Kinematik
Ein Zug verlässt den Yongsan Bahnhof in Seoul (Südkorea). Der Zug bewegt sich,
1. Grundbegriffe und Geschwindigkeit
Aufgabe 1: Der Intercity-Neigezug ICN 519 fährt von Neuchâtel nach Solothurn.
Kilometer Ort an ab 123 Neuchâtel 09:22 09:24 153 Biel/Bienne 09:40 09:45 178 Solothurn 09:59 10:01 a) Zeichen den grafischen Fahrplan für diesen
Zug im untenstehenden Diagramm ein.
Beschrifte die Achsen vollständig.
b) Welche Geschwindigkeit hat der Zug?
c) Überlege dir gut, welcher Vereinfachungen du vorgenommen und welche Annahmen du getroffen hast.
Der grafische Fahrplan eines bewegten Körpers heisst in der Physik
………
Der Fahrplan selber, d.h. der Zusammenhang zwischen Weg und Zeit heisst
………
Grundbegriffe der Kinematik
Wir haben nur einen Punkt für den ganzen Zug eingezeichnet. Die Spitze des Zuges befindet sich jedoch nicht an derselben Stelle wie das Ende. Wir haben also die Ausdehnung des Zuges nicht berücksichtigt.
Ganz allgemein wird in der Kinematik ein Körper als ……….
angesehen, d.h. als Körper dessen Ausdehnung vernachlässigt wird.
In der Natur gibt es keine Massenpunkte. Diese stellen eine Idealisierung, ein so genanntes
……… dar. Sie dienen zur einfacheren Beschreibung eines Sachverhaltes.
Bewegung bezieht sich auf etwas. Wir haben die Distanzen ab Neuchâtel entlang den Schienen angegeben. Wir hätten genauso gut den Streckenkilometer (hier die Distanz ab Genf Flughafen) angeben können. Zudem haben wir die Zeit nach der Abfahrt in Neuchâtel angegeben. Wir hätten auch die absolute Zeit (hier 09:24 Uhr) wählen können.
Bewegung wird in Bezug auf ein ……… angegeben.
Oft wählen wir die Koordinaten so, dass der Körper zur Zeit t = …… am Ort s = …… befindet.
Eine Reisende im Zug hat sich von Neuchâtel nach Solothurn bewegt. Gleichzeitig hat sie sich im Vergleich zu ihrem Sitzplatz nicht bewegt. Bewegung bezieht sich auf etwas ist also relativ.
Von Bewegung oder Ruhe kann man also nur sprechen, wenn man angibt, auf was man sich bezieht, also ein ………, d.h. ……… angibt.
Der Zug bewegt sich von Neuchâtel nach Solothurn sowohl in west-östlicher, wie auch in nord- südlicher Richtung. Zudem ist er in Solothurn nicht auf genau der gleichen Höhe über Meer wie in Neuchâtel. Der Zug hat sich also im dreidimensionalen Raum verschoben. Wir haben die Strecke jedoch entlang den Schienen gemessen und somit nur eine Dimension betrachtet.
Wir beschränken uns auf ……… Bewegungen, d.h. um den Ort des Körpers zu beschreiben, müssen wir nur ……… Koordinate, den ……… angegeben.
Auf der Strecke von Neuchâtel nach Solothurn bewegt sich der Zug mal schnell mal langsam, manchmal steht er sogar. Der Zug bewegt sich also mit ganz unterschiedlichen Geschwindigkeiten.
Wir unterscheiden grundsätzlich zwei Arten von Geschwindigkeit.
Der Zug hat zu jedem Zeitpunkt eine Geschwindigkeit, sie heisst ……….
Unabhängig davon wurde die Strecke in einer bestimmten Zeit und damit mit einer bestimmten Geschwindigkeit zurückgelegt. Sie heisst ……… .
Die mittlere Geschwindigkeit (Durchschnittsgeschwindigkeit)
Ein Körper legt während der Zeitdauer …… den ……… Δs zurück. Die mittlere Geschwindigkeit vgibt an, welcher Weg Δs pro Zeiteinheit Δt zurückgelegt wird.
…… = ………. [……] = ……….
Aufgabe 2: Berechne die mittlere Geschwindigkeit des Zuges zwischen Neuchâtel und Biel und Neuchâtel und Solothurn.
v = ……… m/s = ……… km/h NB
v = ……… m/s = ……… km/h NS
Aufgabe 3: Häufig wird die Geschwindigkeit auch in km/h angegeben. In der Physik musst du aber immer in m/s rechnen (SI-Einheiten). Für die Umrechnung gilt:
1 s
m = ………..
h km
Aufgabe 4: Damit du dir die Geschwindigkeit besser vorstellen kannst, sind in dieser Tabelle einige Geschwindigkeiten zusammengestellt. Ergänze die Tabelle. Wie kannst du diese Geschwindig- keiten berechnen, abschätzen oder nachlesen?
Aufgabe 5: Ein Fahrrad fährt mit einer mittleren Geschwindigkeit von 21 km/h. Wie gross ist seine Geschwindigkeit in m/s? Wie weit fährt das Fahrrad in 20 Minuten?
v = ……….. m/s Δs = ……….. m = ……….. km
Wir können die zurückgelegte Strecke Δs allgemein für alle Bewegungen aus t v s
Δ
= Δ berechnen.
Der bei einer beliebigen Bewegung zurückgelegte Weg Δs ist stets gleich dem ………
Geschwindigkeit eines Fussgängers ………. m/s
Erlaubte Geschwindigkeit innerorts ………. m/s Erlaubte Geschwindigkeit auf der Autobahn ………. m/s Schallgeschwindigkeit in Luft bei 20° ………. m/s
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ………. m/s
Die Momentangeschwindigkeit
Bei der Bewegung eines Körpers ändert sich seine Geschwindigkeit im Allgemeinen dauernd. Der Zug in unserem Beispiel fährt in Neuchâtel ab, beschleunigt und muss wieder verlangsamen, um in Biel zu stehen. Die mittlere Geschwindigkeit gibt nur Auskunft über die durchschnittliche Bewegung.
Die Momentangeschwindigkeit v ist die Geschwindigkeit eines Körpers zu einer bestimmten Zeit (an einem bestimmten Ort), d.h. die Geschwindigkeit, wie sie von einem Geschwindigkeitsmesser
= ……… angezeigt wird.
Aufgabe 6: Betrachte das Weg-Zeit-Diagramm (unten- stehende Figur) einer Rangierlokomotive, die sich auf einer geradlinigen Strecke vor- und rückwärts bewegt (siehe Abbildung rechts). Auf der horizontalen Achse ist die Zeit in Sekunden dargestellt; auf der vertikalen
Achse ist der Abstand in Metern von einem Bezugspunkt A auf dem Gleis angegeben. Der Zeitpunkt t = 0 ist der Moment, in welchem die Lok den Punkt A passiert.
a) Wo befindet sich die Lok nach 30 s?
b) Wo ist die Lok schnell, wo ist sie langsam? Ruht sie an gewissen Stellen?
c) In welchen Zeitintervallen fährt die Lokomotive rückwärts?
d) Schätze die momentane Geschwindigkeit der Lok im Punkt P.
e) Berechne die mittlere Geschwindigkeit der Lok im Zeitintervall 50 s – 80s, 0 s – 20 s (und im Intervall 0 s – 50 s).
Die Momentangeschwindigkeit ändert sich laufend. Wird die Momentangeschwindigkeit als
„Funktion der Zeit“ dargestellt, so erhält man das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz.
Die momentane Steigung des Weg-Zeit-Diagrams ist die momentane Geschwindigkeit v.
Aufgabe 7: In der Abbildung siehst du drei Zeit-Weg-Diagramme. Eines davon könnte sich auf ein Auto beziehen, welches an einem Lichtsignal steht und dann anfährt, nachdem das Stopplicht grün geworden ist. t ist die Zeit, seit die Ampel von Rot auf Grün geschaltet hat, s der bis dahin zurückgelegte Weg.
a) Welches der drei Diagramme ist deiner Meinung nach gemeint?
b) Welche der drei Geschwindigkeit–Zeit-Diagramme und der drei Weg-Zeit-Diagramme gehören zusammen?
Aufgabe 8: Die Grafik beschreibt den Verlauf eines Langstreckenlaufes, an dem vier Athleten teilnehmen.
Erstelle eine Rangliste. Wie verlief der das Rennen für jeden Läufer?
Kommentiere das Verhalten jedes Läufers. Welche Läufer sind realistisch?
Weg
Ziel
Läufer A Läufer B Läufer C Läufer D
2. Die gleichförmige Bewegung
Wir lassen ein kleines Wägelchen fahren. Wir messen dabei an verschiedenen Orten die Zeit und zeichnen das Weg-Zeit-Diagramm. Zur Zeit t = 0 steht das Wägelchen an der Stelle s = 0.
Die Messpunkte des Ortes liegen auf einer ……… durch ………
Der Ort s ist also ……… zur Zeit t.
Die momentane Geschwindigkeit v ist immer ……… (………) und ist gleich der ……… Geschwindigkeit v .
Eine solche Bewegung heisst ……….
Weg-Zeit-Gesetz Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz
s = ……… v = ………
……… durch den ……… ……… zur t – Achse
t [s] s [m] v [m/s]
Übungen
Aufgabe 9: Ein Zug bewegt sich gleichförmig und legt in 26 min eine Strecke von 35 km zurück.
Berechne seine Durchschnittsgeschwindigkeit in m/s und km/h. Welche momentane Geschwindigkeit in m/s hat er zur Zeit t = 0, nach 10 Min und am Ende der Strecke?
Aufgabe 10: Welche Zeit benötigt ein Auto, um auf der Autobahn eine Strecke von 5 km zurückzulegen, wenn es ständig mit der erlaubten Höchstgeschwindigkeit fährt?
Aufgabe 11: Nach wie viel Tagen ist das Haar eines Menschen um 5 cm gewachsen?
(Wachstumsgeschwindigkeit = 3 nm/s)
Aufgabe 12: Bei der Echolotung mit Ultraschall wird von einem Schiff ein Schallsignal (1480 m/s) zum Grund des Gewässers ge- schickt. Das vom Boden reflektierte Signal wird nach einer gewissen Zeit empfangen und aus dieser Zeit die Tiefe des Gewässers berechnet. Wie tief ist ein See, wenn das Schall- signal nach 0.25 s nach dem Senden detektiert wird?
Aufgabe 13: Ein Rad mit 660 mm Durchmesser dreht sich mit 12 Umdrehungen pro min. Berechne die Geschwindigkeit eines Punktes am Umfang des Rades.
Aufgabe 14: Der Abstand Erde-Sonne beträgt 1.5·1011 m. Mit wel- cher Geschwindigkeit bewegt sich die Erde um die Sonne?
Aufgabe 15: Der Mond umkreist die Erde mit einer Geschwindigkeit von 1023 m/s in 27.3 d. Berechne den Abstand Erde-Mond.
Aufgabe 16: Von den Endpunkten einer 1.86 km langen Strecke bewegen sich gleichzeitig ein Fussgänger mit 1.2 m/s und ein Radfahrer mit 18 km/h gegeneinander. Wann und wo treffen sie sich? Skizziere das Weg-Zeit-Diagramm.
Aufgabe 17: Ein Mofafahrer fährt während 3 min mit 18 km/h, in den folgenden 7 min mit 30 km/h. Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit in km/h.
Aufgabe 18: Ein Motorrad fährt eine Strecke von 3.6 km mit 72 km/h und anschliessend dieselbe Strecke mit 108 km/h zurück. Skizziere das v-t-und das s-t-Diagramm. Berechne die mittlere Geschwindigkeit der gesamten Bewegung.
Aufgabe 19: Ein Projektil durchschlägt eine Glühbirne: Zwischen der zweiten und der dritten Aufnahme liegt ein Abstand von 2·10–5 s. Der Durchmesser der Glühbirne beträgt 5 cm. Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich das Geschoss?
3. Die Beschleunigung
Ein Körper bewegt sich beschleunigt, wenn sich seine ……… im Laufe der Zeit ändert. Zum Beispiel muss der Zug zwischen Biel und Solothurn an jeder Station
verlangsamen und dann wieder beschleunigen. Sowohl das Abbremsen, sowie das Anfahren nennen wir ……… .
Aufgabe 20: Ein Auto beschleunigt auf der Autobahnauffahrt in 10 s von 10 m/s auf 30 m/s.
Welche Geschwindigkeitsänderung erfährt das Auto? Um wie viel m/s ändert sich die Geschwindigkeit pro Sekunde?
Unter der mittleren Beschleunigung a eines Körpers versteht man den Quotienten aus der
Geschwindigkeits……… …… und der dazugehörigen ……… …… .
a = ...
... [ a ] =
m s
s = ...
Ein Körper erfährt eine Beschleunigung von 1 ……… wenn sich seine Geschwindigkeit in 1 s um ………… ändert.
Nimmt die Geschwindigkeit ab, so spricht man von ……… = ………
Beschleunigung!
Aufgabe 21: Ein Fahrzeug wird in 11 s von 5.5 m/s auf 32.1 m/s beschleunigt. Berechne a . Aufgabe 22: Ein Wagen wird in 6.5 s von 14.1 m/s auf 5 m/s verzögert.
Berechne a .
4. Die gleichmässig beschleunigte Bewegung
Ein Bähnchen gleitet eine schiefe Luftkissenbahn herunter. Wir messen den Ort des Gleiters als Funktion der Zeit und zeichnen das Weg-Zeit- und das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm.
Der Graf des Ortes als Funktion der Zeit (Weg-Zeit-Diagram) ist eine ………
Das Geschwindigkeits-Zeit-Diagram ist eine ……… durch den ………
Die Beschleunigung a ist immer ……… (………) und ist gleich der ……… Beschleunigung a .
Eine solche Bewegung heisst ………
Geschwindigkeits-Zeit-Diagramme
gleichmässig beschleunigt gleichmässig verzögert gleichförmige Bewegung
a ... 0 a ... 0 a ... 0
vv
t vv
t vv
t
Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz
Ein Fahrzeug bewegt sich am Anfang nicht (bei t = 0 ist s = 0 und v = 0). Nun beschleunigt es und erreicht zur Zeit t die Geschwindigkeit v (= Momentangeschwindigkeit).
Für die Beschleunigung gilt also a = a = ...
... = ...
...
und somit folgt für die Geschwindigkeit:
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz: v = ………
Das Weg-Zeit-Gesetz
Die mittelere Geschwindigkeit v gilt bei s = 0 zur Zeit t = 0 folgende Beziehung:
v =
Für eine gleichförmig beschleunige Bewegung finden wir für die mittlere Geschwindigkeit:
v =
Daraus leiten wir das Weg-Zeit-Gesetz her!
Weg-Zeit-Gesetz: s = ………
Das Beschleunigungs-Zeit-Gesetz
Die Beschleunigung a ist ...
Übungen
Gleichmässig beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit
Aufgabe 23: Ein Wagen beschleunigt in 7.2 s aus dem Stillstand auf 100 km/h. Wie gross sind die Beschleunigung und die zurückgelegte Strecke?
Aufgabe 24: Für Raumsonden untersucht die NASA auch einen neuartigen Ionenantrieb. Dabei werden Xenonatome ionisiert, in einem elektrisch- en Feld beschleunigt und durch eine Düse mit grosser Geschwindigkeit ausgestossen. Eine Sonde mit Ionenantrieb kann während rund 300 Tagen beschleunigt werden und erreicht dabei eine Geschwindigkeit von rund 13'000 km/h.
a) Wie gross wäre die mittlere Beschleunigung einer Sonde mit Ionenantrieb? Welche Strecke hätte sie nach 300 Tagen zurückgelegt?
b) Wäre der Ionenantrieb auch interessant für Autos? Wie lang bräuchte ein solches Auto für die Beschleunigung von 0 auf 100 km/h?
Aufgabe 25: Auf einem Rangierbahnhof werden die Güterwagen der ankommenden Züge neu zusammengestellt. Dazu schiebt man die Wagen auf einen Rangierhügel und lässt die Wagen aus dem Stillstand auf der 50 m langen schiefen Ebene einzeln hinunterrollen. Am Ende des Rangierhügels werden dann die Wagen auf die verschiedenen Geleise verteilt.
a) Wie gross ist die Beschleunigung der Güterwagen, wenn sie in 5.0 s die ersten 3.5 m zurücklegen? Welche Geschwindigkeit haben die Wagen nach 5.0 s?
b) Nach welcher Zeit und mit welcher Geschwindigkeit erreichen die Güterwagen das Ende des Rangierhügels?
Aufgabe 26: Eine MD-11 braucht eine Geschwindig- keit von etwa 360 km/h, um von der Piste ab- heben zu können. Die Startbeschleunigung bei voller Beladung beträgt 2.9 m/s2. Kann die
MD-11 auf einer Piste starten, die 1.5 km lang ist?
Aufgabe 27: Eine Motorradfahrerin muss bei einem Rotlicht warten. Sobald die Ampel auf Grün
geschaltet hat, startet sie mit einer Beschleunigung von 4.5 m/s2. Wie viel Zeit benötigt sie für die ersten 20 m, und wie gross ist dann ihre Geschwindigkeit? Mit welcher mittleren
Geschwindigkeit hat sie die ersten 20 m zurückgelegt?
Aufgabe 28: 2001 hat Simon Ammann (Doppelolympiasieger im Skispringen von Salt Lake City) auf der Titlis-Schanze in Engelberg mit der Flugweite 137 m einen neuen Schanzenrekord auf- gestellt. Dabei erreichte er mit der Anlauflänge 120 m die Absprunggeschwindigkeit 90 km/h.
Aufgabe 29: Das Space-Shuttle steigt in der ersten Sekunde nach dem Start rund 2.5 m. Nehme zur Vereinfachung an, dass der Start der Raumfähre gleichmässig beschleunigt verlaufe und vernachlässige den Luftwiderstand.
a) Wie gross ist die Anfangs- beschleunigung der Raumfähre?
b) Welche Strecke legt das Space-Shuttle in der 10. Sekunde respektive in der 100. Sekunde nach dem Start zurück?
c) Nach welcher Zeit erreicht der Shuttle die notwendige Endgeschwindigkeit von 7.9 km/s?
d) Weshalb ist der Start der Raumfähre in Wirklichkeit nicht gleichmässig beschleunigt?
Aufgabe 30: Eine Autofahrerin fährt innerorts mit 50 km/h und beschleunigt dann gleichmässig mit 3.5 m/s2 auf 80 km/h. Wie viel Zeit braucht sie für die Beschleunigung von 50 km/h auf 80 km/h?
Aufgabe 31: Auf einer leicht abfallenden Strasse hat ein Autofahrer sein Auto parkiert und dabei weder einen Gang eingelegt noch die Handbremse angezogen. Deshalb kommt das Auto ganz langsam ins Rollen und wird in jeder Sekunde um 4.8 cm/s schneller.
a) Welche Geschwindigkeit hat das Auto nach 10 s, und welchen Weg hat es dann zurückgelegt?
b) Nach welcher Zeit hätte das Auto die Geschwindigkeit 5.0 km/h, und welchen Weg hätte es dann zurückgelegt, wenn der Fahrer nicht reagiert und das Auto vorher stoppt?
Aufgabe 32: Hans fährt auf seinem Fahrrad mit der konstanten Geschwindigkeit 3.0 m/s an Anna vorbei, die mit dem Motorrad auf ihn wartet. Nach 3.0 s startet sie in der gleichen Richtung mit der konstanten Beschleunigung 4.0 m/s2.
a) Nach welcher Zeit wird sie Hans einholen?
b) Nach welcher Strecke wird sie Hans einholen?
c) Mit welcher Geschwindigkeit wird sie an Hans vorbeifahren?
Aufgabe 33: Giorgio ist mit dem Fahrrad mit der konstanten Geschwindigkeit 5.0 m/s unterwegs.
Da sieht er – 25 m vor sich – Petra, die konstant 4.5 m/s fährt.
a) Wie lang braucht Giorgio, um Petra einzuholen?
b) Beim nächsten Rotlicht müssen beide warten. Bei Grün beschleunigt Giorgio mit 5.0 m/s2, Petra mit 4.5 m/s2. Wie lang dauert es, bis Giorgio 25 m Vorsprung hat?
5. Zusammenfassung
Steigung und Fläche
ruhender Körper gleichförmige Bewegung (mit s0 = 0)
gleichmässig beschleunigt (mit s0 = 0 und v0 = 0)
Weg-Zeit-Gesetz s = s0 s = v·t s = ⋅ ⋅ 212 a t
Geschwindigkeits-Zeit- Gesetz
v = 0 v = konstant ≠ 0 v = a·t
Beschleunigungs-Zeit- Gesetz
a = 0 a = 0 a = konstant ≠ 0
Die Steigung
Die Steigung der Funktion s(t) (s-t-Diagram) ist die Geschwindigkeit.
Die Steigung der Funktion v(t) (v-t-Diagram) ist die Beschleunigung.
Die Fläche unter der Kurve
Die Fläche unter der Funktion v(t) (v-t-Diagram) ist die Strecke s.
Die Fläche unter der Funktion a(t) (a-t-Diagram) ist die Geschwindigkeit v.
Diagramme
Aufgabe 34: Das dargestellte Diagramm ist nicht vollständig beschriftet. Es kann sowohl ein Weg-Zeit-Diagramm als auch ein Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm einer Bewegung darstellen.
a) Beschreibe den Bewegungsablauf, wenn die Grafik ein Weg-Zeit-Diagramm darstellt.
b Beschreibe den Bewegungsablauf, wenn die Grafik ein Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm darstellt.
Aufgabe 35: Bevor sich auf einer Autobahn ein Stau bildet, herrscht häufig stockender Kolonnenverkehr. Das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm zeigt eine Phase von diesem Stop-and-go-Verkehr.
a) Beschreibe die Bewegung in Worten.
b) Zeichne qualitativ die zugeordneten Weg-Zeit- und Beschleunigungs-Zeit-Diagramme.
Aufgabe 36: Auf einem alten Militärflugplatz testet Familie Kuhn ihren neuen Sportwagen. In den ersten 9.0 s beschleunigen sie von 0 auf 130 km/h. Diese Geschwindigkeit halten sie für 4.0 s, um anschliessend in 12 s wieder auf null abzubremsen. Sowohl die Beschleunigung als auch das Abbremsen werden als gleichmässig angenommen.
a) Wie sieht das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm der Bewegung quantitativ aus?
b) Zeichne das dazugehörende Beschleunigungs-Zeit-Diagramm.
c) Wie lang muss die Piste für diese Fahrt mindestens sein? Beantworte diese Frage, indem du das Weg-Zeit-Diagramm aufzeichnest.
Aufgabe 37: Beim Kauf eines Autos ist – für gewisse Käufer – oft die maximale Beschleunigung von 0 auf 100 km/h ein wichtiges Kriterium für oder gegen ein bestimmtes Automodell. Seltener wird nach dem Bremsverhalten gefragt. Das
Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm zeigt vereinfacht das Beschleunigungs- und Bremsverhalten von verschiedenen Autos.
a) Welche Eigenschaft der vier Geraden gibt die Beschleunigung an?
b) Welche Beschleunigungen ergeben sich aus dem Diagramm?
c) Wie viel Zeit benötigen g und h, um aus dem Stillstand auf 100 km/h zu beschleunigen?
d) Wie gross ist die Bremsstrecke von k und l bei einer Geschwindigkeit von 100 km/h?
e) Wie unterscheiden sich die vier Modelle technisch?
Gleichmässig beschleunigte Bewegung beim Verlangsamen
Aufgabe 38: Nach einem Verkehrsunfall wurde eine 14 m lange Bremsspur gemessen. Der Sach- verständige, der den Unfallhergang untersuchte, ging von einer Bremsverzögerung von –6.8 m/s2 aus. Hatte der Lenker die zulässige Höchstgeschwindigkeit von 50 km/h eingehalten?
Aufgabe 39: Ein Flugzeug setzt auf der Landebahn auf und kommt dann innert 30 s auf einer Strecke von 1200 m zum Stillstand.
a) Wie gross war die mittlere Bremsverzögerung?
b) Welche Geschwindigkeit hatte das Flugzeug unmittelbar nach dem Aufsetzen?
Aufgabe 40: Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt aus dem technischen Datenblatt des Bodensee-Kursschiffs „MS Thurgau“. Wie viele Sekunden benötigt das beladene Schiff, um von der Höchstgeschwindigkeit bis zum Stillstand abzubremsen? Gehe von einer gleichmässig verzögerten Bewegung aus.
Aufgabe 41: Im Rahmen der Ausbildung für die F/A-18 Kampfflugzeuge durften (oder mussten) zwei Schweizer
Militärpiloten Starts und Landungen auf einem der modernsten Flugzeugträger üben. Auf einem Flugzeugträger werden die Flugzeuge beim Start mit einem Katapult in 2.1 s auf die Abfluggeschwindigkeit 300 km/h beschleunigt, bei der Landung mit einem Fangseil auf einer Strecke von nur 50 m von 300 km/h bis zum Stillstand abgebremst.
a) Wie gross sind die Beschleunigung und die Beschleunigungsstrecke beim Start?
b) Wie gross ist die Bremsverzögerung? Wie lang dauert die Landung?
Aufgabe 42: Diese Regel lernst du kennen, wenn du dich auf die theoretische Fahrprüfung vorbereitest. Von welcher Bremsverzögerung (d.h. Bremsbeschleunigung) wird bei dieser Regel ausgegangen? Vernachlässige die Reaktionszeit des Fahrers.
Aufgabe 43: In den aktuellen Verkehrsmeldungen hörst du, dass mit Bodennebel und einer maximalen Sichtweite von 50 m zu rechnen ist. Ist es unter diesen Um-
ständen zu verantworten, mit 50 km/h zu fahren? Gehe von einer Reaktionszeit von 0.8 s und einer Bremsverzögerung von –4 m/s2 aus.
Aufgabe 44: Du bist zu einer Ferienreise in den Süden aufgebrochen und fährst mit 80 km/h über die Axenstrasse entlang dem Vierwaldstättersees. Plötzlich stellst du fest, dass in 100 m Entfer- nung Felsbrocken auf der Fahrbahn liegen. Bis du reagierst und zu bremsen beginnst, verstreicht eine Sekunde, dann bremst du scharf ab. Da dein Auto mit ABS ausgerüstet ist, erreichst du dabei eine Bremsverzögerung von –6.0 m/s2. Gelingt es dir, noch vor den
Aufgabe 45: Ein kleines Spielzeugauto wird eine Unterführungsrampe hinuntergelassen und fährt während 12 s in der waagrechten Unterführung weiter, bis es zum Stehen kommt. Gehe davon aus, dass das Auto auf der Rampe gleichmässig mit 8.0 cm/s2 beschleunigt und in der Unterführung wegen der Reibung gleichmässig verzögert mit –6.0 cm/s2.
a) Wie lange dauert die ganze Fahrt?
b) Wie lang ist die Rampe?
Aufgabe 46: Wie lange braucht der Trolleybus der Linie 31, um vom Hegibachplatz zur 300 m entfernten Haltestelle Signaustrasse zu gelangen? Die Anfahrbeschleunigung des Busses betrage 1.5 m/s2, die Bremsverzögerung betrage –1.0 m/s2 und die Geschwindigkeit während der gleichförmigen Fahrt sei 12 m/s. Tipp: Beantworte der Reihe nach, folgende Teilfragen.
a) Wie lange wird beschleunigt?
b) Wie lange wird gebremst?
c) Wie lang ist die Strecke, die der Bus mit konstanter Geschwindigkeit zurücklegt?
d) Wie lange dauert die ganze Fahrt?
e) Wie sähe der Eintrag auf dem Fahrtenschreiber (Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm) für diese Fahrt aus?
Gleichmässig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit
Aufgabe 47: Die seit längerer Zeit geplante Schnellbahn „Swiss-Metro“ soll Reisende mit 500 km/h durch einen luftleer gepumpten Tunnel von St. Gallen nach Genf befördern können. Die Züge fahren mit einer mittleren Beschleunigung von 0.50 m/s2 an und bremsen mit –0.60 m/s2 ab.
a) Wie viele Kilometer vor dem Genfer Bahnhof muss der Lokführer die Bremse einschalten?
b) Wie viele Sekunden braucht der Zug für die ersten 10 km des Bremsweges?
c) Berechne die Fahrzeit für die Strecke Genf–St. Gallen (370 km) unter Berücksichtigung des Anfahr- und des Abbremsvorgangs.
Aufgabe 48: Die S12 startet um 11:21 in Stadelhofen und fährt Richtung Stettbach. Um welche Uhrzeit erreicht sie diesen Bahnhof, wenn sie in 30 s gleichmässig auf 108 km/h beschleunigt und 600 m vor Stettbach gleichmässig zu bremsen beginnt? Die Distanz zwischen beiden Stationen beträgt 4950 m. Tipp für den Einstieg: Stelle die Bewegung der S12 qualitativ in einem v-t-Diagramm dar und berechne die Teilabschnitte getrennt.
Aufgabe 49: Ein Schnellzug fährt mit 126 km/h auf der Strecke Zürich–Bern. Wegen Bauarbeiten für die Bahn 2000 muss die Geschwindigkeit über eine Strecke von 1.3 km auf 18 km/h reduziert werden. Um wie viel verlängert sich die Reisezeit, wenn der Schnellzug vor der Baustelle konstant mit –0.60 m/s2 abbremst und danach wieder mit 0.50 m/s2 beschleunigt?
Aufgabe 50: Eine Zugskomposition der Zürcher S-Bahn fährt mit 90 km/h und beschleunigt dann gleichmässig. Dabei legt sie in 2.5 s eine Strecke von 55 m zurück. Wie gross ist die Beschleunigung?
6. Der freie Fall
Der Fall ist die Bewegung eines Körpers, der über dem Boden losgelassen wird und sich auf das ………. der Erde zu bewegt.
Beim freien Fall wird der ……… vernachlässigt. Diese Annahme ist sinnvoll, wenn der Luftwiderstand klein ist, d.h. ………
Oberfläche, ……… Dichte und ……… Geschwindigkeit.
Der freie Fall wird durch die ……… verursacht.
Messung der Fallbeschleunigung: Damit wir den Luftwiderstand nicht berücksichtigen müssen, verwenden wir eine Eisenkugel (kleine Oberfläche, grosse Dichte) und begnügen uns mit kleinen Fallhöhen (kleine Geschwindigkeit).
Wir messen die Höhe s = ……… und die Flugdauer t ……… . Der freie Fall ist eine ………
Bewegung aus dem Stillstand. Es gilt also: ………
Wir finden für die Fallbeschleunigung den Wert a = g = ……… m/s2 Der freie Fall ist eine gleichmässig beschleunigte Bewegung.
Die Fallbeschleunigung beträgt g ≈ ……… (auf der Erde).
Die Beschleunigung beim freien Fall ist ……… von der Masse.
Die Fallbeschleunigung ist jedoch nicht auf jedem Himmelskörper gleich gross:
Erde g = 9.81 m/s2 Mond g = 1.62 m/s2 Sonne g = 274.0 m/s2 Mars g = 3.74 m/s2 Venus g = 8.60 m/s2 Jupiter g = 24.53 m/s2 Die Fallbeschleunigung g ist ortsabhängig (geografische Breite, Höhe über Meer, etc.). Die Abweichungen sind jedoch klein:
Äquator g = 9.7803 m/s2 Nordpol g = 9.8322 m/s2 Zürich g = 9.8064790 m/s2 Jungfraujoch g = 9.7990073 m/s2
Übungen
Aufgabe 51: Wir bestimmen die Fallbeschleunigung mit einem Experiment. Dabei wird eine Kugel aus dem Stillstand fallen gelassen. Sie durchfällt die Strecke von 75 cm in 0.391 s. Wie gross sind Fallbeschleunigung und Endgeschwindigkeit, wenn sie aus dem Stillstand gestartet ist?
Aufgabe 52: Eine Bleikugel fällt 1.8 s frei. Wie gross ist die Fallhöhe? Welche Geschwindigkeit hat die Kugel am Ende?
Aufgabe 53: Ein Stein durchfällt die Höhe 1.8 m frei. Wie lange dauert die Fallzeit? Welche Endgeschwindigkeit erreicht der Stein?
Aufgabe 54: Du kennst sicherlich dieses Experiment: Ein Kollege hält einen Massstab bei der Markierung 30 cm (siehe Abbildung). Du selbst hältst Daumen und Zeigefinger bei der 0-cm-Marke – bereit zuzufassen und festzuhalten, sobald der Kollege den Massstab loslässt.
a) Erkläre, wie du aus diesem Versuch deine Reaktionszeit bestimmen kannst.
b) Du vermagst – als einer der ersten Werte im Experiment – den Massstab bei der Markierung 16.4 cm festzuhalten. Welche Reaktionszeit ergibt sich aus dieser Messung?
c) Nach etwas Training brauchst du nur noch halb so lange. Bei welcher Marke hältst du den Massstab nun?
Aufgabe 55: Um das Fallgesetz zu überprüfen, entscheidest du dich, von der 39 m hohen Kirchenfeldbrücke (Bern) aus einem Fall- experiment durchzuführen. Bevor du loslegst, berechnest du die Fallzeit nach dem Fallgesetz für den freien Fall.
a) Wie gross ist sie?
b) Mit welcher Geschwindigkeit würde ein Stein in die Aare plumpsen?
c) Bewaffnet mit Steinen und einer Stoppuhr betrittst du die Kirchenfeldbrücke. Doch das Experiment liefert nicht die erwartete Fallzeit! Sie ist stets etwas grösser als der berechnete Wert. Kannst du dir den Unterschied zwischen der Berechnung und dem Experiment erklären? Mit welcher Geschwindigkeit plumpst der Stein tatsächlich ins Wasser? Gib eine qualitative Antwort.
Aufgabe 56: Es ist immer wieder erstaunlich, wie Gleitschirmspringer elegant und scheinbar mühelos am Boden aufsetzen. Das war nicht immer so! Mit den alten, runden und
unlenkbaren Fallschirmen betrug die Aufsetzgeschwindigkeit noch gute 8.0 m/s. Kein Wunder, dass die Springer spezielle Landetechniken trainieren mussten. Zum Training sprangen sie aus
Aufgabe 57: Wir scheuen uns vor Fallbewegungen mehr als vor horizontalen Bewegungen.
Irgendwie haben wir mehr Angst davor, mit einem Auto von einer Brücke zu fallen, als damit in einen Baum zu rasen. Um sich der Gefahr im Strassenverkehr bewusst zu werden, lässt sich die horizontale Bewegung einmal als Fallbewegung vorstellen:
a) Ich rase mit meinem Auto mit 90 km/h in einen Baum. Wenn ich diese Geschwindigkeit beim Sturz von einer Brücke erreichen wollte, wie hoch müsste die Brücke sein?
b) Wie hoch wäre die Brücke vergleichsweise, wenn ich auf der Autostrasse mit 90 km/h in einen Lastwagen donnere, der mir mit derselben Geschwindigkeit entgegenfährt?
Aufgabe 58: Nebenstehendes Diagramm wurde bei einem Fallschirmabsprung aufgezeichnet. Es zeigt die Beschleunigung des Springers in Abhängigkeit von der Zeit. Da es sich um tat- sächliche Messwerte handelt, ist die Kurve nicht schön
glatt, sondern verrauscht, wie die Physiker zu sagen pflegen. Und doch lässt dieses Diagramm sehr viele Rückschlüsse auf die Fallbewegung des Springers zu.
a) Wann springt der Springer aus dem Flugzeug?
Wann öffnet er seinen Fallschirm und wann trifft er vermutlich auf den Boden auf? Versuche deine Aussagen anhand des Diagramms zu begründen.
b) Zwischen 200 s und 230 s ist die Beschleunigung im Mittel null. Was heisst das für die Bewegung des Fallschirmspringers?
Aufgabe 59: Wie schnell fällt ein Fallschirmspringer, bevor er den Fallschirm öffnet? 200 km/h? Oder noch mehr? Im Diagramm ist die Beschleunigung in
Abhängigkeit von der Zeit aufgetragen. Zur Zeit 177 s springt der Springer aus dem Flugzeug hinaus, seine vertikale Geschwindigkeit sei zu diesem Zeitpunkt noch null. 15 – 20 s später hat er die grösste
Geschwindigkeit erreicht. Wie gross ist sie etwa? Tipp:
Du kannst in einem Beschleunigungs-Zeit-Diagramm die Geschwindigkeit „geometrisch“ bestimmen.
