Zeigen Sie: Die Folge (um) konvergiert inV gegen ein u∈V und u ist die eindeutige L¨osung von A(u) =f inV0

TU Wien SS 2009 Institute for Analysis and Scientific Computing

Prof. A. Arnold, Dipl.-Math. J. Sprenger

5. ¨Ubungsblatt zur Vorlesung “Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen”

(Galerkinmethode, parabolische Gleichungen) 1. Aufgabe

Seien V ein reflexiver Banachraum, (v_k)k∈N Basis von V, f ∈V⁰ und A :V →V⁰ ein beschr¨ankter und streng monotoner Operator vom Typ M. Weiter seiu_m ∈V_m eine L¨osung von

hA(u_m), v_ki_V⁰ =hf, v_ki_V⁰, k = 1, . . . , m,

wobei V_m = span{v₁, . . . , v_m}, m∈N, und es gebe eine Konstante C >0, so dass kumkV ≤C f¨ur allem ∈N.

Zeigen Sie: Die Folge (u_m) konvergiert inV gegen ein u∈V und u ist die eindeutige L¨osung von A(u) =f inV⁰.

2. Aufgabe

Sei Ω⊂Rⁿ ein beschr¨anktes Gebiet mit glattem Rand. Betrachten Sie f¨uru0 ∈L²(Ω) die Gleichung

ut−∆u = f(x, t) in Ω×(0,∞), u(t) = 0 auf ∂Ω, t ≥0 u(t= 0) = u₀ in Ω.

Es gelte f ∈L^∞(Ω×[0, T]) f¨ur alle T ≥0 und es gebe ein τ >0 mit f(x, t+τ) =f(x, t) f¨ur alle x∈Ω, t≥0 (d.h. f ist τ-periodisch).

Zeigen sie, dass es einen eindeutigen Anfangswert u0 ∈L²(Ω) gibt, so dass die zugeh¨orige L¨osung τ-periodisch ist.

Hinweis: Untersuchen sie die AbbildungA:u07→u(τ) auf Kontraktivit¨at.

3. Aufgabe

Seien V =H₀¹(Ω), H =L²(Ω) und u∈L²(0, T;V) mit u⁰ ∈L²(0, T;V⁰) eine schwache L¨osung von

ut−∆u = f(u) in Ω, t >0 u = 0 auf ∂Ω, t≥0 u(0) = u₀ in Ω

Die Funktion f sei lipschitzstetig in R mit Lipschitzkonstante L >0 und u₀ ∈L²(Ω).

Zeigen Sie:

kuk_L²_(Ω) ≤ ku₀k_L²_(Ω)e^Lt, t >0.

4. Aufgabe

Sei Ω⊂Rⁿ ein beschr¨anktes Gebiet mit glattem Rand. Sei X :=C([0, T];L²(Ω)), A:X →X, v 7→umit

u_t−∆u = f(v) in Ω×(0, T] u(0) = u₀

u = 0 auf ∂Ω×[0, T]

Die Funktion f sei Lipschitzstetig. Zeigen sie, dass Aⁿ kontraktiv ist f¨ur n=n(T) hinreichend groß.

Besprechung in der ¨Ubung am 30.04.