k} iid gleichverteilt

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TU Darmstadt Fachbereich Mathematik

Jakob Creutzig

SS 2008 02.05.08

2. Aufgabenblatt zur Vorlesung

Einf¨uhrung in die numerische Finanzmathematik

Aufgabe T1: Wir betrachten die Problemmenge F = {0,1}^N mit dem L¨osungsoperator S_N(f) = _N¹ P

i≤Nf(i). Untersuchen Sie die direkte Simula- tionsmethode

M_n(f) := 1 n

X

i≤n

f(X_i)

mit X_i iid gleichverteilt auf{1, . . . , N}auf Bias und Varianz.

Aufgabe T2: Nun seiN =k·n, undX₁, . . . , X_n seien auf{1, . . . , k} iid gleichverteilt. Weiter sei

ν_i(f) := 1 k

i(k+1)

X

i=ik+1

f(i). Zeigen Sie, daß der durch

Mf_n(f) := 1 n

X

i≤n

f(X_i+ (i−1)k) definierte Algorithmus erwartungstreu ist und

σ²(Mf_n(f)) =σ²(M_n(f))−n⁻²

n−1

X

i=0

(ν_i(f)−S(f))² .

Wann sind M_n und Mf_n ¨ahnlich effizient, wann istMf_n deutlich effizienter?

Aufgabe T3 (Box–Muller–Methode):Es sei Π :R²\{0} →(0,∞)× [0,2π) die Polarkoordinatenabbildung mit Umkehrabbildung Π⁻¹.

(i) SeiX Z.vektor in R²\{0} und Y Z.vektor in (0,∞)×[0,2π[. Dann ist Y = Π(X)⇔X = Π⁻¹(Y).

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(ii) Zeigen Sie: IstY = (E, U) mitU gleichverteilt auf [0,2π),E ∼Exp(1), und E, U unabh¨angig, so istX = Π⁻¹(Y)N(0,Id₂)–verteilt. (Hinweis:

Sei X0 standardnormal; (i) nutzen, um mit brutaler Gewalt die Dichte von Π(X₀) zu bestimmen.)

Aufgabe P1: Implementieren Sie die Methoden aus T1 und T2, und nutzen Sie sie, um die Anzahl an teilerfremden Zahlen in {1, . . . , k}² f¨ur k = 8⁸,k = 9⁹ und k = 10¹⁰ zu sch¨atzen.

Aufgabe P2:Suchen Sie nach einer Beschreibung von Marsaglia’srectangle–

wedge–tail–Methode zur Erzeugung von Normalverteilungen; implementieren Sie diese und die Box–Muller–Methode aus T3, und erstellen Sie einen sim- plen benchmark. (Vergessen Sie dabei nicht, dass die Box–Muller–Methode immer zwei unabh¨angige normalverteilte Gr¨oßen liefert.)

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