Analysis III - Übersicht Dierentialgleichungen

Analysis III - Übersicht Dierentialgleichungen

von Julian Merkert, Wintersemester 2005/06, Dr. Schmoeger

Dierentialgleichungen 1. Ordnung Systeme 1. Ordnung Dierentialgleichungen m-ter Ordnung

Allgemein:y⁰=f(x, y) Allgemein:y⁰ =f(x, y)

• y= (y1, ..., ym)undf = (f1, ..., fm)

Gewöhnliche DGL:F(x, y, y⁰, ..., y^(m)) = 0 Explizite DGL:y^(m)=f(x, y, y⁰, ..., y^(m−1))

Lineare DGL 1. Ordnung: y⁰=a(x)·y+s(x)

• Lösung von (H)y⁰=a(x)·y: y_h(x) =c·e^A(x)

• Spezielle Lösung: Variation der Konstanten mit Ansatz ys(x) =c(x)·e^A(x)

• Allgemeine Lösung der DGL:y=yh+ys

Lineares System: (S) y⁰ =A(x)y+b(x)

• A(x) := (ajk(x)), y= (y1, ..., ym)

• b(x) := (b1(x), ..., bm(x)), y:= (y1, ..., ym)

• L:={y:I→R^m:ylöst (H) auf I}

• Fundamentalsystem von (H)y⁰=A(x)y: y⁽¹⁾(x), ..., y^(m)(x)∈Llinear unabhängig

• Spezielle Lösung:

y_s(x) :=Y(x)R

(Y(x))⁻¹b(x)dx ys(x) =Pm

k=1

R Wk(x) W(x)dx

y^(k)(x)

Lineare DGL m-ter Ordnung: Ly=b(x)

• Ly :=y^(m)+a_m−1(x)y^(m−1)+...+a₁(x)y⁰+a₀(x)

• Lösung von (H)Ly= 0: fürm= 2mir Redukti- onsverfahren nach d'Alembert

• Spezielle Lösung:ys:=Pm k=1yk

R Wk(x) W(x) dx

• W(x) :=

y1(x) . . . ym(x) y⁰₁(x) . . . y_m⁰ (x)

... ...

y^(m−1)₁ (x) . . . ym^(m−1)(x)

Lineares System mit konstanten Koezienten:

(S) y⁰=Ay+b(x)

• FM von (H) y⁰ =Ay: e^xA

• Konkret: y^(j)(x) := e^λjxc^(j) mit c^(j) Eigenvektor zum Eigenwert λj vonAist FS

• Spezielle Lösung:

Ansatzys(x) =c1(x)y⁽¹⁾(x) +...+cm(x)y^(m)(x)

Lineare DGL m-ter Ordnung mit konst. Koe.:

• Ly:=y^(m)+a_m−1y^m−1+...+a1y⁰+a0y

• p(λ) :=λ^m+a_m−1λ^m−1+...+a1λ+a0

• λ0 sei eine q-fache Nullstelle von p. Dann sind e^λ0x, xe^λ0x, ..., x^q−1e^λ0x l.u. Lösungen von (H)

⇒ (komplexes) Fundamentalsystem von (H) durch Anwendung auf alle Nullstellen vonp, spe- zielle Lösung siehe Formelsammlung.

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DGL mit getrennten Veränderlichen:

y⁰=g(y)·f(x)

• Lösungsverfahren: Trennung der Veränderlichen

Eulersche DGL:

x^my^(m)+am−1x^m−1y^(m−1)+...+a1xy⁰+a0y=b(x)

• Lösung: Substituiere x = e^t und setze u(t) :=

y(e^t) =y(x), dies führt auf eine lineare DGL mit konstanten Koezienten⇒u^(m)+bm−1u^(m−1)+ ...+b1u⁰+b0u=b(e^t)

y⁰=fy x

• Setze u := _x^y, dies führt auf eine DGL mit ge- trennten Veränderlichen füru.

Bernoullische DGL: y⁰ =p(x)·y+q(x)·y^α= 0

• Dividiere durch y^α und setze u := y^1−α. Dies führt auf eine lineare DGL für u.

Exakte DGL: P(x, y)dx+Q(x, y)dy= 0

• (P, Q) muss eine Stammfunktion besitzen, nach- prüfen über Py =Qx

• Lösung: Stammfunktion F(P, Q) mit Fx = P, Fy = Q bestimmen und Gleichung F(x, y(x)) =cnachy(x)auösen

Riccatische DGL: y⁰+g(x)·y+h(x)·y²=k(x) 1. Seiy1eine bekannte Lösung der DGL. Setzez:=

1 y−y₁

2. Es gilt dann:z⁰ = (g(x) + 2·y1·h(x))·z+h(x), lineare DGL für z(*)

3. Allgemeine Lösung:y(x) =y₁(x) +_z(x)¹ , wobeiz die allgemeine Lösung von (*) durchläuft.

Exakte DGL mit Multiplikator:

(µP)dx+ (µQ)dy= 0

• µMultiplikator :⇔(µP)_y= (µQ)_x

• Hängt f := _Q¹(P_y −Q_x) nur von x ab, so ist µ(x) :=e^Rf(x)dxein Multiplikator

• Hängtf := _P¹(Py−Qx)nur vonyab, so istµ(y) :=

e^Rf(y)dy ein Multiplikator

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