¨Ubungsblatt Aufgabe 27: Leiten Sie die Gleichungen der linearen Akustik p

MATHEMATISCHESINSTITUT

PROF. DR. CHRISTIANEHELZEL

SINADAHM

28. NOVEMBER2019

Numerische Verfahren hyperbolischer Erhaltungsgleichungen – 8. ¨Ubungsblatt

Aufgabe 27: Leiten Sie die Gleichungen der linearen Akustik p˜

˜ u

t

+

u0 K0

1/ρ0 u0

˜ p

˜ u

x

= 0 aus dem linearisierten System (vgl. mit VL)

ρ˜

˜ ρu

t

+

0 1

−u²₀+P⁰(ρ0) 2u0

˜ ρ

˜ ρu

x

= 0 her.

Aufgabe 28: Bestimmen Sie f¨urt >0 die L¨osung f¨ur die Gleichungen der linearen Akustik p

u

t

+

0 K0

1/ρ₀ 0 p u

x

= 0 mit den Anfangsdaten

p(x,0) =

(1 : 1≤x≤2, 0 : sonst, u(x,0) = 0.

Aufgabe 29: Implementieren Sie den Godunov Algorithmus f¨ur die lineare Akustik, indem Sie (1) eine Funktion schreiben, die zu gegebenen Daten ql und qr die L¨osung des Riemann-Problems

berechnet und

(2) mit Hilfe dieser Funktion den numerischen Fluss in der FormF_i+1/2=AQ^↓_i+1/2 berechnet.

Testen Sie Ihr Programm an den Anfangsdaten aus Aufgabe 28 mit ρ0 = 1, K0 = 0.25 mit einer geeigneten Diskretisierung und Endzeitwahl. Nehmen Sie periodische Randwerte an.

Aufgabe 30:

(a) Zeigen Sie, dass f¨ur glatte L¨osungen das System aus Erhaltungsgleichungen

ρ_t+ (ρu)_x = 0,

(ρu)_t+ (ρu²+P(ρ))_x = 0,

(1) in das folgende System nichtlinearer Gleichungen f¨ur den Druck und die Geschwindigkeit:

p_t+up_x+ρP⁰(ρ)u_x = 0, u_t+ (1/ρ)p_x+uu_x = 0,

(2)

¨

uberf¨uhrt werden kann. Nehmen Sie dabei an, dass die Zustandsgleichung invertiert werden kann, um das System mit ρals Funktion von p zu vervollst¨andigen.

(b) Zeigen Sie, dass das nichtlineare System (2) hyperbolisch ist, falls P⁰(ρ) > 0 und dass es die gleichen charakteristischen Geschwindigkeiten wie das konservative System (1) hat.

Abgabe am 5. Dezember 2019 am Beginn der Vorlesung.

Besprechung in der ¨Ubung am 12. Dezember 2019.