Zur Wahl der zugrundegelegten Funktionenr¨aume

Wir zeigen anhand des auf [Kur67, Remark 3.1] zur¨uckgehenden und auch schon in [Sig98, Beispiel 3.6] kurz vorgestellten Beispiels, daß man m¨oglicherweise nur einen unvollst¨andigen RaumL_p(R,S, c,k k_µ)erreicht, wenn man von einem Funktionengrund-raumF_µ ⊂F(R, c_α(H, U))ausgeht, aber Vollst¨andigkeit erzielen kann, wenn man statt-dessen einen geeigneten FunktionenraumFµ ⊂F(R,L(H, U))zugrundelegt:

Beispiel 6.3.1. Es seienR 6= ∅beliebig,S:= {∅,R},H :=`₂(N)undU :=C. Ferner

Mit der Orthonormalbasis von`2(N)aus den Standardeinheitsvektorenei = (δij)j∈Nf¨ur i∈Ngilt|F|²₂ =P∞

Die Folge in diesem Beispiel konvergiert nat¨urlich erst recht nicht bez¨uglich einer Pseu-donormk k_µ ≥ | |_µwie in Definition 6.2.1. Damit istL2(R,S, c2(H, U),k k_µ)in jedem Fall unvollst¨andig, wenn man vonF_µ:=F(R, c₂(H, U)) = E(R,S, c₂(H, U))ausgeht.

Jetzt werden wir aber einen anderen RaumF_µbenutzen. Zun¨achst eine allgemeine

Hilfs-¨uberlegung:

Lemma 6.3.2. SindHundU Hilbertr¨aume undS∈L(H), so definieren L_S,α(U) := {F ∈L(H, U) :F S ∈c_α(H, U)} und

|F|_S,α :=

F S

α f¨urF ∈L_S.α(U) einen vollst¨andigen halbnormierten Raum L_S,α(U),| |_S,α

mitc_α(H, U)<L_S,α(U).

6.3 Zur Wahl der zugrundegelegten Funktionenr¨aume Beweis. Offensichtlich istLS,α(U)ein Vektorraum und| |_S,αeine Halbnorm. Es sei(Fn) eine Cauchy-Folge in(L_S,α(U),| |_S,α). Dann ist die Folge(F_nS)wegen

FmS−FnS

α =|Fm−Fn|_S,α f¨ur allem, n∈N

eine Cauchy-Folge im Banachraumcα(H, U), hat dort also einen Grenzwert G. Es sei F ∈L(H, U)irgendeine (etwa mit dem Basiserg¨anzungssatz zu gewinnende) Fortsetzung vonGS⁻. MitF S =GS⁻S =GP_N(S)^⊥ ∈c_α(H, U)geltenF ∈L_S,α(U)und

|F −F_n|_S,α =|F S−F_nS|_α =|GP_N(S)^⊥−F_nSP_N(S)^⊥|

α ≤ |G−F_nS|_α →0 f¨urn→ ∞, d. h.(Fn)konvergiert in(LS,α(U),| |_S,α).

F¨ur jedesF ∈ c_α(H, U)hat man F S ∈ c_α(H, U), mithin F ∈ L_S,α(H, U). Damit ist auchc_α(H, U)<L_S,α(U)gezeigt.

Wir wenden Lemma 6.3.2 aufS :=√

T aus Beispiel 6.3.1 an:

Beispiel 6.3.3. An Beispiel 6.3.1 anschließend, seien mitL^√_{T ,2}(U)gem¨aß Lemma 6.3.2 F_µ :={χ_RF :F ∈L^√_{T ,2}(U)} und

kχ_RFk_µ :=

F ^√

T ,2 f¨urF ∈L^√_{T ,2}(U).

Dann ist F_µ ein Vektorraum mit E(R,S, c₂(H, U)) < F_µ und k k_µ eine im Sinne von Definition 6.2.1 geeignete Halbnorm. Der damit gebildete RaumL₂(R,S, c₂(H, U),k k_µ) ist vollst¨andig.

Beweis. Offensichtlich istF_µein Vektorraum. Wegenc₂(H, U)⊂L^√_{T ,2}(U)gilt nat¨urlich E(R,S, c₂(H, U)) < F_µ. Klar ist auch, daßk k_µeine Halbnorm ist. Diese setzt | |_µ fort, ist also insbesondere im Sinne von Definition 6.2.1 geeignet.

Ist(χRFn)eine Cauchy-Folge in Fµ, so ist (Fn)eine Cauchy-Folge in L^√_{T ,2}(U). Nach Lemma 6.3.2 gibt es einF ∈L^√_{T ,2}(U)mit|F −F_n|^√_{T ,2} →0f¨urn → ∞. Wegen

kχ_RF −χ_RF_nk_µ=|F −F_n|^√_{T ,2} →0 f¨urn→ ∞

und χ_RF ∈ F_µ konvergiert also (χ_RF_n) in F_µ. Damit sind F_µ und folglich auch sein abgeschlossener UnterraumL2(R,S, c2(H, U),k k_µ)vollst¨andig.

Die auf dem UnterraumL^√_{T ,2}(U)<L(H, U)halbnorm-erhaltende Bijektion L(H, U)3F 7→χ_RF ∈F(R,L(L, U))

bewirkt in diesem Beispiel die folgenden Isomorphien:

c₂(H, U) < c₂(H, U)^{| |}

√

T ,2 < L^√_{T ,2}(U) < L(H, U)

∼ = ∼= ∼ = ∼=

E(R,S, c₂(H, U)) < L₂(R,S, c₂(H, U),k k_µ) < F_µ < F(R,L(H, U)) Wir erinnern noch einmal daran, daß die Halbnormk k_µgem¨aß Satz 2.7.4 trivial zu einer Pseudonorm auf dem ganzen Raum F(R,L(H, U)) fortgesetzt werden kann, ohne den AbschlußL₂(R,S, c₂(H, U),k k_µ)der einfachen Funktionen zu ¨andern.

7 Geeignete Integralnormen

Es seienReine nichtleere Menge,Sein Pr¨a-Ring ¨uberR,H ein Hilbertraum und damit µ:S−→ L(H)₊ ein Inhalt, fernerp∈ [1,∞],U ein weiterer Hilbertraum,α∈ [1,∞]

undc < c_α(H, U).

Dieses Kapitel zeigt, wie man im allgemeinen Fall zu| |_µ,p,α :E(R,S, c)−→[0,∞]eine Pseudonorm

k k :F(R,L(H, U))−→[0,∞]

erhalten kann, wie sie in Definition 6.2.1 gebraucht wird, d. h. mit| |_µ,p,α ≤ k k_/E(R,S,c). Wir stellen acht Beispiele solcher Pseudonormen vor, die alle auf die wohlbekannte Weise aus Integralnormen aufP(R)gewonnen werden. Die Konstruktionen entsprechen denen in [HS92, Kapitel 9 und 11], wobei lediglich die Rolle des elementaren Integrals von der Abbildung| |_µ,p,α ¨ubernommen wird. Tats¨achlich k¨onnte man, wenn man sich nicht f¨ur unsere spezielle Anwendung und die G¨ultigkeit der in Satz 5.3.2 notierten H¨older-Ungleichung interessierte, außer im Falle der Totalvariationsnorm f¨ur s¨amtliche Betrach-tungen statt von| |_µ,p,α auch von einer beliebigen anderen Pseudonorm auf dem Raum E(R,S, c)ausgehen.

Abschnitt 7.1 f¨uhrt zun¨achst eine Integralnormτµ,p,α auf den[0,∞)-wertigen einfachen Funktionen ein, die aufE(R,S, c) schon die Ungleichung | |_µ,p,α ≤ τ_µ,p,α ◦ | |_α erf¨ullt.

Ihre Definition ist angelehnt an die der Abbildungσaus [HS92, 9.2].

Dann besprechen wir in Abschnitt 7.2 zwei einfache Integralnormen, die Semivaria-tionsnorm und die Totalvariationsnorm, die den aus [HS92, 9.3] bekannten, mit Hilfe der Semivariation und der Totalvariation vonµgebildeten Integralnormen entsprechen.

Mit Hilfe von τ_µ,p,α bilden wir, ebenfalls ¨ahnlich wie in [HS92, 9.3], in Abschnitt 7.3 eine Integralnorm, die derRiemann-Integralnormentspricht, und die wir deshalb auch so nennen. Ferner betrachten wir die zugeh¨orige lokale Integralnorm.

Abschnitt 7.4 untersucht unter geeigneten zus¨atzlichen Voraussetzungen demgem¨aß ei-ne Lebesgue-Integralnorm und deren lokale Integralnorm. Hierzu vergleiche man die Ausf¨uhrungen in [HS92, 9.6].

Danach werden in Abschnitt 7.5 noch die Bourbaki-Integralnorm und ihre lokale Inte-gralnorm behandelt, dies ganz in Entsprechung zu [HS92, 11.12].

Schließlich stellt Abschnitt 7.6 alle diese Integralnormen einander gegen¨uber.

7 Geeignete Integralnormen

7.1 Die Integralnorm τ

_µ,p,α

und die (p, α)-Semivariation

Die MengeE⁰(R,S) :=E(R,S,R)₊ist ein SV-System. Auf diesem vereinbaren wir:

Definition 7.1.1. Die Abbildungτ_µ,p,α :E⁰(R,S)−→[0,∞]sei definiert durch τ_µ,p,α(ϕ) := sup

|f|_µ,p,α :f ∈E(R,S, c),|f|_α ≤ϕ f¨urϕ∈E⁰(R,S).

Dabei ist nat¨urlich f¨urf ∈E(R,S, c)die Abbildung|f|_α ∈E⁰(R,S)punktweise erkl¨art.

Man beachte, daßτ_µ,p,α(ϕ)von der Wahl des Raumsc(und damit des RaumsU) abh¨angen kann, ohne daß dies in der Bezeichnung ausgedr¨uckt w¨are.

Satz 7.1.2. τ_µ,p,α ist eine Integralnorm. F¨ur allef ∈E(R,S, c)gilt:

|f|_µ,p,α ≤τ_µ,p,α(|f|_α) (G)

Beweis. Die Homogenit¨at vonτ_µ,p,αsieht man mit der Homogenit¨at von| |_µ,p,α und| |_α. Zur Subadditivit¨at: Es seienϕ, ϕ₁, ϕ₂ ∈E⁰(R,S)mitϕ ≤ϕ₁+ϕ₂, fernerf ∈E(R,S, c) beliebig mit|f|_α ≤ϕ. F¨urk ∈ {1,2}sei

fk(x) :=

( _ϕ

k(x)

ϕ1(x)+ϕ2(x)f(x) f¨urϕ(x)>0, 0 f¨urϕ(x) = 0.

Damit geltenf_k∈E(R,S, c)und|f_k|_α ≤ϕ_k, also|f_k|_µ,p,α ≤τ_µ,p,α(ϕ_k)und so:

|f|_µ,p,α =|f₁ +f₂|_µ,p,α ≤ |f₁|_µ,p,α+|f₂|_µ,p,α ≤τ_µ,p,α(ϕ₁) +τ_µ,p,α(ϕ₂) Die Supremumsbildung ¨uberf liefertτ_µ,p,α(ϕ)≤τ_µ,p,α(ϕ₁) +τ_µ,p,α(ϕ₂).

F¨urf ∈E(R,S, c)gilt nat¨urlich|f|_α ∈E⁰(R,S), folglich|f|_µ,p,α ≤τ_µ,p,α(|f|_α).

Die Integralnormτ_µ,p,αwird in den folgenden Abschnitten als Grundlage dienen, auf der sich verschiedene Integralnormen aufP(R)entwickeln lassen, die ebenfalls eine Unglei-chung der Art (G) erf¨ullen und sich daher, falls sie außerdem aufE(R,S, c)endlich sind, im Sinne von Definition 6.2.1 eignen.

Wir bemerken noch, daß in der Ungleichung (G) auch

”<“ m¨oglich ist:

Beispiel 7.1.3. Es seien S := {∅,R}, H := U := C² undF_i ∈ L(H)₊ f¨ur i ∈ {1,2}

die orthogonale Projektion auf die i-te Komponente. Der Inhalt µ : S −→ L(H)₊ sei festgelegt durchµ(R) := F₂. Es gilt|F_i|_α = 1 f¨uri ∈ {1,2}, mit f_i := χ_RF₁ folgt also

|f₁|_α =|f₂|_αund so:

|f₁|_µ,p,α =

F₁µ(R)^1p

α=|0_H,U|_α = 0 τ_µ,p,α(|f₁|_α)≥ |f₂|_µ,p,α =

F₂µ(R)^1p

α =|F₂|_α = 1

Dies zeigt auch, daß es hier keine Integralnormk k⁰ aufE⁰(R,S)mit |f|_µ,p,α = k |f|_αk⁰ f¨ur allef ∈ E(R,S, c)gibt, denn sonst h¨atte man f¨ur die Funktionen f1, f2 aus diesem Beispiel ja|f₁|_µ,p,α =|f₂|_µ,p,α.

7.1 Die Integralnormτ_µ,p,αund die(p, α)-Semivariation Als weitere Hilfsgr¨oße f¨uhren wir noch die folgende Abbildung ein:

Definition 7.1.4. Die Abbildungµgp,α :R(S)−→[0,∞]sei definiert durch µg_p,α(A) :=τ_µ,p,α(χ_A) f¨urA∈S.

Wegen der ¨Ahnlichkeit zur Definition der Semivariationeµin Abschnitt 2.7.6 nennen wir µg_p,αdie(p, α)-Semivariationzuµ. Auch die(p, α)-Semivariation h¨angt voncundU ab.

Lemma 7.1.5. µg_p,α ist ein ¨außerer Inhalt. F¨ur alleA ∈ R(S)geltenµg_p,α(A)≤ |µ|(A)^1p im Fall p < ∞ sowie µg∞,α(A) ≤ |µ(A)|⁰_∞. In beiden F¨allen hat man Gleichheit bei c_0,1(H, U)⊂cund isotonemω_µ,p,α.

Beweis. Die ¨außere Inhaltseigenschaft folgt aus der Subadditivit¨at von τµ,p,α. Hat man A ∈ R(S)und f ∈ E(R,S, c)mit |f|_α ≤ χ_A, so gelten kfk_sup ≤ kχ_Ak⁰_sup ≤ 1sowie

= 0, folglich wieder mit Lemma 5.5.2:

|f|_µ,∞,α = 0 =|µ(A)|⁰_∞

Die Supremumsbildung ¨uberf liefert jeweils die Behauptung.

Jetzt geltec_0,1(H, U) ⊂ c, es seien ω_µ,p,α isoton undA ∈ R(S) beliebig. Erst der Fall

7 Geeignete Integralnormen

Im Dokument Die Integration Schatten-operatorwertiger Funktionen bezüglich positiv-operatorwertiger Inhalte (Seite 70-76)