TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT DARMSTADT

Fahbereih Mathematik

MartinOtto

AhimBlumensath

TobiasLöw

A

TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT DARMSTADT

Sommersemester2006

Übung 

Formale Grundlagen der Informatik II

Aufgabe 

SeienφundψAL-Formeln. Wie kann man das Resolutionsverfahren benutzen, um zu überprüfen, ob (a) φunerfüllbar ist;

Lösung. ^j>Res^‡ˆK^ˆφ^ (K^ˆφ^bezeichnet die Klauselmenge zuφ.) (b) φerfüllbar ist;

Lösung. ^j¶Res^‡ˆK^ˆφ^

(c) φallgemeingültig ist;

Lösung. ^j>Res^‡ˆK^ˆ φ^

(d) φnicht allgemeingültig ist;

Lösung. ^j¶Res^‡ˆK^ˆ φ^

(e) φ^àψ;

Lösung. ^j>Res^‡ˆK^ˆφ^, ψ^

(f) eine endliche MengeΦvon AL-Formeln unerfüllbar ist;

Lösung. ^j>Res^‡ˆK^ˆΦ^

(g) eine unendliche MengeΦvon AL-Formeln unerfüllbar ist?

Lösung. ^j>Res^‡ˆK^ˆΦ^für ein endlichesΦ^bΦ.

Aufgabe  Seien

φ ^ˆp^- q^,ˆ p^-q^-r^,ˆ p^- q^

ψ ^ˆ p^, q^-ˆ p^,q^,r^-ˆp^, q^,r^-ˆp^,q^, r^. Zeigen Sie mit Hilfe des Resolutionsverfahrens, daß

(a) φerfüllbar ist;

Lösung.

Res^ˆK^{ ™˜}p, q^, ^˜ p,q,r^, ^˜ p, q^ž

Res^ˆK^ Res^ˆK^8™˜ q^, ^˜q, q,r^, ^˜p, p,r^, ^˜ p,r^ž

Res^ˆK^ Res^ˆK^8™˜ q,r^, ^˜p, q,r^, ^˜ p, q,r^, ^˜p,q,r^ž

Res^ˆK^ Res^ˆK^8™˜p,r^ž

Res^ˆK^ Res^ˆK^ (b) φ^àψgilt .

Lösung. Klauseln:^˜p, q^, ^˜ p,q,r^, ^˜ p, q^, ^˜p,q^, ^˜p, q, r^, ^˜ p,q, r^, ^˜ p, q,r^

˜ p,q, r^{ ˜} p,q,r^{ ˜} p, q^{ ˜}p, q^{ ˜}p,q^

˜ p,q^{ ˜}p^

˜ p^

j

Aufgabe 

Machen Sie sich mit Hilfe der Klauselmenge

™˜p,q,r^, ^˜ p, q,r^, ^˜ r^ž

klar, warum das Resolutionsverfahren nicht funktioniert, wenn man erlaubt, in einem Schritt mehrere Literale zu eliminieren, d. h.

für L,L^œ>C und L,L^œ>C die Klausel C ^ˆC^˜L,L^œ8ˆC^˜L,L^œ zu bilden.

Lösung. Mit dem modifizierten Verfahren läßt sich die leere Klausel ableiten, aber die Klauselmenge ist erfüllbar, z. B.J^ˆp^ ,J^ˆq^ ,J^ˆr^ .