¨uglich zweier Inhalte.
• Damit zusammenh¨angend f¨uhren wir als zus¨atzliche Freiheit eine weitere Abbil- dung ein, die zwischen die Inhalte gesetzt werden kann.
Die neue, sp¨ater noch genauer erl¨auterte Aufgabenstellung lautet damit:
Gegeben sind ein Pr¨a-RingS ¨uber einer nichtleeren MengeR, Hilbertr¨aumeH undK, Inhalteµ: S −→L(H)+undν : S−→ L(K)+und zwei weitere Hilbertr¨aumeU und V, außerdemI : S(S) −→L(K, H)undα, β, γ ∈[1,∞]mit1/α+ 1/β = 1/γ sowie c < cα(H, U)und d < cβ(K, V). Ferner seienp, q ∈ [1,∞]. Gesucht sind (m¨oglichst umfassende) Funktionenr¨aumeLµ,p,α(H, U)undLν,q,β(K, V)mit
E(R,S, c)<Lµ,p,α(H, U)<F(R,L(H, U)) und E(R,S, d)<Lν,q,β(K, V)<F(R,L(K, V))
sowie ein sesquilineares(p, q)-Integral
h, iµIν :Lµ,p,α(H, U)×Lν,q,β(K, V)−→cγ(V, U) so, daß f¨ur alleA, B ∈SundF ∈csowieG∈dgilt:
hχAF, χBGiµIν =
F µ(A∩B)p1
I(A∩B)
Gν(A∩B)1q∗
2 Allgemeine Grundlagen
Im folgenden vereinbaren wir einige grundlegende Bezeichnungen, erinnern an verschie- dene bekannte Tatsachen vor allem aus der Funktionalanalysis und der Integrationstheorie und beweisen ein paar Aussagen allgemeiner Natur. Die hier vorgestellten Definitionen und Eigenschaften werden sp¨ater meist ohne weitere Erl¨auterung benutzt und wurden teilweise auch schon in der Einleitung verwendet. Nicht aufgef¨uhrt sind Zeichen (wie et- wa∅ f¨ur die leere Menge oder R f¨ur die reellen Zahlen), die in der gesamten heutigen Mathematik mit der gleichen Bedeutung gebr¨auchlich sind, und Grundbegriffe (wie etwa Stetigkeit), deren Kenntnis Allgemeingut ist.
Der große Umfang dieses Kapitels mag vielleicht ein bißchen ungew¨ohnlich erscheinen.
Er hat mehrere Ursachen:
• Nat¨urlich m¨ussen in einer mathematischen Arbeit alle benutzten Begriffe genau definiert sein. Selbst so niedere Dinge wie die Frage, ob man die Zahl0zur Menge der nat¨urlichen Zahlen rechnet oder nicht, d¨urfen nicht unklar gelassen werden.
• Die ¨uber Potenzen positiver Operatoren notierten Ergebnisse lassen sich zwar leicht mit ¨ublichem funktionalanalytischem Grundwissen herleiten, doch sie waren in kei- nem der befragten Lehrb¨ucher zu finden. Ferner bedurfte unsere spezielle Definition der nullten Potenz auf jeden Fall einer Begr¨undung und Erl¨auterung.
• Die Eigenschaften von Schatten-Operatoren sind anscheinend nicht in einem ein- zelnen Lehrbuch oder Fachartikel in dem von uns ben¨otigten Umfang beschrieben.
Uberdies werden oft nur Schatten-Klassen von Operatoren auf¨ einemHilbertraum behandelt, wogegen wir Operatoren zwischenzweiHilbertr¨aumen ben¨otigen.
• Einige Ergebnisse, etwa die S¨atze 2.5.2, 2.6.2, 2.6.4 und 2.7.11, sind auch außerhalb des Kontextes des (p, q)-Integrals interessant und deshalb vorab in diesem Grund- lagenkapitel bewiesen. Auch werden auf diese Weise die sp¨ateren Kapitel von
’all- gemeinem Ballast‘ befreit.
2.1 Mengen und Abbildungen
Wir bezeichnen mit N := {1,2,3, . . .} die Menge der nat¨urlichen Zahlen und setzen nochN0 :={0} ∪NsowieNn :={i∈N:i≥n}f¨urn ∈N.
F¨ura, b ∈ R∪ {−∞,∞}mita ≤ b seien[a, b],[a, b),(a, b]und(a, b) die zugeh¨origen
2 Allgemeine Grundlagen
abgeschlossenen bzw. (m¨oglicherweise leeren) rechtsoffenen, linksoffenen und offenen Intervalle.
Soweit nicht anders vermerkt, setzen wir immer
0· ∞:=∞ ·0 := 0 und α· ∞:=∞ ·α:=∞ f¨urα∈(0,∞].
Außerdem seien00 := 0undα0 := 1f¨urα ∈ (0,∞)sowie∞α :=∞ f¨urα ∈ (0,∞), ferner ∞α := 0f¨urα ∈Cund ∞∞ := 1. Zu nullten Potenzen siehe auch Abschnitt 2.5.4.
F¨ur eine endliche MengeM sei#M ∈ N0 die Anzahl der Elementevon M. F¨ur nicht endliche Mengen setzen wir#M :=∞.
SindRundSMengen, so stehtF(R,S)f¨ur die Mengealler Abbildungen vonRinS.
Speziell seienP(R) :=F(R,[0,∞])undPe(R) :=F(R,[0,∞)).
IstAeine Menge, dann bezeichnen wir mit1Adie identische AbbildungaufA, d. h. die Abbildung1A : A −→ Amit1A(x) = xf¨urx ∈ A. Hat man eine vorgegebene Grund- mengeRundA ⊂ R, dann stehtχAf¨ur diecharakteristische Funktion vonA, d. h. die FunktionχA : R −→ {0,1}mitχA(x) = 1f¨urx ∈ Aund sonstχA(x) = 0. Ferner be- zeichnen wir f¨urf :R−→Smitf/AdieEinschr¨ankung vonf aufA, d. h. die Abbildung f/A :A−→Smitf/A(x) = f(x)f¨urx∈A.
SindRundSMengen undf, g:R−→S, dann definieren wir
[f =g] := {x∈R:f(x) =g(x)} und [f 6=g] :={x∈R:f(x)6=g(x)}.
Im FallS = [−∞,∞] sind entsprechend noch[f ≤ g], [f < g], [f ≥ g] und[f > g]
erkl¨art. Sinngem¨aß seien auch Ausdr¨ucke wie[f < g < h]definiert.
Ist R eine Menge, X ein Vektorraum und f : R −→ X, dann sei χf := χ[f6=0]. Die Menge[f 6= 0]nennen wir auchTr¨ager(menge)vonf.
2.2 Vektorr¨aume und lineare Operatoren
F¨ur einen VektorraumXheißeM < X, daßM ein Unterraum vonXist, wobei auch der FallM =X zugelassen ist.
SindX und Y Vektorr¨aume ¨uber dem gleichen K¨orper, so bezeichnen wir mit L(X, Y) den Vektorraum derlinearen Abbildungenoderlinearen Operatoren vonX inY. Ferner seiL(X) :=L(X, X). Mit
”Operator“ ist stets ein linearer Operator gemeint.
Mit0X,Y notieren wir die Nullabbildung vonXinY, d. h. die Abbildung0X,Y :X −→Y mit0X,Y(x) = 0∈Y f¨urx ∈X, setzen speziell0X := 0X,X und lassen in beiden F¨allen den Index meist weg, sofern er nicht das Verst¨andnis f¨ordert. Außerdem definieren wir f¨ur T ∈L(X, Y)noch mitN(T) := {x∈ X : T x= 0}denKernoderNullraumsowie mit R(T) :={T x:x∈X}dasBild(
”range“) vonT. Es geltenN(T)< X undR(T)< Y. Normen auf Vektorr¨aumen werden, wenn nicht anders vermerkt, immer mit einfachen Betragsstrichen| | geschrieben. WennX und Y normierte Vektorr¨aume sind, dann steht
2.3 Orthogonale Projektionen L(X, Y)f¨ur den durch dieOperatornorm| |∞normierten Vektorraum derstetigen linea- ren AbbildungenvonXinY, und es seiL(X) := L(X, X). F¨urT ∈L(X, Y)\L(X, Y) sei|T|∞:=∞. F¨urT ∈L(X, Y)istN(T)abgeschlossen.
Alle hier zugrundegelegten Hilbertr¨aume sind nichttriviale Hilbertr¨aume (d. h. verschie- den von{0}) ¨uber den komplexen Zahlen. Dementsprechend ist mitMatm,nf¨urm, n∈N stets der Raum der komplexenm×n-Matrizen bezeichnet. Alle zugrundegelegten Hil- bertr¨aume sind, soweit nicht anders angegeben, von beliebiger Dimension und nicht not- wendigerweise separabel.
Skalarprodukte auf Hilbertr¨aumen werden immer als h, i geschrieben. Skalarprodukte und allgemeinere sesquilineare Abbildungen sind linear im ersten und konjugiert linear im zweiten Argument.
2.3 Orthogonale Projektionen
IstH ein Hilbertraum und U ⊂ H, so bezeichnen wir gem¨aß [Wer02, Definition V.3.1]
mitU⊥ denOrthogonalraum zu U. Dies ist ein abgeschlossener Unterraum von H. F¨ur alleh1 ∈U undh2 ∈ U⊥gilt nach Definitionh1 ⊥ h2, d. h.hh1, h2i = 0. Nach [Wer02, Korollar V.3.5] hat man stetsU⊥⊥ =U.
IstU selbst ein abgeschlossener Unterraum vonH, so seiPU :H −→U dieorthogonale ProjektionaufU gem¨aß [Wer02, Theorem V.3.4]. Es gelten
PU2 =PU sowie N(PU) =U⊥ und R(PU) =U.
F¨urU 6= {0}hat man|PU|∞ = 1. Stets gilt1H −PU = PU⊥. Zu jedemh ∈ H gibt es eindeutigh1 ∈U undh2 ∈U⊥mith=h1+h2, n¨amlichh1 :=PU(h)undh2 :=PU⊥(h).
2.4 Verallgemeinerte Inverse
Es seienHundKHilbertr¨aume undT ∈L(H, K). Sindx, x0 ∈H mitT x=T x0, so gilt x−x0 ∈ N(T), mithin PN(T)⊥(x−x0) = 0und soPN(T)⊥x = PN(T)⊥x0. Deswegen ist f¨ury∈R(T)und beliebig gew¨ahltesx∈HmitT x=ydie Zuordnung
T−y :=PN(T)⊥x wohldefiniert. Sie liefert eine lineare Abbildung
T−:R(T)−→H,
genanntverallgemeinerte Inverse vonT, mitT−T =PN(T)⊥.
Sindy∈R(T)undx∈HmitT x=y, so gibt es eindeutigex1 ∈N(T)undx2 ∈N(T)⊥ mitx=x1+x2. Damit gilty=T x=T x1+T x2 =T x2und folglich:
T T−y =T PN(T)⊥x=T PN(T)⊥x1+T PN(T)⊥x2 =T x2 =y Dies zeigtT T−= 1R(T) und damitT T−T =T.
2 Allgemeine Grundlagen
2.5 Positive Operatoren
2.5.1 Positive und selbstadjungierte Operatoren
IstH ein Hilbertraum, so steht L(H)+ f¨ur die Menge der positiven Operatoren auf H, d. h. f¨ur die Menge aller OperatorenT ∈L(H)mithT h, hi ≥0f¨ur alleh∈ H. Gem¨aß [Wer02, Satz V.5.9] ist z. B. jede orthogonale Projektion positiv. F¨urT, S ∈L(H)schreibt man stattT −S ∈L(H)+auchS ≤T oderT ≥S, speziellT ≥0stattT ∈L(H)+. F¨ur alleT, S ∈ L(H)+ und a, b ∈ [0,∞) gilt aT +bS ∈ L(H)+, d. h. L(H)+ ist ein Kegel. Mit der Stetigkeit des Skalarprodukts ist außerdem leicht zu sehen, daß L(H)+
abgeschlossen ist.
Ist R eine Menge, so schreiben wir f¨ur eine Abbildung f : R −→ L(H) genau dann f ≥0, wennf(x)≥ 0f¨ur allex ∈Rgilt. F¨ur eine FunktionenmengeF ⊂F(R, L(H)) sei damitF+ :={f ∈F:f ≥0}.
SindHundU Hilbertr¨aume undF ∈L(H, U), so bezeichnen wir mitF∗ denadjungier- ten OperatorzuF, d. h. den eindeutig bestimmten OperatorF∗ ∈L(U, H)mit
hF h, ui=hh, F∗ui f¨ur alleh∈H undu∈U.
Hinsichtlich wichtiger Eigenschaften adjungierter Operatoren sei auf [Wer02, Satz V.5.2]
verwiesen.
Ein OperatorF ∈L(H)heißt genau dannselbstadjungiert, wennF∗ =F gilt. Die Men- ge aller selbstadjungierten Operatoren aufH bezeichnen wir mitL(H)sa. Laut [Wer02, Satz V.5.6] giltL(H)+⊂L(H)sa. Insbesondere ist jede orthogonale Projektion selbstad- jungiert. Nach [Wer02, Satz V.5.2(g)] hat man f¨urT ∈L(H)sastetsN(T) =R(T)⊥und damitN(T)⊥ =R(T)⊥⊥ =R(T). Gem¨aß [Wer02, Satz V.5.7] gilt f¨ur alleT ∈L(H)sa:
|T|∞ = sup
|h|≤1
|hT h, hi|
Damit sieht man leicht: F¨ur alleT, S ∈L(H)+mitS ≤T gilt|S|∞ ≤ |T|∞.
2.5.2 Positive Potenzen positiver Operatoren
F¨urT ∈L(H)+gilt nach [Wer02, Korollar VII.1.2] stetsσ(T)⊂[0,∞), wobei mitσ(T) dasSpektrumvonT bezeichnet ist. F¨urr∈(0,∞)ist daher mittelsstetigem Funktional- kalk¨ulgem¨aß [Wer02, Satz VII.1.3] dieOperatorpotenz Tr ≥ 0definiert. F¨ur n ∈ Nist das so erkl¨arteTndien-fache Hintereinanderausf¨uhrung vonT, insbesondereT1 =T. [Wer02, Satz VII.1.4(a)] zusammen mit Satz VI.1.6 und Satz VI.1.7 ebendort liefert:
|Tr|∞=|T|r∞
Wegen der Stetigkeit des Funktionalkalk¨uls, siehe [Wer02, Satz VII.1.3(c)], ist die Abbil- dung(0,∞)3r7→Tr ∈L(H)+stetig. [Wer02, Satz VII.1.3(b)] zeigtTrTs=Tr+sf¨ur aller, s∈(0,∞). Damit beweisen wir:
2.5 Positive Operatoren
Lemma 2.5.1. F¨ur alleT ∈L(H)+undr, s∈(0,∞)giltN(Tr) =N(Ts).
Beweis. Es gen¨ugt, die Inklusion
”⊂“ zu zeigen. F¨urr < sfolgt diese ausTs=Ts−rTr. F¨urr≥sw¨ahlt man einn ∈Nmitr/2n < s. Mit
Tu2h
2 =hTu2h, Tu2hi=hTuh, hi f¨ur alleu∈(0,∞)undh ∈H ergibt sichN(Tr)⊂N(Tr2)⊂ · · · ⊂N(T2rn)⊂N(Ts).
Durchr := 2 erh¨alt man insbesondere dieQuadratwurzel √
T := T12 mit √
T2 = T. Gem¨aß [Wer02, Korollar VII.1.16] ist√
T der einzige OperatorS ∈L(H)+mitS2 =T. F¨urF ∈ L(H, U)hat manhF∗F h, hi =hF h, F hi =|F h|2 ≥ 0f¨ur alleh ∈ H, mithin F∗F ≥0. Daher ist derAbsolutbetrag
|F|:=√ F∗F
wohldefiniert. Speziell f¨urT ∈ L(H)+ gilt wegen der eben genannten Eindeutigkeit der positiven Quadratwurzel positiver Operatoren:
|T|=
√
T∗T =
√
T2 =T F¨urF ∈L(H, U)rechnet man mit|F|2 =F∗F:
|F|h
2 =h|F|h,|F|hi=h|F|2h, hi=hF∗F h, hi=hF h, F hi=|F h|2
Folglich gelten
|F|h
=|F h|f¨ur alleh ∈H und damit auch
|F|
∞=|F|∞
2.5.3 Die Ando-Ungleichung
Eine in g¨angigen Funktionalanalysis-Lehrb¨uchern nicht zu findende Ungleichung, die wir aber an entscheidenden Stellen benutzen, wird in [And88, Corollary 2(i)] bewiesen: F¨ur alleT, S ∈ L(H)+ undr ∈ (0,1] gilt|Tr−Sr|∞ ≤
|T −S|r
∞ und mit den in Ab- schnitt 2.5.2 notierten Aussagen ¨uber die Operatornorm:
|Tr−Sr|∞≤ |T −S|r∞
Insbesondere ist f¨ur aller∈(0,1]die AbbildungL(H)+ 3T 7→Tr ∈L(H)+stetig. Mit der ZerlegungTr=TbrcTr−brcsieht man dann auch die Stetigkeit f¨ur aller∈(0,∞).
2.5.4 Nullte Potenzen positiver Operatoren
Oft definiert man00, die nullte Potenz der reellen Zahl0, als1und macht so die Abbildung [0,∞) 3 t 7→ t0 ∈ [0,∞) stetig. Jedoch ist dann wegen 0r = 0 f¨ur r ∈ (0,∞) die Abbildung[0,∞) 3 r 7→ 0r ∈ [0,∞)an der Steller = 0nicht stetig. Wir setzen daher 00 := 0undt0 := 1f¨urt∈(0,∞), d. h. es giltt0 =χ(0,∞)(t)f¨urt∈[0,∞).
2 Allgemeine Grundlagen
Da f¨ur alleT ∈ L(H)+ die Abbildungχσ(T)\{0} : σ(T) −→ Rbeschr¨ankt und meßbar ist, k¨onnte man passend zut0 = χ(0,∞)(t) mit dem meßbaren Funktionalkalk¨ul gem¨aß [Wer02, Satz VII.1.6] den OperatorT0 := χσ(T)\{0}(T)erkl¨aren und mit [Wer02, Satz VII.1.6(d’)] sehen, daß Tr f¨ur r ↓ 0 punktweise gegen T0 konvergiert. Um ohne den meßbaren Kalk¨ul auszukommen, gehen wir einen anderen Weg:
Satz 2.5.2. F¨ur alleT ∈L(H)+undh∈H giltTrh→PR(T)hf¨urr ↓0.
Beweis. (a) Ist h ∈ R(T), d. h. h = T k mit einem k ∈ H, so zeigt die Stetigkeit der OperatorpotenzTrh=TrT k =Tr+1k →T k=h=PR(T)hf¨urr ↓0.
(b) Isth∈R(T)undε >0beliebig, so gibt es zuε0 :=ε/(|T| ∨1 + 2)eink∈R(T)mit
|k−h| < ε0 und nach (a) einR ∈ (0,1)so, daß|Trk−k| < ε0 f¨ur aller ∈ (0, R)gilt.
Mit|T|r≤ |T| ∨1f¨urr∈(0,1]folgt
|Trh−h| ≤ |Trh−Trk|+|Trk−k|+|k−h|<|T|rε0+ 2ε0 ≤(|T| ∨1 + 2)ε0 =ε f¨ur aller ∈(0, R)und so wiederTrh→h=PR(T)hf¨urr↓0.
(c) Ist schließlichh∈Hbeliebig, so gibt es eine Zerlegungh=h1+h2mith1 ∈N(T) undh2 ∈N(T)⊥ =R(T). Mit Lemma 2.5.1 und (b) erh¨alt man f¨urr ↓0:
Trh=Trh1+Trh2 =Trh2 →PR(T)h2 =PR(T)h1 +PR(T)h2 =PR(T)h
Die folgende Vereinbarung ist wegen Satz 2.5.2 ganz nat¨urlich:
Definition 2.5.3. F¨urT ∈L(H)+seiT0 :=PR(T).
MitR(T) =N(T)⊥sieht man, daßTr+s =TrTs f¨ur alleT ∈L(H)+undr, s∈[0,∞) gilt. Außerdem hat man f¨ur alleT, S ∈L(H)+wieder:
|T0|∞ =|T|0∞ und |T0−S0|∞≤ |T −S|0∞
Die erste dieser beiden Gleichungen l¨aßt sich durch Betrachten der beiden F¨alleT = 0 undT 6= 0best¨atigen. Die zweite ist im FallT = Strivial. Im Fall T 6= Sbenutzt man, daß die Operatornorm der Differenz zweier orthogonalen ProjektionenP und Q durch 1beschr¨ankt ist — f¨urh ∈ H rechnet man n¨amlich mit zweimaliger Unterst¨utzung von Pythagoras:
|(P −Q)h|2 =|P(1−Q)h−(1−P)Qh|2 =|P(1−Q)h|2+|(1−P)Qh|2
≤ |(1−Q)h|2+|Qh|2 =|h|2
Man beachte noch, daßTrf¨urr↓0zwar punktweise, aber nicht notwendigerweise in der Operatornorm gegenT0konvergiert. Es seien etwaH :=`2(N)undT ∈L(H)+definiert durchT h := (1nhn)f¨urh ∈ H. Mit [Wer02, Satz VII.1.4(c)] sieht manTrh = (n−rhn) f¨ur aller ∈ (0,∞). Die Injektivit¨at vonT liefertT0 = 1H. Zu jedemr ∈ (0,∞)gibt es eink ∈Nmitk−r < 12. F¨ur denk-ten Standardeinheitsvektorek ∈Hgilt damit:
|Tr−T0|∞≥ |(Tr−T0)ek|= 1−k−r > 12 Dies zeigt|Tr−T0|∞6→0f¨urr→0.
2.6 Schatten-Klassen
2.6 Schatten-Klassen
Wie [McC67] bezeichnen wir die Schatten-Klassen mit dem Buchstabenc, benutzen je- doch als Index anders als in [McC67] und sonst meist in der Literatur nichtp, sondernα.
Dies, weil wir den Buchstabenpf¨ur andere Zwecke, n¨amlich f¨urLp-R¨aume, ben¨otigen.
HundU seien Hilbertr¨aume. In [McC67] werden nur die Schatten-Klassencα(H)zu ei- nem einzelnen Hilbertraum betrachtet. Die Verallgemeinerungcα(H, U)auf zwei Hilbert- r¨aume ist z. B. unter der BezeichnungSα(H, U)in [MV92,§16] und unter der Bezeich- nungCα(H, U)in [Wei00, Kapitel 3.4] zu finden.
2.6.1 Operatoren von endlichem Rang
Mitc0(H, U)notieren wir den Raum der stetigen OperatorenF : H −→U mit endlich- dimensionalem Bild, genanntOperatoren von endlichem Rang. Nat¨urlich istc0(H, U)ein Unterraum vonL(H, U). In diesem Raum unterscheiden wir noch f¨urn∈N0die Mengen c0,n(H, U)der stetigen Operatoren mit h¨ochstensn-dimensionalem Bild. Man hat:
{0}=c0,0(H, U)⊂c0,1(H, U)⊂ · · · ⊂c0(H, U) = [
n∈N0
c0,n(H, U)
Weiter setzen wirc0(H) :=c0(H, H)undc0,n(H) := c0,n(H, H)f¨urn∈N0.
2.6.2 Kompakte Operatoren, Schmidt-Darstellung, singul¨are Zahlen
Mitc∞(H, U) bezeichnen wir den mit der Operatornorm| |∞ versehenen Raum der zu- geh¨origenkompakten Operatoren, d. h. den Raum all der OperatorenF :H −→U, unter denen die abgeschlossene Einheitskugel vonHein relativkompaktes Bild hat. Wieder sei c∞(H) := c∞(H, H). Gem¨aß [MV92, Satz 15.1] istc∞(H, U), dortK(H, U)genannt, ein abgeschlossener Unterraum vonL(H, U) mit Idealeigenschaft.
Laut [MV92, Satz 16.3] gibt es zu jedem OperatorF ∈c∞(H, U)eine fallende Nullfolge (sn)n∈
N0 in[0,∞)und Orthonormalsysteme(en)n∈
N0 inHsowie(fn)n∈
N0 inU so, daß F =
∞
X
n=0
snh, enifn
mit Konvergenz in der Operatornorm. Eine derartige Darstellung vonF heißt Schmidt- Darstellung. Die Folge (sn) ist eindeutig festgelegt, n¨amlich als die Folge der entspre- chend ihrer Vielfachheit aufgef¨uhrten (stets nichtnegativen) Eigenwertesn(F)von|F|in absteigender Anordnung (gegebenenfalls durch Nullen aufgef¨ullt). Man nennt diesn(F) auchsingul¨are ZahlenvonF. Nach [MV92, Lemma 16.5] gilt f¨ur allen∈N0
sn(F) = inf{|E−F|∞ :E ∈c0,n(H, U)}, insbesonderes0(F) = |F|∞. [Wer02, Korollar II.3.3] zeigt, daßc0(H, U)ein Unterraum vonc∞(H, U)ist. Mit Hilfe der Schmidt-Darstellung sieht man, daßc0(H, U)inc∞(H, U)dicht liegt.
2 Allgemeine Grundlagen
2.6.3 Schatten-Operatoren
F¨urα∈(0,∞)undF ∈c∞(H, U)mit der Folge(sn(F))der singul¨aren Zahlen seien
|F|α :=X∞
n=0
sn(F)αα1
undcα(H, U) := {F ∈c∞(H, U) :|F|α <∞}. F¨urF ∈L(H, U)\c∞(H, U)setzen wir
|F|α :=∞. F¨ur alleF ∈ S
α∈(0,∞)
cα(H, U)gilt|F|α→s0(F) = |F|∞f¨urα→ ∞.
F¨urα ∈(0,∞]nennen wir die Elemente voncα(H, U)Schatten-α-Operatoren. Nat¨urlich sei wiedercα(H) := cα(H, H). Gem¨aß [MV92, Corollar 16.34] ist| |αim Fallα≥1auf cα(H, U)eine Norm, genanntSchatten-α-Norm, mit dercα(H, U)ein Banachraum ist, die Schatten-α-Klasse. Aus den Eigenschaften der`p-Normen erh¨alt man f¨urα, β ∈(0,∞]:
α≤β =⇒ | |α ≥ | |β und cα(H, U)⊂cβ(H, U) F¨urF ∈cα(H, U)sieht man mit der Schmidt-Darstellung leicht:
F∗ ∈cα(U, H), |F∗|α =|F|α und |F| ∈cα(H),
|F|
α =|F|α
2.6.4 Spurklasseoperatoren
Die Elemente vonc1(H, U)heißennukleare Operatoren, die Elemente von c1(H)auch Spurklasseoperatoren. Mit einer beliebigen OrthonormalbasisB vonU ist dasSpurfunk- tional tr :c1(H)−→Cdefiniert durch die nach [MV92, Satz 16.16] vonBunabh¨angige, absolut konvergente Summe
trF :=X
e∈B
hF e, ei f¨urF ∈c1(H).
Offensichtlich gilt trF∗ = trF. Gem¨aß [MV92, Beweis von Lemma 16.20] hat man
|trF| ≤ |F|1. Nach demSatz von Lidskij, siehe etwa [MV92, Satz 16.33], ist trF gerade die Summe der gem¨aß ihrer Vielfachheit gez¨ahlten Eigenwerte vonF.
2.6.5 Hilbert-Schmidt-Operatoren
Nach [MV92, Satz 16.8] geh¨ortF ∈ L(H, U) genau dann zuc2(H, U), dem Raum der Hilbert-Schmidt-Operatoren, wenn f¨ur eine OrthonormalbasisBvonH
X
e∈B
|F e|2 <∞
gilt, wobei auch diese Summe von B unabh¨angig ist. Gem¨aß [MV92, Satz 16.22] ist c2(H, U)ein Hilbertraum, dessen Norm| |2 von dem f¨urF, G∈c2(H, U)durch
hF, Gi:= tr (G∗F) =X
e∈B
hF e, Gei
gegebenen Skalarprodukt erzeugt wird. F¨urF ∈c2(H, U)hat man also|F|22 = P
e∈B
|F e|2.
2.6 Schatten-Klassen
2.6.6 Normungleichungen, Idealeigenschaften usw.
Sind V ein weiterer Hilbertraum und α, β, γ ∈ (0,∞] mit 1/α + 1/β = 1/γ, so hat man f¨ur alleF ∈ cα(H, U)und G ∈ cβ(V, H) im Fall α, β < ∞gem¨aß [Wei00, Satz 3.23], im Fall entwederα=∞oderβ =∞gem¨aß [MV92, Lemma 16.6(6)] und im Fall α = β = ∞ gem¨aß funktionalanalytischem Grundwissen (Operatornorm!) dieH¨older- Ungleichung
|F G|γ ≤ |F|α|G|β und folglich F G∈cγ(V, U).
Außerdem besteht laut [MV92, Lemma 16.6(6)] auch wieder die Idealeigenschaft bez¨ug- lich der jeweiligen R¨aume stetiger Operatoren: IstKein vierter Hilbertraum, so hat man f¨ur alleF ∈cα(H, U)undS∈L(U, K)sowieT ∈L(V, H)
|SF T|α ≤ |S|∞|F|α|T|∞ und damit SF T ∈cα(V, K).
Im Fall 1/α+ 1/β = 1folgt f¨ur alle F ∈ cα(H, U) und G ∈ cβ(U, H)aus dem eben BemerktenF G∈ c1(U)undGF ∈c1(H), und laut [Wei00, Satz 3.24 b)] gilt in diesem Fall stets trF G= trGF.
F¨ur alleT ∈cα(H)+undr∈(0,∞)gelten nach [McC67, Lemma 1.1(b)] (nur fehlt dort ein Exponent):
Tr ∈cα/r(H) und |Tr|α/r =|T|rα
F¨urF ∈ cα(H, U)hat man nach dem bisher BemerktenF∗F ∈ cα/2(H)+, des weiteren
|F| ∈cα(H)+und f¨urα <∞:
|F|α ∈c1(H) Der Satz von Lidskij liefert dann:
|F|α =
|F| α =
|F|α
1/α
1 =
X∞
n=0
sn |F|αα1
= tr|F|αα1
Wegen|T|=T f¨urT ∈L(H)+gilt speziell f¨urF ∈cα(H)+: Fα ∈c1(H) und |F|α = trFαα1
Es wurde schon vermerkt, daßc0(H, U)dicht inc∞(H, U)liegt. Jetzt seien α ∈ [1,∞) und dazuF ∈cα(H, U)beliebig mit einer Schmidt-Darstellung wie oben. Setzt man
Fm :=
m−1
X
n=0
sn(F)h, enifn f¨urm∈N, so erh¨alt man die Schmidt-Darstellung(F −Fm)h=
∞
P
n=m
sn(F)hh, enifn, also:
|F −Fm|α=X∞
n=m
sn(F)αα1
→0 (m → ∞)
WegenFm ∈ c0(H, U)liegt damit c0(H, U)auch dicht in cα(H, U). Nat¨urlich geht die gleiche Rechnung auch f¨urα∈ (0,1), jedoch ist| |αin diesem Fall keine Norm, sondern eine Quasinorm. Die Dichtheit ist dann hinsichtlich der von dieser Quasinorm erzeugten Metrik zu verstehen.
2 Allgemeine Grundlagen
2.6.7 Darstellung der Operatornorm durch die Schatten-Norm
Als eine Anwendung der vorherigen Abschnitte zeigen wir jetzt eine Darstellung der Ope- ratornorm durch die Schatten-Norm von Operatoren vom Rang1. Zuerst ein paar weitere n¨utzliche Aussagen, wobei nach wie vorH sowieU Hilbertr¨aume undα ∈(0,∞]seien.
Lemma 2.6.1. (a) IstT ∈ L(H)+idempotent, d. h.T2 = T, so folgt Tr = T f¨ur alle r ∈[0,∞). Insbesondere ist dannT =T0 =PR(T)eine orthogonale Projektion.
(b) F¨ur allem ∈NundF ∈c0,m(H, U)gilt|F|α ≤m1/α|F|∞. (c) F¨urF :=Pm−1
n=0 h, enifn ∈c0,m(H, U)mit orthonormalene0, . . . , em−1 ∈ Hund orthonormalenf0, . . . , fm−1 ∈U gilt|F|α =m1/α.
Beweis. F¨ur Teil (a) sei zun¨achstr >0. Nach dem Satz von Weierstraß gibt es eine Folge reeller Polynomfunktionen pn, die auf dem Intervall I :=
r ∧ 1r, r ∨ 1r
gleichm¨aßig gegen die Funktionf : I 3 t 7→ tr ∈ (0,∞)konvergiert. Mit [Wer02, Satz VII.1.3(c)], der Idempotenz vonT und 1 ∈ I folgtTr = limpn(T) = limpn(1)T = f(1)T = T. Mit der punktweisen KonvergenzTr →T0f¨urr→0erh¨alt man daraus auchT0 =T. In Teil (b) ist der Fallα =∞trivial. F¨urα <∞rechnet man wie folgt:
|F|α =m−1X
n=0
sn(F)αα1
≤m−1X
n=0
|F|α∞α1
=m1α|F|∞
In Teil (c) ist wieder der Fallα =∞mit |F|∞ = 1offensichtlich. F¨ur den Fallα < ∞ benutzt man, daß die angegebene Darstellung vonF gerade eine Schmidt-Darstellung ist, mithinsn(F) = 1f¨urn = 0, . . . , m−1gilt undsn(F) = 0f¨urn ≥m.
In einfacher Verallgemeinerung von [Isr05] erh¨alt man nun:
Satz 2.6.2. Istc0,1(H, U)⊂c⊂cα(H, U), so gilt f¨ur alleT ∈L(H):
|T|∞ = sup
|F T|α :F ∈c,|F|α = 1
Beweis. Die Ungleichung
”≥“ folgt aus der in Abschnitt 2.6.6 notierten H¨older-Unglei- chung. F¨ur die Ungleichung
”≤“ sei ŒT 6= 0. Ferner seiene∈U mit|e|= 1undkn∈H mit|kn| = 1 und0< |T∗kn| → |T∗|∞ = |T|∞ f¨urn → ∞. Damit sei Fn ∈ c0,1(H, U) definiert durchFnh :=hh, knief¨urh ∈ H, folglichFn∗u =hu, eikn f¨ur alleu ∈ U. Mit k0n:= |T∗1kn|T∗knf¨urn ∈Ngilt
(FnT)∗(FnT)h=T∗Fn∗hT h, knie=hT h, kniT∗Fn∗e=hh, T∗kniT∗kn=|T∗kn|2Pnh f¨ur alleh∈H, wobeiPn∈c0,1(H)+definiert sei durchPnh:=hh, kn0ikn0 f¨urh∈H. Im Fallα <∞liefern Lemma 2.6.1(a) und (c) sowie trPn = 1:
|FnT|αα = tr (FnT)∗(FnT)α2
=|T∗kn|α( trPn)α2 =|T∗kn|α→ |T|α∞ Im Fallα=∞erh¨alt man mit|Pn|∞ = 1:
|FnT|2∞=|(FnT)∗(FnT)|∞ =|T∗kn|2|Pn|2∞=|T∗kn|2 → |T|2∞ Lemma 2.6.1(c) zeigt|Fn|α = 1und so in beiden F¨allen die Behauptung.
2.6 Schatten-Klassen
2.6.8 Die Schatten-Stetigkeit der Operatorpotenz
F¨ur jedesT ∈L(H)+ist laut Abschnitt 2.5.2 die Abbildung(0,∞)3r 7→Tr ∈L(H)+ stetig. F¨urr↓0konvergiertTrzwar punktweise, aber nicht notwendigerweise bez¨uglich der Operatornorm gegenT0, und zwar nicht einmal f¨ur kompakteT, wie das Beispiel in Abschnitt 2.5.4 zeigt.
Jedoch erreicht man Konvergenz in der Operatornorm oder allgemeiner der Schatten- α-Norm, wenn man noch mit einem Schatten-α-Operator multipliziert. Unter der Be- schr¨anktheit einer Folge stetiger Operatoren verstehen wir die Beschr¨anktheit der zu- geh¨origen Folge der Operatornormen und zeigen zun¨achst:
Lemma 2.6.3. Ist die Folge(Rk)∈L(H)Nsabeschr¨ankt, so gilt:
∀h∈H Rkh→0 (k → ∞) =⇒ ∀F ∈cα(H, U) |F Rk|α →0 (k→ ∞)
Beweis. Es seia := sup{|Rk|∞ : k ∈ N}< ∞. Ferner seiε >0beliebig. Dann gibt es einm ∈Nso, daß|F −E|α < ε/(a+ 1)gilt, wobeiE :=Fm ∈c0(H, U)wie auf Seite 11 sei. Damit hat man f¨ur allek∈N:
|F Rk|α =|(F −E)Rk+ERk|α ≤ |F −E|α|Rk|∞+|ERk|α < ε+|ERk|α Es bleibt also noch|ERk|α → 0f¨urk → ∞zu zeigen. F¨ur alleh ∈ H mit |h| = 1gilt wegen der Selbstadjungiertheit vonRk:
|ERkh|=
m−1
X
n=0
sn(E)hRkh, enifn ≤
m−1
X
n=0
sn(E)|Rken|=:ak
MitRken →0f¨urk → ∞und allen ∈Nerh¨alt man hieraus zun¨achst|ERk|∞ ≤ak →0 f¨urk → ∞. WegenERk ∈c0,m(H, U)folgt unter Verwendung von Lemma 2.6.1(b) dann auch|ERk|α ≤m1/α|ERk|∞→0f¨urk → ∞.
Aus der Stetigkeit von (0,∞) 3 r 7→ Tr ∈ L(H)+ erh¨alt man nat¨urlich sofort die Stetigkeit von(0,∞)3 r 7→ F Tr ∈cα(H, U). Wir werden dennoch den Beweis f¨ur die Stetigkeit an der Steller = 0, der sich mit Hilfe von Lemma 2.6.3 ergibt, so gestalten, daß er allgemein f¨urr∈[0,∞)g¨ultig ist:
Satz 2.6.4. F¨ur alleF ∈cα(H, U)undT ∈L(H)+ist die Abbildung [0,∞)3r7→F Tr ∈cα(H, U) stetig.
Beweis. Ist r ∈ [0,∞) und(rk) ∈ (0,∞)N mit rk → r f¨ur k → ∞, dann wird durch Rk := Trk −Tr f¨urk ∈ Neine Folge(Rk)inL(H)sa definiert, die punktweise gegen 0 konvergiert. Wegen
|Rk|∞ ≤ |Trk|∞+|Tr|∞ =|T|r∞k +|T|r∞→2|T|r∞ (k → ∞)
ist(Rk)beschr¨ankt. Lemma 2.6.3 liefert|F Trk −F Tr|α =|F Rk|α→0f¨urk → ∞.
2 Allgemeine Grundlagen
2.7 Integrationstheoretisches
In diesem Abschnitt sind neben ein paar Ergebnissen, die anderswo nicht zu finden wa- ren, nur die wichtigsten der ben¨otigten Begriffe aus der Integrationstheorie aufgef¨uhrt.
F¨ur weitere, sp¨ater hie und da vielleicht in Beispielen oder Nebenbemerkungen benutzte Definitionen und Eigenschaften sei auf [HS92] verwiesen.
2.7.1 Pr¨a-Ringe und Ringe
EinPr¨a-RingS ¨uber einer nichtleeren GrundmengeRist eine nichtleere Menge von Teil- mengen vonR mit der Eigenschaft, daß sich die Differenz je zweier Mengen aus Sals disjunkte Vereinigung ¨uberSdarstellen l¨aßt, d. h. als Vereinigung endlich vieler paarweise disjunkter Mengen ausS.
Gem¨aß [HS92, 2.1] ist eine MengeS von Teilmengen vonR genau dann ein Pr¨a-Ring, wenn sie dieZerlegungseigenschafthat, d. h.Senth¨alt die leere Menge und zu beliebigen A1, . . . , An ∈Sgibt es paarweise disjunkteC1, . . . , Ck ∈ Sderart, daß jedesAi sich als Vereinigung gewisser, n¨amlich gerade der in ihm enthaltenen,Cκ schreiben l¨aßt:
Ai = ]
Cκ⊂Ai
Cκ f¨ur allei∈ {1, . . . , n}
Ferner ist eine MengeSvon Teilmengen vonRgenau dann ein Pr¨a-Ring, wenn die Menge R(S)der Vereinigungen je endlich vieler paarweise disjunkter Mengen ausSeinRingist, d. h. abgeschlossen gegen die Bildung von Vereinigungen und Differenzen (und damit auch Schnitten) von je zwei Mengen und damit auch gegen die Vereinigung und den Schnitt endlich vieler Mengen. IstSein Pr¨a-Ring, so heißtR(S)dervonSerzeugte Ring.
Jeder Ring ist nat¨urlich auch ein Pr¨a-Ring.
IstSein Pr¨a-Ring undS ⊂ T ⊂ R(S), so gilt R(S) ⊂ R(T) ⊂ R(R(S)) = R(S), also R(T) =R(S). Insbesondere ist auchTein Pr¨a-Ring.
2.7.2 Der Schnitte-Pr¨a-Ring zu einem Pr¨a-Ring
F¨ur unsere Anwendung ist an gewissen Stellen das Zugrundelegen eines Mengensystems zweckm¨aßig, das einen gegebenen Pr¨a-Ring umfaßt und außerdem alle Schnitte von je zweien seiner Elemente enth¨alt. Dazu definieren wir f¨ur einen Pr¨a-RingS:
S(S) := {A∩B :A, B ∈S}
Damit gilt nat¨urlichS⊂S(S)⊂R(S). Insbesondere ist auchS(S)ein Pr¨a-Ring, den wir Schnitte-Pr¨a-Ring zu Snennen. Das Beispiel R := {1,2} und S :=
∅,{1},{2} mit S=S(S)6=R(S)zeigt, daßS(S)nicht notwendigerweise ein Ring ist.
Da sich Inhalte (siehe n¨achster Abschnitt) stets von einem Pr¨a-RingS auf den erzeug- ten RingR(S)und damit nat¨urlich insbesondere auf den dazwischenliegenden Pr¨a-Ring
2.7 Integrationstheoretisches S(S) fortsetzen lassen, liegt die Idee nahe, gleich von einem Pr¨a-Ring auszugehen, der gegen paarweise Schnittbildung abgeschlossen ist. Dies w¨are aber eine unn¨otig starke Voraussetzung, denn der Pr¨a-RingS(S)braucht, obwohl er alle Schnitte je zweier Men- gen ausSenth¨alt, selbst i. a. keineswegs gegen Schnittbildung abgeschlossen zu sein, ja S(S)enth¨alt nicht einmal notwendigerweise alle Dreifachschnitte ausS: Mit dem wohl- bekannten Intervall-Pr¨a-RingI := {[a, b) : a, b∈ R, a ≤ b}istS :={I ∪J : I, J ∈ I} wegenI⊂S⊂R(I)ebenfalls ein Pr¨a-Ring. F¨ur
A:= [0,5) ∪ [6,7) und B := [0,3) ∪ [4,7) sowie C:= [0,1) ∪ [2,7) gilt A ∩ B ∩C = [0,1)∪ [2,3)∪ [4,5)∪ [6,7). Damit hat man A, B, C ∈ S, aber offensichtlichA∩B ∩C 6∈S(S).
2.7.3 Inhalte
Ein (vektorwertiger bzw. klassischer) Inhalt auf einem Pr¨a-Ring S ist eine Abbildung µ : S −→ V in einen Vektorraum V bzw. µ : S −→ [0,∞) derart, daß f¨ur alle A, A1, . . . , An ∈Sgilt:
A=
n
]
i=1
Ai =⇒ µ(A) =
n
X
i=1
µ(Ai)
Im Falle einer Abbildungµ:S−→ [0,∞]mit dieser Eigenschaft sprechen wir ebenfalls von einem Inhalt, genauer einem[0,∞]-wertigen Inhalt.
Jeder Inhalt auf einem Pr¨a-Ring l¨aßt sich in offensichtlicher und eindeutiger Weise zu ei- nem Inhalt auf dem erzeugten Ring fortsetzen. Diese Fortsetzung f¨uhren wir stillschwei- gend immer durch und benennen den fortgesetzten Inhalt wieder mit demselben Zeichen.
IstV speziell ein Raum von Operatoren, so spricht man von einemoperatorwertigen In- halt. Hier ist f¨ur uns insbesondere der Fall positiver Operatoren von Belang: Unter einem positiv-operatorwertigen Inhalt, kurzPO-Inhalt, verstehen wir mit einem HilbertraumH einen Inhaltµ:S−→L(H)+.
Hat man einen Inhaltλ : S −→ [0,∞), so ist λ1H : S −→ L(H)+ ein PO-Inhalt. In diesem Sinne lesen wir jeden klassischen Inhaltλauch als PO-Inhaltλ : S −→ L(H)+. Dabei wirdλ(A)f¨urA ∈Salso als Abbildung verstanden, die jedemh ∈H das skalare Vielfacheλ(A)hzuordnet.
2.7.4 Maße
Ein (vektorwertiges bzw. klassisches bzw. [0,∞]-wertiges) Maß auf einem Pr¨a-Ring S ist eine Abbildung µ : S −→ Bin einen Banachraum B bzw. µ : S −→ [0,∞)bzw.
µ:S−→[0,∞]derart, daß f¨ur alleA, A1, A2, . . .∈Sgilt:
A=
∞
]
i=1
Ai =⇒ µ(A) =
∞
X
i=1
µ(Ai)
2 Allgemeine Grundlagen
Nach [HS92, Seite 225] ist auch die Fortsetzung eines Maßes aufµ:S −→Bzu einem Inhalt aufR(S)ein Maß, und f¨ur einen Inhaltµ:R(S)−→Bsind ¨aquivalent:
(a) µist ein Maß. (b) µist aufsteigend stetig.
(c) µist absteigend stetig. (d) µist absteigend stetig bei∅.
Jedes Maß ist ein Inhalt, aber schon im klassischen Fall ist nicht jeder Inhalt auch ein Maß:
Es seien etwaR := [0,1)undS der Pr¨a-Ring der Intervalle [a, b) mit0 ≤ a ≤ b ≤ 1.
F¨ur den durchµ([a, b)) := 1 f¨ur a < b = 1und sonst µ([a, b)) := 0 definierten Inhalt µ:S−→[0,∞)undAn := [1−n1,1)giltAn ↓ ∅, aberµ(An) = 16→0f¨urn→ ∞.
2.7.5 Schwache Maße
SindB1 und B2 Banachr¨aume, so heißt µ : S −→ L(B1,B2) genau dann ein schwa- ches Maß, wenn f¨ur jedes b ∈ B1 die Abbildung µ( )b : S −→ B2 ein Maß ist. Jedes L(B1,B2)-wertige Maß ist ein schwaches Maß und jedes schwache Maß ein Inhalt. Nach [HS92, Aufgabe 9.5.1] ist nicht jedesL(B1,B2)-wertige schwache Maß ein Maß.
Entsprechend seien die BegriffePO-Maßundschwaches PO-Maß erkl¨art. Der folgende Zusammenhang ist im Falle einerσ-AlgebraSetwa in [Zem72, Theorem 2.2-1] zu finden:
Satz 2.7.1. IstH ein Hilbertraum undµ:S−→L(H)+ein Inhalt, so sind ¨aquivalent:
(a) µist ein schwaches Maß.
(b) F¨ur alleh, k ∈Histµh,k :=hµ( )h, ki:S−→Cein Maß.
(c) F¨ur alleh∈H istµh :=µh,h :S−→[0,∞)ein Maß.
Beweis. Wir ziehen die Charakterisierung der schwachen Maßeigenschaft durch die ab- steigende Stetigkeit bei ∅heran. Dazu seien R(S) 3 An ↓ ∅f¨ur n → ∞. Die Implika- tion (a)=⇒(b) sieht man dann mit |µh,k(An)| ≤ |µ(An)h| |k|, w¨ahrend die Implikation (b)=⇒(c) trivial ist. F¨ur die Implikation (c)=⇒(a) schließlich rechnet man f¨urh∈H
|µ(An)h|2 ≤
µ(An)12
2
∞
µ(An)12 h
2 =|µ(An)|∞hµ(An)h, hi=|µ(An)|∞µh(An) und benutzt noch|µ(An)|∞ ≤ |µ(A1)|∞, daµ(An)≤µ(A1).
Auch im PO-wertigen Fall folgt aus der schwachen nicht die volle Maßeigenschaft:
Beispiel 2.7.2. Es seien R := N, S die Potenzmenge vonRund H := `2(N). Dann ist der durchµ(A)h := χAhf¨urA ∈ Sundh ∈ H definierte Inhaltµ : S −→ L(H)+ein schwaches Maß, aber kein Maß.
Beweis. Hier istSschon ein Ring. Es seien also S 3 An ↓ ∅f¨urn → ∞, fernerh ∈ H undε > 0beliebig. Dann gibt es ein j ∈ NmitP∞
i=j|hi|2 < ε und einm ∈ Nso, daß An⊂Nj f¨ur allen≥m. Damit gilt f¨ur allen ≥m:
|µ(An)h|2 =|χAnh|2 ≤
∞
X
i=j
|hi|2 < ε
