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CM AM AM M MM M MM M M = = b a MC = CM a a b a a b b !AB b MC MC ! !

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Academic year: 2021

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(1)

Dr.  Reimund  Albers     Sommersemester  2013  

Mathematisches  Denken  und  Lehren  2  

5. Übung

Flächenverwandlung, Arbelos Präsenzübungen  (für  Mo  13.5./Do  16.5.)  

 

1. Flächenverwandlung   Begründen  Sie,  warum  das   Rechteck  CDEF  flächengleich  ist   zum  Rechteck  CGHI.  

a. Gegeben  ist  ein  Rechteck  mit   den  Kantenlängen  4  cm  und   5  cm.  Verwandeln  Sie  es  in  ein   flächengleiches  Rechteck,   dessen  eine  Seite  7  cm  ist.  

Verwenden  Sie  dabei  die  hier  

vorgestellte  Konstruktion.  Beschreiben  Sie  die  Schritte  Ihrer  Konstruktion.  

 

Hausübungen  (Abgabe:  Fr,  17.5.)    

2. Längenberechnung  im  Arbelos   a. Bestimmen  Sie  die  Längen  der  

angegebenen  Teilstrecken  in   Abhängigkeit  von  den  Radien  

AM

a

= a  und   CM

b

= b .   M

a

M  ,   MC  ,   MM

b

 .   b. Nun  wird  die  Bedingung  

!

! MC = CM

b

 vorgegeben.  

Wir  nennen  nun  die  Länge  von  

!AB      d.  

Berechnen  Sie  die  Längen  von   AM

a

 ,   M

a

M  ,   MC  ,   MM

b

 in   Abhängigkeit  von  d.  

 

   

(2)

3. Variation  des  Satzes  von  Pythagoras  

Sie  kennen  den  Satz  von  Pythagoras,  bei  dem   über  den  beiden  Katheten  und  der  Hypotenuse   Quadrate  gezeichnet  werden.  

Nun  werden  über  den  Seiten  des  

rechtwinkligen  Dreiecks  Halbkreise  gezeichnet.  

Es  gilt:  

„Die  Summe  der  beiden  Halbkreisflächen  über   den  Katheten  ist  gleich  der  Halbkreisfläche   über  der  Hypotenuse.“  

Weisen  Sie  das  nach,  wobei  Sie  den  

Zusammenhang   ! !a

2

+ b

2

= c

2

 voraussetzen  und  verwenden  können.  

 

4. Flächenberechnung  

Zu  einem  gleichseitigen  Dreieck  mit  der  Kanten-­‐

länge  a  werden  wie  in  der  Abbildung  dargestellt   Kreisbögen  von  Ecke  zu  Ecke  gezogen.  Der  Mittel-­‐

punkt  ist  jeweils  die  gegenüberliegende  Dreiecks-­‐

ecke.  

Berechnen  Sie          a.  den  Umfang  und          b.  den  Flächeninhalt  

des  von  den  Kreisbögen  begrenzten  Flächenstücks.  

     c.  Berechnen  Sie  mit  Hilfe  Ihrer  Endergebnisse  für  a  =  5  cm  den  Umfang  und  den   Flächeninhalt  und  beurteilen  Sie,  ob  die  erhaltenen  Ergebnisse  richtig  sein  können.  

Verwenden  Sie  die  Formel  

Flächeninhalt  des  gleichseitigen  Dreiecks  mit  der  Kantenlänge  a:      

5. Aufgabe zum räumlichen Vorstellungsvermögen

Versuchen  Sie,  diese  Aufgabe  nach  Möglichkeit  nur  in  Ihrer  Vorstellung  zu  lösen.  Wenn  das   nicht  geht  oder  Sie  unsicher  sind,  bleibt  immer  noch  die  Möglichkeit,  ein  Modell  aus  Papier   auszuschneiden  und  es  auszuprobieren

Sie  sehen  hier  die  Abbildung  und  das   Netz  eines  Oktaeders.  

a. Welche  Kanten  stoßen  beim   Zusammenbauen  des  Netzes   zusammen?  

b. Welche  Flächen  liegen  sich  nach   dem  Zusammenbauen  gegenüber?

A B

C

D

E F

G H

1 2

3 4

5 6

7

8 9

10

!

! A

= a

2

4 3

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