Mechanik 4
Übungsaufgaben
Professor Dr.-Ing. habil. Jörg Schröder Universität Duisburg-Essen, Standort Essen Fachbereich 10 - Bauwesen
Institut für Mechanik
Die Bewegung eines Massenpunktes wird durch die Funktion x(t) = A cos (ωt)
dargestellt. Bestimmen Sie die materiellen Zeitableitungen x&(t) und x&&(t) und die Funktion der kinetischen Energie T(t), und skizzieren Sie die Ergebnisse!
Aufgabe 2
Addieren Sie die Schwingungen
xa(t) = 5 cos (3t), xb(t) = 10 cos (2t) und stellen Sie die entstehende Funktion graphisch dar!
Aufgabe 3
Gegeben ist das skizzierte, ebene System mit masselosen Stäben und einer Punktmasse m. Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenz des Systems
a) für waagerechte Schwingungen b) für senkrechte Schwingungen der Punktmasse!
Gegeben:
l = 2,0 m m = 500 kg EA = 2,5 · 105 kN EJ = 1,6 · 105 kNm2
Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenz für freie Schwingungen des ebenen Systems. Alle Stäbe sind masselos.
Aufgabe 5
Ein dünner Kreisring (Masse m, Radius r) ist wie skizziert an drei masselosen Fäden (Längen l) so aufgehängt, daß die Kreisebene horizontal liegt. Wie groß ist die Eigenkreis- frequenz kleiner Drehschwingungen um die vertikale Achse durch die Ringmitte?
Perspektivische Darstellung
Gegeben:
EJ = 2 · 109 Ncm2 m = 100 kg
Für den skizzierten Kragträger mit der Punktmasse m berechne man die Eigenkreisfre- quenz für Biegeschwingungen unter Vernachlässigung der Kragträgermasse. Man bestim- me die Auslenkung und die Geschwindigkeit der Punktmasse als Funktion der Zeit und skizziere beide Funktionen.
Aufgabe 7
Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenz des dargestellten, ebenen Systems. Die Drehach- se der homogenen Kreisscheibe (Radius r, Masse mA) ist federnd gelagert (Federkonstan- te cF). Das masselose und dehnstarre Seil liegt fest auf der Scheibe, ohne zu rutschen.
Gegeben:
x(0) = 0 m
x&(0) = 2 m/s
EJ = 8 · 105 Nm2 l = 2,0 m
Gegeben:
mB = 0,3 mA
Ermitteln Sie die Eigenkreisfrequenz des skizzierten Systems unter Vernachlässigung der Trägermasse!
Aufgabe 9
Gegeben ist das skizzierte, zunächst in Ruhe befindliche System aus einem homogenen starren Stab (Masse mA) und einer Punktmasse mB. Bestimmen Sie die Eigenkreisfre- quenz des Systems und die Amplitude für eine gegebene, horizontale Anfangsgeschwin- digkeit v0! Bei welchem Abstand l sind keine Schwingungen möglich?
Gegeben:
EJ, l, cF, m
Gegeben:
mA = mB = m cF =
L mg cM = mgL v0, l, L
Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenz für das gegebene System aus einem homogenen, starren Stab (Masse mA, Länge l) und einer Punktmasse mB!
Aufgabe 11
Gegeben ist das skizzierte System aus drei homogenen, starren Stäben. Bestimmen Sie für kleine Schwingungen die Eigenkreisfrequenz ω und die Amplitude!
Gegeben:
mA, mB, l a, cF, cM
Gegeben:
mA = mB = mC = m l, cF
Anfangsbedingungen:
x(0) = x0
x&(0) = x0 ω0
Gegeben ist das skizzierte System aus einem homogenen, starren Stab (Masse mA) und einer Punktmasse mB. Der Stab wird an seinem rechten Ende um 4,5 cm aus seiner Ruhe- lage ausgelenkt und dann sich selbst überlassen. Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenz, die maximale Winkelgeschwindigkeit, die maximale Winkelbeschleunigung und die maxi- male kinetische Energie!
Aufgabe 13
Ein masseloser, elastischer Stab (Biegesteifigkeit EJ) ist an seinen Enden wie skizziert federnd gelagert (Federkonstante cF). Im Drittelspunkt des Stabes befindet sich eine Punktmasse m. Bestimmen Sie die Schwingungsdauer T des Systems für kleine vertikale Schwingungen!
Gegeben:
mA = 46 kg mB = 44 kg
c1 = 3,5 · 104 N/m c2 = 2,1 · 104 N/m
Gegeben:
m, EJ, cF, l
Ein Körper (Masse mA) ist wie skizziert durch zwei elastische Stäbe und eine Normalkraft- feder (Federkonstante cF) gestützt. Auf diesen Körper fällt aus der Höhe h eine Punktmas- se mB und bleibt dort liegen. Bestimmen Sie Eigenkreisfrequenz und Amplitude der entste- henden Schwingung bei Vernachlässigung der Stab- und Federmassen!
Aufgabe 15
Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenz des skizzierten, ebenen Systems! Die Stab- und Federmassen sollen vernachlässigbar klein sein.
Gegeben:
EJ, l, cF, h mA : mB = 10 : 1
Gegeben:
G = 30 kN
E = 2,1 · 105 N/mm2 J = 476 cm4
l = 100 cm cF = 3 · 103 N/mm
