Isotone Darstellungssummen

Endlichkeit von| |_µ,p,α angeben. Vorab zeigen wir einen Zusammenhang zwischenω_µ,p,α und der Totalvariation vonµ:

Lemma 5.5.2. F¨ur allef ∈E(R,S, c)undD∈D^∗_S(f)gilt:

ωµ,p,α(D)







≤ kfk_sup|µ| [f 6= 0]¹_p

f¨urp <∞

≤ kfk_sup f¨urp=∞,µ [f 6= 0]

6= 0

= 0 f¨urp=∞,µ [f 6= 0]

= 0

Beweis. F¨urD= (Ai|Fi)∈D^∗_S(f)rechnet man im Fallp <∞:

ω_µ,p,α(D)^p =X

F_iµ(A_i)^1p

p

α≤ X

Fi6=0

|F_i|^p_α|µ(A_i)|_∞ ≤ kfk^p_sup|µ| [f 6= 0]

Im Fallp=∞erh¨alt man:

ωµ,∞,α(D) = max

F_iµ(A_i)⁰

α ≤ kfk_supmax

Fi6=0|µ(A_i)|⁰_∞ F¨urµ [f 6= 0]

= 0ist das letztere Maximum gleich0, andernfalls h¨ochstens1.

Die Ungleichungen aus Lemma 5.5.2 ¨ubertragen sich nat¨urlich sofort vonω_µ,p,α auf die Abbildung| |_µ,p,α. Damit gelangen wir zu den folgenden Aussagen:

Satz 5.5.3. (a) Es gilt| |_µ,2,2 <∞. (b) Es gilt| |_µ,∞,α<∞.

(c) F¨ur|µ|<∞gilt| |_µ,p,α <∞. (d) F¨ur#S<∞gilt| |_µ,p,α <∞.

Beweis. Der aus Lemma 4.4.1 folgende Teil (a) wurde oben schon erw¨ahnt. Die Teile (b) und (c) erh¨alt man aus Lemma 5.5.2. WennSnur endlich viele Elemente hat, dann hatµ nat¨urlich eine endliche Totalvariation. Damit folgt Teil (d) sofort aus Teil (c).

5.6 Isotone Darstellungssummen

In diesem Abschnitt betrachten wir Darstellungssummenfunktionen, die sich im folgen-den Sinne isoton gegen¨uber Verfeinerungen verhalten:

Definition 5.6.1. Wir nennenω_µ,p,α genau dannisoton, wenn f¨ur allef ∈E(R,S, c)und alleD,E∈D^∗_R(S)(f)gilt:

D≤E =⇒ ω_µ,p,α(D)≤ω_µ,p,α(E)

Wie Satz 5.1.5 zeigt, istω_µ,2,2sogar darstellungsinvariant, also insbesondere isoton. Man kann aber auch leicht nichtisotone Beispiele finden:

5 Die Pseudonorm| |_µ,p,α

Beispiel 5.6.2. Es seienH, U, p, α, F, R, S,R, A, B,Sundµwie in Beispiel 5.2.1. Dann ist die zugeh¨orige Abbildungω_µ,p,α nicht isoton.

Beweis. F¨urD¹ := (R, F)

Abschnitt 5.2 hat mit dem auch eben benutzten Beispiel aus [Sig05] gezeigt, daß eine bloße Supremumskonstruktion zumindest f¨ur α < p und f¨ur p > 2 nicht immer eine Pseudonorm liefert. F¨ur die ¨ubrigen Kombinationen von p und α wird in [Sig05] die folgendeMinkowski-Schatten-Ungleichung aufgestellt und glaubhaft gemacht:

Vermutung 5.6.3. Im Fallp≤2∧αgilt f¨ur alleF ∈c_α(H, U)undR, S ∈L(H)₊:

Diese Ungleichung ¨ubertr¨agt sich nat¨urlich sofort auf endlich viele Summanden. Damit folgt f¨ur die genannten Kombinationen vonpundαdie Isotonie vonω_µ,p,α:

Satz 5.6.4. Trifft Vermutung 5.6.3 zu, so istωµ,p,α f¨urp≤2∧αisoton.

Isotone Darstellungssummenfunktionen sind u. a. deswegen interessant, weil sich f¨ur sie die Definition von| |_µ,p,α gerade zur Definition von[ ]_µ,p,α vereinfacht. Mehr noch, dies gilt sogar f¨ur die in Abschnitt 5.4 betrachteten allgemeineren Pseudonormen, und man kann das Supremum statt ¨uber Darstellungen ausD^∗_S(f)¨uber solche ausD^∗_V(f)mit einem beliebigen MengensystemVzwischenSundR(S)bilden:

Lemma 5.6.5. Istω_µ,p,αisoton, so gilt f¨ur allef ∈E(R,S, c)undS⊂T,U,V⊂R(S):

Die letzte Absch¨atzung hierin folgt aus der Tatsache, daß man zu jedemE ∈D^∗_U(f)eine VerfeinerungF∈D^∗_S(f)⊂D^∗_V(f)finden kann, und der Isotonie vonω_µ,p,α.

F¨ur die Ungleichung

”≥“ seienD ∈ D^∗_T(f)undF ∈ D^∗_V(f)beliebig. Mit einer gemein-samen VerfeinerungE ∈ D^∗_S(f)von Dund Fgilt Ω_µ,p,α,U(D) ≥ ω_µ,p,α(E) ≥ ω_µ,p,α(F) wegenD^∗_S(f)⊂D^∗_U(f). Die gew¨unschte Ungleichung folgt durch Infimumsbildung ¨uber Dund Supremumsbildung ¨uberF.

5.6 Isotone Darstellungssummen

In Vorbereitung zu den Ausf¨uhrungen ¨uber die Lebesgue-Integralnorm in Kapitel 7 f¨uhren wir noch einen Stetigkeitsbegriff f¨ur| |_µ,p,αein:

Definition 5.6.7. Wir nennen die Pseudonorm| |_µ,p,αgenau dann aufsteigend stetig, wenn f¨ur allef ∈E(R,S, c)gilt:

R(S)3M_n↑[f 6= 0] (n→ ∞) =⇒ |χ_Mnf|_µ,p,α → |f|_µ,p,α (n→ ∞)

Nach Satz 5.3.4 ist dann die Konvergenz monoton, also|χ_Mnf|_µ,p,α ↑ |f|_µ,p,αf¨urn→ ∞.

F¨ur allgemeine p und α notieren wir das folgende Ergebnis, wobei noch anzumerken w¨are, daßµunter den gemachten Voraussetzungen sogar ein Maß ist:

Satz 5.6.8. Istµein schwaches Maß mit endlicher Totalvariation, und istωµ,p,αisoton, so ist| |_µ,p,α aufsteigend stetig.

Beweis. Es seien f ∈ E(R,S, c)beliebig undR(S)^N 3 M_n ↑ [f 6= 0]f¨ur n → ∞. F¨ur eine DarstellungD= (A_i|F_i)∈D^∗R(S)(f)setzen wir

Dn := (M_n∩A_i|F_i)∈D^∗R(S)(χ_Mnf)

f¨urn ∈ N. Mit der klassischen Minkowski-Ungleichung, der Dreiecks- und der H¨older-Ungleichung der Schatten-Normen und der Ando-H¨older-Ungleichung folgt, wobei die angege-benen Summen ¨uber alleimitFi 6= 0, mithinAi ⊂[f 6= 0], laufen:

Daµein schwaches Maß und|µ|endlich ist, ist|µ|ein Maß, also absteigend stetig bei∅.

Es seiε >0beliebig. Dann gibt es einN ∈Nso, daß f¨ur allen ≥N gilt:

kfk^p_sup|µ| [f 6= 0]\Mn

< ε^p

F¨ur alleD∈D^∗_R(S)(f)und allen≥N hat man also|ω_µ,p,α(D)−ω_µ,p,α(Dn)|< ε.

Andererseits l¨aßt sich f¨ur allen≥N aus jeder DarstellungE= (Bi|Fi)∈D^∗R(S)(χMnf) durch Weglassen aller Paare (B_i, F_i) mit F_i = 0 und anschließendes Erweitern offen-sichtlich eine disjunkte Darstellung D ∈ D^∗R(S)(f) mit Dⁿ = E erhalten, mit der also ebenfalls

|ω_µ,p,α(D)−ω_µ,p,α(E)|=|ω_µ,p,α(D)−ω_µ,p,α(Dn)|< ε

5 Die Pseudonorm| |_µ,p,α

gilt. F¨ur allen ≥ N gibt es also zu jeder disjunkten DarstellungDvonf eine disjunkte DarstellungE vonχ_Mnf und ebenso zu jeder disjunkten DarstellungE von χ_Mnf eine disjunkte DarstellungDvonf derart, daß jeweils

|ω_µ,p,α(D)−ω_µ,p,α(E)|< ε

gilt. Mit Satz 5.6.6 erh¨alt man daraus

|f|_µ,p,α− |χMnf|_µ,p,α ≤ε f¨ur allen ≥N und sieht so|χ_Mnf|_µ,p,α → |f|_µ,p,αf¨urn→ ∞.

Im Fallp =α = 2ist die Isotonie (ja sogar die Darstellungsinvarianz) von ωµ,2,2 gem¨aß Satz 5.1.5 ohnehin gegeben. Doch auch auf das Voraussetzen einer endlichen Totalvaria-tion und somit der Maßeigenschaft kann man hier verzichten:

Satz 5.6.9. Istµein schwaches Maß, so ist| |_µ,2,2 aufsteigend stetig.

Beweis. Es seien f ∈ E(R,S, c) und (M_n) ∈ R(S)^N beliebig mit M_n ↑ [f 6= 0] f¨ur n→ ∞. Dazu kann man(A_i|F_i)∈D^∗_S(f)w¨ahlen mitF_i 6= 0und folglichM_n∩A_i ↑A_i f¨urn→ ∞f¨ur allei.

Gem¨aß Satz 2.7.3(a)=⇒(d) istR(S)3A 7→

F_ip µ(A)

2

2 ∈[0,∞)f¨ur alleiaufsteigend stetig. Mit(M_n∩A_i|F_i)∈D^∗R(S)(χ_Mnf)f¨ur allen ∈Nund Satz 5.1.5 folgt f¨urn → ∞:

|χMnf|²_µ,2,2 =X

i

Fi

pµ(Mn∩Ai)

2

2 →X

i

Fi

pµ(Ai)

2

2 =|f|²_µ,2,2

Es sei daran erinnert, daß nicht jedes schwache PO-Maß ein Maß ist, siehe Beispiel 2.7.2.

In diesem Sinne ist Satz 5.6.9 st¨arker als Satz 5.6.8 im Fallp=α= 2.

6 Integralfortsetzung

In diesem Kapitel besch¨aftigen wir uns mit der Fortsetzung des elementaren(p, q)-Inte-grals von den einfachen Funktionen auf gr¨oßere Funktionenr¨aume.

Abschnitt 6.1 enth¨alt einen allgemeinen Fortsetzungssatz f¨ur sesquilineare Abbildungen, den wir uns hierf¨ur zunutze machen wollen. Dieser Satz besagt, daß man eine sesquilinea-re Abbildung von einem Produkt von Unterr¨aumen stetig erweitern kann auf das Produkt der Abschl¨usse dieser Unterr¨aume bez¨uglich gegebener Pseudonormen, wenn die Abbil-dung mit diesen Pseudonormen einer H¨older-Ungleichung gen¨ugt.

In Abschnitt 6.2 wenden wir den Fortsetzungsatz auf das elementare (p, q)-Integral an.

Dies unter der Annahme, daß Pseudonormen auf den Funktionenr¨aumen vorliegen, die auf den einfachen Funktionen die in Kapitel 5 konstruierten Pseudonormen majorisieren und somit dort mit dem elementaren(p, q)-Integral in einer H¨older-Beziehung stehen.

Abschnitt 6.3 zeigt, daß es von der Wahl der zugrundegelegten Funktionenr¨aume abh¨an-gen kann, ob die erhaltenen R¨aume integrierbarer Funktionen vollst¨andig sind.

6.1 Die stetige Fortsetzung sesquilinearer Abbildungen

Wie in [Sig98] das Quadratintegral, wollen wir auch das (p, q)-Integral mittels stetiger Fortsetzung erweitern und dazu den folgenden, gegen¨uber [Sig98] leicht verallgemeiner-ten Fortsetzungssatz benutzen. Wegen der Wichtigkeit dieses Satzes ist der (einfache und nach bekanntem Muster ablaufende) Beweis ausf¨uhrlich dargestellt. Man beachte, daß im Fall reeller Vektorr¨aume mit

”sesquilinear“ nat¨urlich

”bilinear“ gemeint ist.

Satz 6.1.1. Es seien(F1,k k₁)und(F2,k k₂)pseudonormierte Vektorr¨aume,E1 <F1und E₂ < F₂ Unterr¨aume, L₁ bzw.L₂ ihre Abschl¨usse, cein Banachraum und a ∈ [0,∞).

Sindk k₁ undk k₂aufE₁ bzw.E₂ endlich, und isth, i₀ :E₁×E₂ −→csesquilinear mit

|hf, gi₀| ≤akfk₁kgk₂ f¨ur allef ∈E₁ undg ∈E₂, (H1) so hath, i₀ eine eindeutige sesquilineare Fortsetzungh, i:L₁ ×L₂ −→cmit

|hf, gi| ≤akfk₁kgk₂ f¨ur allef ∈L₁ undg ∈L₂. (H2) F¨ur allef ∈L1, g ∈L2und(fn)∈E^N₁,(gn)∈E^N₂ gilt:

kfn−fk₁ →0 ∧ kgn−gk₂ →0 =⇒ hfn, gni₀ → hf, gi (S)

6 Integralfortsetzung

Beweis. Vorab sei festgehalten, daß k k₁ auch auf L1 endlich ist, sowie, daß f¨urf ∈ L1

und(f_n) ∈ E^N₁ mitkf_n−fk₁ → 0f¨ur n → ∞ stetskf_nk₁ → kfk₁ f¨ur n → ∞ gilt.

Entsprechendes hat man nat¨urlich auch f¨urk k₂,L₂undE₂.

Angenommen nun,h,i:L₁×L₂ →cist eine Fortsetzung vonh, i₀mit den geforderten Eigenschaften. Sindf ∈L₁ undg ∈L₂, so gibt es Folgen(f_n)∈ E^N₁ und(g_n)∈E^N₂ mit kf_n−fk₁ →0undkg_n−gk₂ →0f¨urn → ∞. Damit gilt

|hf_n, g_ni − hf, gi₀|=|hf_n, g_ni − hf, gi|=|hf_n−f, g_ni+hf, g_n−gi|

≤akf_n−fk₁kg_nk₂+akfk₁kg_n−gk₂

→a0kgk₂+akfk₁0 = 0

und sohf_n, g_ni₀ → hf, gif¨urn → ∞. Dies zeigt die Eindeutigkeit. Mitkf_m−f_nk₁ →0 undkg_m−g_nk₂ →0f¨urm, n→ ∞sieht man weiter

|hf_m, g_mi₀− hf_n, g_ni₀|=|hf_m−f_n, g_mi₀+hf_n, g_m−g_ni₀|

≤akf_m−f_nk₁kg_mk₂+akf_nk₁kg_m−g_nk₂

→a0kgk₂ +akfk₁0 = 0

f¨urm, n→ ∞. Folglich ist(hf_n, g_ni₀)eine Cauchyfolge, also konvergent inc. Hat man weitere approximierende Folgen, d. h. (f_n⁰) ∈ E^N₁ und (g_n⁰) ∈ E^N₂ mit kf_n⁰ −fk₁ → 0 und kg_n⁰ −gk₂ → 0 f¨ur n → ∞, so sieht man etwa durch

’Mischen‘ der Folgen, daß limhf_n, g_ni₀ = limhf_n⁰, g_n⁰i₀ gilt. Mithin ist der Grenzwert unabh¨angig von der Auswahl der approximierenden Folgen(f_n)und(g_n),

hf, gi:= lim

n→∞hf_n, g_ni₀

ist wohldefiniert und liefert eine Abbildung h, i : L₁ ×L₂ −→ c mit (S). Konstante Folgen zeigen, daß diese eine Fortsetzung vonh, i₀ ist. Ferner gilt (H2): Zuf ∈ L1und g ∈ L₂ sowie(f_n)und(g_n)wie oben erh¨alt man aus|hf_n, g_ni₀| ≤ akf_nk₁kg_nk₂ f¨ur alle n∈Nmittels (S) durch Grenzwertbildung|hf, gi| ≤akfk₁kgk₂. Mit (S) zeigen ¨ahnliche Routine¨uberlegungen auch, daß sich die Sesquilinearit¨at vonh, i₀aufh, i ¨ubertr¨agt.

Die Ungleichung (H1) bzw. (H2) nennen wir naheliegenderweiseH¨older-Ungleichung, in Spezialf¨allen auchCauchy-Schwarz-Ungleichung. Wegen (S) nennen wirh, idie (bez¨ug-lich der gegebenen Pseudonormen)stetige Fortsetzungder Abbildungh, i₀.

Es sei noch angemerkt, daß es zumindest f¨ur die Eindeutigkeitsaussage dieses Satzes wesentlich ist, die Pseudonormen auf den R¨aumenE₁ undE₂als endlich vorauszusetzen:

Beispiel 6.1.2. Es seienF:=R²undE:=R×Q. Durch k(v, w)k:=

(|w| f¨urv = 0

∞ f¨urv 6= 0

f¨urv, w ∈Rwird eine Pseudonormk k : F−→[0,∞]definiert, bez¨uglich dererEdicht inFliegt. Durchh(v, w),(x, y)i₀ :=vxf¨urv, x∈Rundw, y ∈Qwird eine sesquilineare Abbildungh, i₀ :E×E−→Rerkl¨art, die (H1) mit beliebigema∈(0,∞)erf¨ullt. Weiter werden durchh(v, w),(x, y)i₁ :=vxundh(v, w),(x, y)i₂ :=v(x+y)f¨urv, w, x, y ∈R zwei verschiedene sesquilineare Fortsetzungen von h, i₀ aufF ×Fdefiniert, die beide (H2) mit beliebigema∈(0,∞)erf¨ullen.

Im Dokument Die Integration Schatten-operatorwertiger Funktionen bezüglich positiv-operatorwertiger Inhalte (Seite 63-69)