(ein Punkt) Nun wollen wir die Cauchy-Schwarz-Ungleichung dazu benutzen, die Unsch¨arfere- lation zu beweisen

Stand: 9. November 2009 9:00

Institut f ¨ur Theoretische Physik der Universit¨at Karlsruhe Prof. Dr. F.R. Klinkhamer, Dr. H. Sahlmann

Theoretische Physik E – Quantenmechanik II

Wintersemester 2009/2010

Ubungsblatt 4¨ Abgabe am 16.11.2009, 10:00

Name: Ubungsgruppe:¨ Punkte:

Aufgabe 7- Cauchy-Schwarz-Ungleichung (6 Punkte)

In dieser Aufgabe wollen wir die Cauchy-Schwarz-Ungleichung

|hu|vi|² ≤ hu|uihv|vi (1)

f ¨ur beliebige Vektorenu, veines Hilbert-Raumes(H,h·|·i)beweisen und eine wichtige Anwendung betrachten.

(a) Gegebenu, v im Hilbert-Raum(H,h·|·i), beweisen Sie (1). Hinweis: Betrachten Sie das NormquadrathΨ|Ψides VektorsΨ=u+λv, wobeiλ∈C, und bestimmen

Sieλso, dass dieses minimal wird. (2 Punkte)

(b) Zeigen Sie: Wenn in (1) Gleichheit gilt, dann folgt: Entweder einer der beiden Vektorenu, vist der Nullvektor, oder die Vektoren sind linear abh¨angig. (ein Punkt) Nun wollen wir die Cauchy-Schwarz-Ungleichung dazu benutzen, die Unsch¨arfere- lation zu beweisen. Gegeben seien dazu zwei hermitesche Operatoren A und B auf einem Hilbert-Raum (H,h·|·i), sowie ein beliebiger ZustandΨausH. Wir definieren auch noch die Operatoren

∆²A:= (A−hΨ|A|ΨiI)², ∆²B:= (B−hΨ|B|ΨiI)², (2) wobei wir mitIden Einheitsoperator bezeichnet haben.

(c) Zeigen Sie mithilfe der Cauchy-Schwarz-Ungleichung, dass

|hΨ|[A, B]|Ψi|² ≤4hΨ|∆²A|ΨihΨ|∆²B|Ψi. (3) Hinweis: Zeigen Sie (3) zun¨achst f ¨ur den Fall, dasshΨ|A|Ψi=hΨ|B|Ψi=0und f ¨uhren Sie den allgemeineren Fall dann auf diesen speziellen zur ¨uck. (2 Punkte) (d) Zeigen Sie, dass die Heisenbergsche Unsch¨arferelation f ¨ur den Ort und den Im- puls eines Teilchens ein Spezialfall von (3) ist. (ein Punkt)

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Aufgabe 8- Einige Finger ¨ubungen aufl²(C)(5 Punkte)

Sei H⁰ der lineare Raum der endlichen komplexwertigen Linearkombinationen von Kets|ni,n ∈ N = {0, 1, 2, . . .}. Durchhm|ni = δ_m,n und lineare Fortsetzung auf Li- nearkombinationen wird auf diesem Raum ein Skalarprodukt definiert.

(a) Finden Sie eine Cauchy-Folge in diesem Raum, deren Grenzwert nicht inH⁰ ent- halten ist. Beweisen Sie ihre Aussage. (2 Punkte) Der Abschluss dieses Raumes ist ein Hilbert-RaumHder auch h¨aufig auch mitl²(C) bezeichnet wird. Seine Elemente sind (nicht notwendigerweise endliche) Linearkombi- nationen mit quadratsummierbaren Koeffizienten,

Ψ= X∞ n=0

α_n|ni,

X∞ n=0

|α_n|² <∞. (4)

Das Skalarprodukt wird genauso definiert wie oben f ¨urH⁰beschrieben. Wir betrachten den OperatoraaufH, definiert durcha|ni=√

n|n−1i.

(c) Berechnen Sie die Wirkung des adjungierten Operatorsa^†, sowie die der Opera-

torena^†aundaa^†. (ein Punkt)

(d) Jeweils mit Begr ¨undung: Sind die Operatorena,a^†, a^†a,aa^† invertierbar? Sind

sie hermitesch? Sind sie positiv? (2 Punkte)

Aufgabe 9- Funktionen hermitescher Operatoren (4 Punkte)

Gegeben sei ein hermitescher Operator A auf einem Hilbert-Raum(H,h·|·i), dessen Eigenvektoren eine Basis vonHbilden.

(a) Zeigen Sie, dassAⁿmitn∈Nwieder ein hermitescher Operator ist und dr ¨ucken Sie dessen Eigenwerte und Eigenvektoren durch die vonAaus. (ein Punkt) (b) F ¨ur eine Funktion f(x) = P_∞

n=0c_nxⁿ, analytisch auf ganz R, definieren Sie den Operator

f(A) = X∞ n=0

c_nAⁿ (5)

und dr ¨ucken Sie dessen Eigenwerte und Eigenvektoren durch die vonAaus. Hin- weis: Sie brauchen sich hier keine Gedanken dar ¨uber zu machen, in welchem Sin-

ne die Reihe (5) kovergiert. (ein Punkt)

(c) Zeigen Sie f ¨ur zwei analytische (auf ganzR) Funktionenf(x), g(x), dassf(A)g(A) = g(A)f(A) =fg(A). Machen Sie sich wiederum keine Gedanken ¨uber Konvergenz.

(ein Punkt)

(d) Bestimmen Sie den adjungierten Operator zuU_t := exp[itA], t ∈ R, berechnen SieU_tU_t⁰ und zeigen Sie, dass alleU_t,t∈R, unit¨ar sind. (ein Punkt)

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