Analysis II - Formelsammlung von Julian Merkert, Sommersemester 2005, Dr. Schmoeger •

Analysis II - Formelsammlung

von Julian Merkert, Sommersemester 2005, Dr. Schmoeger

• Dreiecksungleichungen und andere Standardsachen sind hier i.d.R nicht aufgeführt!

• Immer nachprüfen, ob Voraussetzungen erfüllt sind!

Skalarprodukt:x·y:=xy:=x1y1+...+xnyn

Norm:||x||:= (x·x)¹² = (x²₁+...+x²_n)¹² Abstand:||x−y||

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung:|x·y| ≤ ||x|| ||y||

∆-Ungleichung:||x+y|| ≤ ||x||+||y||

Bolzano-Weierstraÿ: Ist(a^(k))beschränkt, so enthält(a^(k))eine konvergente TF.

Cauchy-Kriterium:(a^(k))konvergent⇔ ∀ ε >0∃k0∈N:||a^(k)−a^(l)||< ε∀k, l≥k0

Grenzwerte bei Funktionen:

• Seiy0∈R^m.lim_x→x0f(x) =y0:⇔für jede Folge(x^(k))inD\ {x0} undx^(k)→x0 gilt:f(x^(k))→y0

In diesem Fall schreibt man:f(x)→y0 (x→x0)

• lim_x→x0f(x)existiert:⇔ ∃ y₀∈R^m: lim_x→x0f(x) =y₀

• Istf = (f1, ..., fm)undy0= (y1, ..., ym)∈R^m, so gilt:f(x)→y0 (x→x0)⇔fj(x)→yj (x→x0) (j= 1...m) Stetigkeit: Seix₀∈D. f heiÿt stetig inx₀⇔für jede Folge(x^(k))in D mitx^(k)→x₀ gilt:f(x^(k))→f(x₀)

Gleichmäÿige Stetigkeit: ∀ε >0 ∃δ >0 :||f(x)−f(y)||< ε∀ x, y∈D:||x−y||< δ

• D sei beschränkt und abgeschlossen und es seif ∈C(D,R^m)⇒f ist auf D glm stetig Lipschitzstetigkeit: ∃ L≥0 :||f(x)−f(y)|| ≤L||x−y|| ∀x, y∈D

Beschränktheit: ∃c≥0 :||f(x)|| ≤c ∀x∈D

Partielle Dierenzierbarkeit / part. Ableitung in x₀: ∃ lim_t→0^f(x0+tej_t^)−f(x0)= _∂x^∂f

j(x₀)und ist∈R.

Satz von Schwarz: Es seif ∈C²(D,R), x0∈D undj, k∈ {1, ..., n}. Dann:fx_jx_k(x0) =fx_kx_j(x0)

Jacobi- / Funktionalmatrix inx0: ^∂f_∂x(x0) :=^∂(f_∂(x^1,...,fm)

1,...,x_n) :=Jf(x0) :=







∂f1

∂x1(x₀) ... _∂x^∂f1

n(x₀)

... ...

∂f_m

∂x₁(x0) ... ^∂f_∂x^m

n(x0)







Dierenzierbarkeit inx0: ∃ (m×n)-Matrix A:lim_h→0^{f(x0+h)−f(x}_||h|| ^0)−Ah = 0

• f sei inx0db⇒f ist inx0partiell db und die Matrix A ist eindeutig bestimmt:A=Jf(x0), f⁰(x0) :=A=Jf(x0) (Ableitung von f inx0)

• Istf ∈C¹(D,R^m)⇒f ist auf D db.

Kettenregel: f sei inx₀∈Ddb,∅ 6=E⊆R^m. E sei oen,f(D)⊆Eundg:E→R^p sei db iny₀:=f(x₀). Dann ist g◦f :D→R^p db inx₀ und(g◦f)⁰(x₀) =g⁰(f(x₀))·f⁰(x₀)[Matrizenprodukt]

Verbindungsstrecke: Seiena, b∈Rⁿ, S[a, b] :={a+t(b−a) :t∈[0,1]}

Mittelwertsatz:f :D→Rsei db auf D, es seiena, b∈DundS[a, b]⊆D. Dann:

∃ξ∈S[a, b] :f(b)−f(a) =f⁰(ξ)(b−a)

Richtung / Richtungsvektor:a∈Rⁿ und||a||= 1

Di'barkeit in x₀ in Richtung a / Richtungsableitung: ∃ lim_t→0^{f(x0+ta)−f(x}_t ⁰⁾= ^∂f_∂a(x₀)und ist∈R

• f inx₀db⇒ ^∂f_∂a(x₀)existiert und ^∂f_∂a(x₀) =a·gradf(x₀) 1

Taylorpolynom:Tk((x, y); (x0, y0)) :=Pk i=0

((x−x₀,y−y₀)∇)⁽ⁱ⁾f(x₀,y₀) i!

• (h∇)^(k):=

h_1∂x^∂

1 +...+h_n∂x^∂

n

^k

, also insbesondere:

• (h∇)⁽⁰⁾f(x0) :=f(x0)

• (h∇)f(x0) =h·gradf(x0)

• (h∇)⁽²⁾f(x0) =Pn j=1

Pn

k=1hjhk·_∂x^∂2f

j∂x_k(x0)

• (h∇)⁽³⁾f(x0) =Pn j=1

Pn k=1

Pn

l=1hjhkhl· _∂x^∂3f

j∂xk∂xl(x0)

Der Satz von Taylor: Seik∈N, f ∈C^k+1(D,R), x0∈D, h∈Rⁿ undS[x0, x0+h]⊆D. Dann:f(x₀+h) =Pk

j=0

(h∇)^(j)f(x₀)

j! +^(h∇)_(k+1)!^k+1f(ξ), wobeiξ∈S[x₀, x₀+h]

Quadratische Form zu A:QA(x) :=x·(Ax)

Hesse-Matrix von f in x0:Hf(x0) :=











fx₁x₁(x0) · · · fx₁x_n(x0) fx₂x₁(x0) · · · fx₂x_n(x0)

... ...

fx_nx₁(x0) · · · fx_nx_n(x0)











Denitheit:

• A heiÿt positiv denit (pd):⇔QA(x)>0∀x∈Rⁿ\ {0}

• A heiÿt negativ denit (nd):⇔QA(x)<0∀ x∈Rⁿ\ {0}

• A heiÿt indenit (id):⇔ ∃n, r∈Rⁿ:Q_A(n)>0, Q_A(r)<0 Extremwerte: Sei D oen,f ∈C²(D,R)und gradf(x₀) = 0.

• IstH_f(x₀)pd⇒f hat inx₀ ein lokales Minimum.

• IstHf(x0)nd⇒f hat inx0ein lokales Maximum.

• IstHf(x0)id ⇒f hat inx0kein lokales Extremum.

Umkehrsatz: Sei∅ 6=D⊆Rⁿ, D sei oen,f ∈C¹(D,Rⁿ), x0∈D unddetf⁰(x0)6= 0. Dann existiert eine oene Umgebung U vonx0 und eine oene Umgebung V vonf(x0)mit:

(a) f ist auf U injektiv,f(U) =V unddetf⁰(x)6= 0 ∀x∈U

(b) Fürf⁻¹:V →U :f⁻¹ ist stetig db auf V und(f⁻¹)⁰(f(x)) =f⁰(x)⁻¹ ∀x∈U. Satz über implizit denierte Funktionen:

Sei(x₀, y₀)∈D, D oen,f(x₀, y₀) = 0,f ∈C¹(D,R^p)unddet^∂f_∂y(x₀, y₀)6= 0.

Dann existiert eine oene UmgebungU ⊆Rⁿ vonx₀ und genau eine Funktiong:U →R^p mit:

(1) (x, g(x))∈D ∀x∈U (2) g(x₀) =y₀

(3) f(x, g(x)) = 0∀x∈U (4) g∈C¹(U,R^p)

(5) det^∂f_∂y(x, g(x))6= 0∀x∈U (6) g⁰(x) =−_∂f

∂y(x, g(x))−1

∂f

∂x(x, g(x))∀x∈U Multiplikatorenregel von Lagrange:

f habe inx0∈D ein lokales Extremum unter der Nebenbedingungϕ= 0und es sei Rangϕ⁰(x0) =p. Dann existiert einλ0∈R^p :H⁰(x0, λ0) = 0. (λ0heiÿt ein Multiplikator)

• H ist fürx= (x1, .., xn)∈Dundλ= (λ1, ..., λp)∈R^p folgendermaÿen deniert:

H(x, λ) :=f(x) +λϕ(x) =f(x) +λ1ϕ1(x) +...+λpϕp(x) 2

Weg imRⁿ: Sei[a, b]⊆R.γ: [a, b]→Rⁿ stetig heiÿt Weg.

Weglängenfunktion zu γ:s(t) :=

L(γ|_[a,b]) :t∈(a, b]

0 :t=a

Länge von γ:L(γ) =Rb

a||γ⁰(t)||dt, fallsγein stetig dber Weg.

• Istsdie zuγ gehörende Weglängenfunktion, so ists∈C¹[a, b]unds⁰(t) =||γ⁰(t)|| ∀t∈[a, b]

γheiÿt glatt :⇔γist stetig db und||γ⁰(t)||>0∀t∈[a, b]

Wegintegral von f längsγ:R

γf(x)·dx:=R

γf1(x)dx1+...+fn(x)dxn :=Rb

a f1(γ(t))dγ1(t) +...+Rb

a fn(γ(t))dγn(t)

• γ stetig db⇒R

γf_j(x)dx_j =Rb

af_j(γ(t))γ⁰_j(t)dt(j= 1..n)undR

γf(x)·dx=Rb

af(γ(t))γ⁰(t)dt Integral bezüglich der Weglänge:R

γg(x)ds:=Rb

a g(γ(t))ds(t)

• γ stetig db⇒R

γg(x)ds=Rb

ag(γ(t))||γ⁰(t)||dt Stammfunktionen:

• f besitze auf G die SFϕ,γ sei ein stückw. stetig dber Weg⇒R

γf(x)·dx=ϕ(γ(b))−ϕ(γ(a))

• f besitze auf G die SFϕ⇒Ry0

x₀ f(x)·dx=ϕ(y0)−ϕ(x0)

• Sei G sternförmig undf ∈C¹(G,Rⁿ). Dann: f besitzt auf G eine SF⇔f erfüllt auf G die IB.

Integrabilitätsbedingungen: _∂x^∂fj_k =^∂f_∂x^k

j auf G(j = 1..n)

Sei∅ 6=M ⊆Rⁿ. M heiÿt sternförmig:⇔ ∃x₀∈M :S[x₀, x]⊆M ∀ x∈M Charakteristische Funktion:1A(x) :=

1, x∈A 0, x∈Rⁿ\A Triviale Fortsetzung:fA(x) :=

f(x) x∈A 0 x /∈A Lebesgueintegral von f über A:R

Af dx:=R

Af(x)dx:=R

Rⁿf_Adx

• SeiA⊆Rⁿ oen und beschränkt undf ∈C(A,R)sei beschränkt. Dann:f ∈L(A)

• A⊆Rⁿ sei abgeschlossen und beschränkt undf ∈C(A,R). Dann:f ∈L(A) Bezeichnungen:R^n+m=Rⁿ×R^m={(x, y) :x∈Rⁿ, y∈R^m}. SeiA⊆R^n+m.

• Füry∈R^m:Ay:={x∈Rⁿ: (x, y)∈A} ⊆Rⁿ

• Fürx∈Rⁿ :A_x:={y∈R^m: (x, y)∈A} ⊆R^m Kleiner Satz von Fubini:

A⊆R^n+msei beschränkt und oen (abgeschlossen) undf ∈C(A,R)sei beschränkt. Dann:

(1) Für jedes y∈R^mist die Funktionx7→f(x, y)lebesgueintegrierbar überAy

(2) Die Funktiony7→R

Ayf(x, y)dxist lebesgueintegrierbar überR^mundR

Af(x, y)d(x, y) =R

R^m

R

Ayf(x, y)dx dy (3) analog zu (1), (2): R

Af(x, y)d(x, y) =R

Rⁿ

R

Axf(x, y)dy dx Einfachheit bzgl. eines Faktors:

• SeiA⊆Rⁿ⁻¹×R (=Rⁿ).

A heiÿt einfach bezüglich des 1. Faktors(Rⁿ⁻¹) :⇔ ∀ x∈Rⁿ⁻¹ istA_x=∅oder ein Intervall inR.

• SeiA⊆R×Rⁿ⁻¹ (=Rⁿ).

A heiÿt einfach bezüglich des 2. Faktors(Rⁿ⁻¹) :⇔ ∀ y∈Rⁿ⁻¹ istAy=∅oder ein Intervall inR.

A⊆Rⁿ⁻¹×Rsei beschränkt und abgeschlossen und einfach bezüglich des 1. Faktors.B:=

x∈Rⁿ⁻¹:Ax6=∅ (1) ∀x∈B:A_xist ein beschränktes und abgeschlossenes Intervall in R.

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(2) ∀f ∈C(A,R) :R

Af(x, y)d(x, y) =R

B

R

A_xf(x, y)dy dx

A⊆R×Rⁿ⁻¹ sei beschränkt und abgeschlossen und einfach bezüglich des 2. Faktors.B:=

y∈Rⁿ⁻¹:Ay6=∅ (1) ∀y∈B :Ax ist ein beschränktes und abgeschlossenes Intervall inR.

(2) ∀f ∈C(A,R) :R

Af(x, y)d(x, y) =R

B

R

Ayf(x, y)dx dy n-dim. Volumen / Lebesguemaÿ von A:v_n(A) :=R

Rⁿ1_Adx=R

A1dx, falls A quadrierbar Quadrierbarkeit: A heiÿt quadrierbar (qb):⇔1A∈L(Rⁿ) (⇔1∈L(A))

• SeiA⊆Rⁿ beschränkt. Ist A oen oder abgeschlossen⇒A ist qb.

Prinzip von Cavalieri:

SeiA⊆Rⁿ×R=Rⁿ⁺¹={(x, z) :x∈Rⁿ, z∈R} beschränkt und abgeschlossen (also qb imRⁿ⁺¹). Dann:

(1) ∀z∈RistAz beschränkt und abgeschlossen (also qb imRⁿ) (2) v_n+1(A) =R

Rⁿv_n(A_z)dz Satz von Beppo Levi:

Sei(f_k)eine Folge imL(Rⁿ)mit f₁≤f₂≤f₃≤... aufRⁿ und(R

f_kdx)beschränkt.

f :Rⁿ→ ˜

Rsei deniert durchf(x) := lim_k→∞f_k(x). Dann:f ∈L(Rⁿ)undR

f dx= limR

fkdx(=R

(limfk(x)dx)) Satz von Lebesgue (Majorisierte Konvergenz):

SeiA⊆Rⁿ und(fk)eine Folge inL(A)und(fk)konvergiere f.ü. auf A punktweise gegenf :A→R˜ (1) IstF ∈L(A)und gilt|fk| ≤F auf A ∀ k∈N, so istf ∈L(A)undR

Af dx= limR

Afkdx (2) Ist A qb und existiert einM ≥0 mit(fk)≤M auf A ∀k∈N, so ist f ∈L(A)und

R

Af dx= limR

Af_kdx Satz von Fubini:

R^n+m=Rⁿ×R^m={(x, y) :x∈Rⁿ, y∈R^m}. Es seif ∈L(Rⁿ×R^m).

(1) ∃ Nullmenge N⊆R^m: für jedesy∈R^m\N istx7→f(x, y)lebesgueintegrierbar überRⁿ. (2) Mit F(y) :=

R

Rⁿf(x, y)dx fallsy∈R^m\N

0 fallsy∈N gilt:

F ∈L(R^m)undR

R^n+mf(x, y)d(x, y) =R

R^mF(y)dy Substitutionsregel:

SeiU ⊆Rⁿ oen und beschränkt.φ∈C¹(U,Rⁿ)sei auf U injektiv und lipschitzstetig. Es seiB:= ¯U (B ist beschränkt und abgeschlossen). Dann lässt sichφlipschitzstetig auf B fortsetzen und für A:=φ(B)gilt:

R

Af(x)dx=R

Bf(φ(z)) |detφ⁰(z)| dz∀f ∈C(A,R)

(A ist beschränkt und abgeschlossen, i.a. ist auf der Nullmenge∂U φ⁰ nicht erklärt) Polarkoordinaten (n=2)

r=||(x, y)||=p

x²+y² x=rcosϕ, y=rsinϕ (r≥0, ϕ∈[0,2π]) Φ(r, ϕ) := (rcosϕ, rsinϕ), det Φ⁰(r, ϕ) =r

Zylinderkoordinaten (n=3)

Φ(r, ϕ, z) := (rcosϕ, rsinϕ, z), det Φ⁰(r, ϕ, z) =r (r≥0, ϕ∈[0,2π], z∈R) Kugelkoordinaten (n=3)

r=||(x, y, z)||= (x²+y²+z²)¹² x=rcosϕsinϑ, y=rsinϕsinϑ, z =rcosϑ r≥0, ϕ∈[0,2π], ϑ∈[0, π]

Φ(r, ϕ, ϑ) = (rcosϕsinϑ, rsinϕsinϑ, rcosϑ), det Φ⁰(r, ϕ, ϑ) =−r²sinϑ

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