Elementare Zahlentheorie - Formelsammlung von Julian Merkert, Skript Dr. Kühnlein

Elementare Zahlentheorie - Formelsammlung

von Julian Merkert, Skript Dr. Kühnlein

Teilbarkeit und Primzahlen

Aufbau des Zahlensystems

Natürliche Zahlen:N={1,2,3, ...}

Natürliche Zahlen mit Null:N0:=N∪ {0}

Konstruktion der ganzen Zahlen: betrachte Äquivalenzrelation(a, b)∼(c, d) :⇔a+d=c+bund setzeZ:=N²0/_∼ Multiplikation der ganzen Zahlen: Deniere(a−b)·(c−d) := (ac+bd)−(ad+bc)

Konstruktion der rationalen Zahlen: betrachte Äquivalenzrel.(z, n)∼(w, m) :⇔zm=wn, setzeQ:= (Z×N)/_∼ Konstruktion der reellen Zahlen:

1. Statte die rationalen Zahlen mit einer Abstandsfunktiond(x, y) :=|x−y|aus 2. Cauchy-Folge inQ:(xn)_n∈Nmit: ∀ n, m > N:|xn−xm|<_k¹

3. Grenzwerte aller rationalen Cauchy-Folgen mit dazunehmen⇒reelle ZahlenR

Teilbarkeit

Teiler vonn∈N:d∈N, falls eint∈Nexistiert mitd·t=n

Teilerfremdheit vonm, n∈N: 1 ist der einzige gemeinsame Teiler von nundm

Gröÿter gemeinsamer Teiler vonn, m∈N: gröÿtes Element der Menge aller gemeinsamen Teiler vonnundm Kleinstes gemeinsames Vielfaches vonn, m∈N: kleinstes Element der Menge aller Vielfachen vonnundm Hilfssatz (Euklidischer Algorithmus): Es seiena, b∈Ngegeben. Dann gibt esc, d∈Z, so dassac+bd=ggT(a, b). Euklidischer Algorithmus:

1. Setzea₀:=b, a₁:=a

2. Wählek1:= max{k∈N⁰|ka1≤a0} 3. Berechnea2:=a0−k1a1

4. Wiederhole 2. und 3. so lange, bisai= 0 ist.

Folgerung: Wenng=ggT(a, b)gilt, dann sind die natürlichen Zahlen ^a_g und _g^b teilerfremd.

Gekürzte Brüche: Jede rationale Zahl q lässt sich auf genau eine Art als q = ^q_n, z ∈ Z, n ∈ N schreiben, wobei entwederz= 0, n= 1gilt oder |z|undnteilerfremd sind.

Teilbarkeit im kommutativen RingR:a∈Rheiÿt Teiler von b∈R, falls einc∈R existiert, sodassb=c·a. Einheitengruppe:R^×={a∈R | ∃b∈R: a·b= 1}

Assoziiertheit zweier Elementea, b∈R: es existiert eine Einheite∈R^×, sodass b=a·e

Gröÿter gemeinsamer Teiler vona, b∈R(R kommutativ und nullteilerfrei):g ∈R mit g ist gemeinsamer Teiler und jeder gemeinsame Teiler vonaundbteilt auchg

Teilerfremdheit vona, b∈R: die einzigen gemeinsamen Teiler sind die Einheiten in R

Idealisierung: Wenn es eing∈Rgibt, sodass{ax+by |x, y∈R}=Rg:={rg|r∈R}gilt, dann istgein ggT von aundb

Ideal:I⊆Rmit...

(i) 0∈I

(ii) I ist unter Addition abgeschlossen (iii) ∀r∈R, i∈I: ri∈I

Hauptideal:I⊆R mit: es existiert eing∈R, so dassI=Rggilt Erzeuger vonI:gmit I=Rg

Hauptidealring: nullteilerfreier, kommutativer Ring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist Euklidischer Ring (bezüglichϕ:R→N0):R nullteilerfrei, kommutativ und es gelten:

(i) ϕ(r) = 0⇔r= 0

(ii) ∀a, b∈R, b6= 0gibt es ein c∈R, sodassϕ(a−bc)< ϕ(b)

Primzahlen

Primzahl: natürliche Zahlp >1, die sich nicht als Produkt zweier kleinerer natürlicher Zahlen schreiben lässt Menge der Primzahlen:P={n∈N|n >1 und ∀ d, t < n: d·t6=n}={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31, ...}

Primzahl (alternative Charakterisierung): natürliche Zahl n > 1 mit: für jedes Produkt a·b, a, b∈ Ngilt: n teiltab:⇔nteiltaodernteiltb

Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede natürliche Zahlnlässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben. Diese Darstellung ist eindeutig, wenn die Primfaktoren der Gröÿe nach sortiert werden.

p-adische Bewertung vonp∈P: für jede ganze Zahlk6= 0existiertvp(k)∈N⁰mit:p^vp(k)ist ein Teiler vonk, aber p^vp(k)+1nicht.

• k=±Q

p∈Pp^vp(k)

• vp(k+l)≥min{vp(k), vp(l)}

• vp(k·l) =vp(k) +vp(l)

• bteiltagenau dann, wennvp(b)≤vp(a)

• Der ggT vona, b∈Nistg=Q

p∈Pp^ep mit ep= min{vp(a), vp(b)}

• Das kgV vona, b∈Nistk=Q

p∈Pp^fp mitf_p= max{vp(a), v_p(b)}

Irreduzibilität vonm∈R:m /∈R^× und ∀ a, b∈R: m=ab⇒a∈R^× oderb∈R^×

Primelement:p∈Rmit:pist keine Einheit und ∀a, b∈R gilt:pteiltab⇒pteiltaoderpteiltb

• Ein von 0 verschiedenes Primelement ist immer irreduzibel

• WennR ein Hauptidealring ist, dann ist ein irreduzibles Element inRimmer auch prim

Primzerlegung in Hauptidealringen (∼=Fundamentalsatz der Arithmetik für Hauptidealringe): Es seiRein Haupt- idealring. Weiter seiPRein Vertretersystem der Assoziiertenklassen von Primelementen6= 0. Dann ist jedesr∈R\ {0}

assoziiert zu einem Produkt von endlich vielen Primelementen.

Sind weiters, t∈N0undp₁, ..., p_s, q₁, ..., q_t∈PRderart, dass eine Einheite∈R^×existiert mitr=p₁·...·p_s=ε·q₁·...·q_t, so geltenε= 1, s=tund (bis auf Vertauschung de Reihenfolge der Faktoren p_i=q_i für alle1≤i≤s).

Hilfssatz: Es seip eine Primzahl, die bei Division durch 4 Rest 1 lässt. Dann gibt es eine Zahl u∈ {1, ..., p−1}, sodasspein Teiler von u²+ 1 ist.

Summen zweier Quadrate: Eine natürliche Zahlnist genau dann als Summe zweier Quadrate von ganzen Zahlen schreibbar, wenn für alle Primzahlenp∈P, die bei Division durch4 Rest3 lassen, gilt, dassv_p(n)gerade ist.

Zur Verteilung der Primzahlen

Euklid: Es gibt unendlich viele Primzahlen

Lücken: Es seik∈N. Dann gibt es eine natürliche ZahlM, so dass zwischenM undM+kkeine Primzahl liegt.

Eulerabschätzung: Für jede reelle Zahlx >1giltP

x≥p∈P 1

p ≥log(logx)−log 2 Sieb des Erastothenes (erstellt Liste an Primzahlen)

1. Es seiM ∈Neine natürliche Zahl. BetrachteS₁:={n∈N|2≤n≤M}

2. Die kleinste Zahl vonS₁ istp₁:= 2, eine Primzahl. Setze S₂:={n∈S₁ |p₁teilt nichtn}

3. Das sind die Zahlen ausS1, die keine Vielfachen von2oder3sind. Mache sukzessive so weiter: setzepi:= min(Si), solange dies nicht leer ist. Dann ist pi eine Primzahl, sonst wäre es vorher schon als Vielfaches einer kleinere Zahl gestrichen worden. Setze weiterSi+1:={n∈Si |pi teilt nichtn}

4. Wenn schlieÿlichSi+1 leer ist, dann gilt: {p1, p2, ..., pi}=S1∩P={p∈P |p≤M} Verteilungsfunktion (zählt alle Primzahlen unterhalbx):π(x) := #{p∈P|p≤x}

Primzahlsatz: Es giltlim_x→∞π(x) =∞, insbesonderelim_x→∞π(x)·^log_x^x= 1 Arithmetische Funktion: Abbildungϕ:N→C

Faltung:∗:A × A → A, (ϕ∗ψ)(n) :=P

d|nϕ(d)·ψ(n/d)

Strikte Multiplikativität einer arithmetischen Funktion:ϕ(1) = 1und ∀m, n∈N:ϕ(mn) =ϕ(m)·ϕ(n)

Multiplikativität einer arithmetischen Funktion:ϕ(1) = 1und ∀m, n∈N: ggT(m, n) = 1⇒ϕ(mn) =ϕ(m)·ϕ(n) Formale Dirichletreihe:D(ϕ, s) :=P

n∈N ϕ(n)

n^s

• Beispiel: Riemann'sche Zetafunktionζ(s) :=P∞ n=1n^−s

• Für zwei arithemtische Funktionenϕ, ψgilt:D(ϕ, s)·D(ψ, s) =P

m,n∈N

ϕ(n)·ψ(m)

n^sm^s =D(ϕ∗ψ, s)

p-Anteil vonϕ:ϕ_p(n) =

ϕ(n) falls n=p^k, k∈N0

0 sonst

Primzahlzwillingsvermutung: es gibt unendlich viele Primzahlenp, für die auchp+ 2eine Primzahl ist Goldbach-Vermutung: Jede gerade natürliche Zahl≥4lässt sich als Summe zweier Primzahlen schreiben

Gleichungssysteme

(Z-)Basis vonAabelsche Gruppe:B⊆Amit: jedesa∈Alässt sich alsa=P

b∈Bλb·b schreiben

• λb∈Z,fast alleλb= 0(d.h. alle bis auf endlich viele)

Freie abelsche Gruppe überB:Aabelsche Gruppe mit BasisB

Unimodulare Matrix:M ∈Z^n×n, für die eine der folgenden äquivalenten Aussagen gilt:

• Die Spalten vonM bilden eine Basis vonZⁿ

• Es gibt eine zuM inverse Matrix mit ganzzahligen Einträgen

• det(M) =±1

Inhalt vonv∈Zⁿ: ggT der Einträge von v Primitiver Vektor: Vektor mit Inhalt 1

Basisergänzung: Ein Vektorv∈Zⁿ ist genau dann ein Element einer Basis vonZⁿ, wenn Inh(v) = 1

Elementarteilersatz: Es seienF eine freie abelsche Gruppe vom Rang nund U ⊆F eine Untergruppe vom Rang n. Dann gibt es eine Basis{b1, ..., bn} vonF und natürliche Zahlen e1|e2|...|er, sodass{e1b1, e2b2, ..., erbr} eine Basis vonU ist.

Matrixversion des Elementarteilersatzes: Es seiM ∈Z^n×meine ganzzahlige Matrix. Dann gibt es unimodulare MatrizenS∈GL_n(Z), T ∈GL_m(Z), sodassS⁻¹M T =

D 0 0 0

, D:=diag(e₁, ..., e_r), e₁|e₂|...|e_r6= 0

Diophantische Gleichungen (Polynom-Gleichungssysteme):Pi(x1, ..., xn) = 0, 1≤i≤m, P1, ..., Pm∈Z[X1, ..., Xn] Schinzels Hypothese: SindP1, ..., Pm∈Z[X](nichtkonstante) irreduzible Polynome in einer Variablen mit positiven Leitkoezienten, sodass keine Primzahlpalle WerteP1(k)·...·Pm(k), k∈Zteilt, dann gibt es unendlich vielek∈Z, sodass alle WerteP1(k), ..., Pm(k)Primzahlen sind.

Pythagoräisches Tripel: von(0,0,0)verschiedenes Tripel(a, b, c)∈Z³ mita²+b²=c²

Kongruenzrechnung

Die Restklassenringe

Kongruenz moduloU vona, b∈A(Aabelsche Gruppe,U ⊆AUntergruppe):a−b∈U

• In Zeichen:a≡b modU

Addition von Restklassen:(a+U) + (b+U) = (a+b) +U

Homomorphiesatz: WennA, B zwei (abelsche) Gruppen sind undΦ :A→Bein Homomorphismus, dann induziert Φeinen Isomorphismus zwischen A/Kern(Φ)und Bild(Φ). Dieser kommt durch (Φ(a˜ +Kern(Φ)) := Φ(a)zustande.

Index vonU in A(U ⊆A abelsche Gruppen): Kardinalität vonU/A

Erzeugnis vonS⊆U:U, wenn jedes Element vonU eine ganzzahlige Linearkombination von Elementen ausS ist

• U heiÿt endlich erzeugt, wenn es ein endliches Erzeugendensystem gibt

• U heiÿt zyklisch, wenn sie von einem einzigen Element erzeugt wird

Ordnung vona∈A: kleinste natürliche Zahldmitda= 0(bzw.a^d= 1in multiplik. Notation)

Elementarteilersatz: Es seiF eine frei abelsche Gruppe von Rang nundU ⊆F eine Untergruppe von endlichem Index. Dann hatU Rangnund(F :U)ist das Produkt der Elementarteiler vonU inF.

Lagrange-Satz für abelsche Gruppen

a) Es sei Aeine (additiv geschriebene) endliche abelsche Gruppe unda∈A. Dann gilt:|A| ·a= 0 b) Die Ordnung dvonaist ein Teiler von|A|.

Kleiner Satz von Fermat (abstrakt): WennF ein endlicher Körper mit q Elementen ist, dann gilt für jedes a∈ F^× : a^q−1= 1

Restklassenring:R/I mitR kommutativer Ring,I⊆R Ideal und(a+I)·(b+I) := (ab) +I

Homomorphiesatz: SindR, S zwei kommutative Ringe und ist Φ :R →S ein Ringhomomorphismus, so liefertΦ einen Isomorphismus zwischen den RingenR/Kern(Φ) und Bild(Φ).

Die Einheitengruppe - kleiner Fermat konkret

a) Es seien R ein kommutativer Ring und I ⊆R. Dann istr+I genau dann eine Einheit von R/I, wenn es ein s∈R gibt mitrs−1∈I.

b) Ist R ein Hauptidealring und I = Rm, m ∈ R, dann ist für r ∈ R die Restklasse r+ 1 genau dann in R/I invertierbar, wennrundmteilerfremd sind.

c) IstR ein Hauptidealring undI=Rm, m∈R, dann istR/I genau dann ein Körper, wennmirreduzibel ist.

d) Für N ∈Nist (Z/NZ)^× ={r+NZ|0≤r≤N−1, ggT(r, N) = 1}. Z/NZist genau dann ein Körper, wenn N eine Primzahl ist.

e) Istp∈P, so gilt für allea∈Z:p|a^p−a

Prime Restklassengruppe moduloN ∈N= Einheitengruppe(Z/NZ)^× Fp: andere Schreibweise fürZ/pZ, fallspeine Primzahl ist

Euler'scheϕ-Funktion:ϕ(N) :=|(Z/NZ)^×|

• ϕ(N) =| {x∈N|x≤N, ggT(x, N) = 1} |

• Für eine Primzahlpgilt nach dem kleinen Fermat:ϕ(p) =p−1

• Für Potenzenp^e(mit e≥1) vonpgiltϕ(p^e) =p^e−1(p−1)

• Man sieht schnell, dassϕ(N)genau die Anzahl der Elemente von OrdnungN in Z/NZist.

Primzahltest: Kriterium dafür, dass eine gegebene Zahl n keine Primzahl ist: ist für eine Zahl a ∈ Z, die zu n teilerfremd ist, die Kongruenzaⁿ⁻¹≡1 modnnicht erfüllt, dann istnsicher keine Primzahl.

Chinesischer Restsatz: Es seienN, M zwei teilerfremde Zahlen. Dann gelten die folgenden Aussagen:

a) Die RingeZ/MZ×Z/NZ(mit komponentenweiser Addition und Multiplikation) undZ/(M NZ)sind isomorph.

b) Für je zwei Zahlen a, b∈Zgibt es eine ganze Zahlx, sodass simultanx≡a modM und x≡b modN gilt.

Zwei Lösungenxundx˜ dieser Kongruenzbedingung sind kongruent moduloM N.

Folgerung:ϕist multiplikativ und für zwei Primzahlenp6=qundk∈N: gilt: ∀a∈Z:ak(p−1)(q−1)+1≡a modpq

Endliche Körper

Endlicher Körper: KörperF mitq=|F|

• Die Ordnung von1F in der additiven Gruppe vonF ist eine Primzahlp, undZ/pZist ein Teilring vonF.

• Die Kardinalität vonF ist eine Potenz vonp

• Die Einheitengruppe vonF ist zyklisch

• F ist ein Restklassenkörper des PolynomringsFp[X]

Charakteristik vonF = additive Ordnung von 1, wenn diese endlich (und damit eine Primzahl) ist, ansonsten 0 Primitives Element:ξ∈F^×, das die Einheitengruppe erzeugt

Minimalpolynom vonξüberFp = normierter Erzeugerm des Kerns vonΦ Zyklizität der Einheitengruppe vonR:=Z/p^mZ: p≥3undm∈N

Kreisteilungspolynom:ΦN :=Q∗

k modN(X−ck)

• Das Produkt (mit Sternchen) läuft nur noch über die zuN teilerfremdenk

• Hergeleitet aus dem PolynomFN =X^N−1, dessen komplexe Nullstellenck:= cos ^2πk_N +isin ^2πk_N

, 1≤k≤ N sind.

• rekursive Formel:Φ1=X−1, ΦN = (X^N−1) : (Q

d|N, d<NΦd)

Nullstellen des Kreisteilungspolynoms: Es sei k ein Körper, dessen Charakteristik kein Teiler von N ∈ N ist.

Dann sind äquivalent:

(i) InK^× liegt ein Element der OrdnungN

(ii) InKgibt es eine Nullstelle des KreisteilungspolynomsΦN.

Spezialfall von Dirichlets Primzahlsatz: Es seiN ∈Nbeliebig. Dann gibt es unendlich viele Primzahlen p≡1 modN.

Alle endlichen Körper: Es seipeine Primzahl unde∈N. Dann gibt es einen Körper mitp^e Elementen und je zwei solche Körper sind zueinander isomorph.

Quadratische Reste

Quadrat:a∈F^× mit: ∃b∈F: b²=a

Menge der Quadrate: Bild vonQ:F^×→F^×, b7→b² (Qist ein Gruppenhom.) Legendre-Symbol (a∈Z, p∈P, p >3):

a p

=







0 falls p|a

1 falls ∃x∈Z\pZ: a≡x² modp

−1 sonst

Legendre-Symbol für einen endlichen KörperF mit ungerader Charakteristik: _F^a

=







0 falls a= 0 1 falls a∈Q(F^×)

−1 sonst Satz von Euler

a) Es sei F ein endlicher Körper mit ungerader Charakteristik undq Elementen. Dann gilt füra∈F: _F^a

=a^q−12 b) Analog gilt für eine ungerade Primzahlpunda∈Z:

a p

=a^p−12 modp c) Die Abbildung _F^·

:F^×→ {±1} ist ein Gruppenhomomorphismus d) Die Abbildung _F^·

:Z→ {0,±1} ist strikt multiplikativ Halbsystem:H ⊆F^× mitH∩(−H)6=∅ undF^×=H∪(−H)

• F: endlicher Körper von ungerade CharakteristikpmitqElementen Fehlstandszahl vonabezüglichH: F(a, H) := ^q−1₂ − |H∩(aH)|

Satz von Gauÿ: Es seienFein endlicher Körper ungerader Charakteristik,H ⊂F^×ein Halbsystem inFunda∈F^×. Dann gilt: _F^a

= (−1)^F(a,H)

Quadratisches Reziprozitätsgesetz: Es seienp6=l zwei ungerade Primzahlen. Dann gilt: ^p_l

·

l p

= (−1)^{p−12 ·l−12}

• Ergänzung 1: ∀26=p∈P:

−1 p

= (−1)^p−12 =

1 fallsp≡1 mod 4

−1 fallsp≡3 mod 4

• Ergänzung 2: für eine Primzahlp≥3gilt:

2 p

= (−1)^p28−1 =

1 falls p≡ ±1 mod 8

−1 falls p≡ ±3 mod 8

Quadratische Zahlkörper

Der Ganzheitsring

Quadratischer Zahlkörper: KörperK⊆C, wenn er als Vektorraum überQDimension 2 hat.

• Es gibt genau eine quadratfreie Zahld∈Z, sodassK=Q(√ d) :=n

a+b√

d|a, b∈Q o

• Ist umgekehrtd6= 1eine quadratfreie ganze Zahl, dann istQ(√

d)ein quadratischer Zahlkörper Reellquadratischer Zahlkörper:K=Q(√

d)mitd >0 Imaginärquadratischer Zahlkörper:K=Q(√

d)mit d≤0 Automorphismus inK=Q(√

d):κ:K→K, κ(a+b√

d) =a−b√ d

NormN(α)(α∈K): Determinante der Abbildung µ:K→K, µ(x) :=α·x

• N(α) =a²−db² füraα=a+b√

dbzw.N(α) =α·κ(α) SpurSp(α)(α∈K): Spur der Abbildungµ:K→K, µ(x) :=α·x

• Sp(α) = 2afürα=a+b√

dbzw.Sp(α) =α+κ(α)

Ganzheit über Zvon α∈C:α∈C, das Nullstelle eines ganzzahligen normierten Polynoms ist

GanzheitsringOK eines quadratischen ZahlkörpersK⊆C: Menge aller überZganzen Elemente inK

• FürK=Q(√

d):OK =Z+Zω_d mit ωd:=

( √

d d6≡1 mod 4

1+√ d

2 d≡1 mod 4

Diskriminante vonK=Q(√

d):DK:= (ωd−κ(ωd))²=

4d d6≡1 mod 4 d d≡1 mod 4 Primideal:I⊆RIdeal mitI6=R und ∀ x, y∈R: x·y∈I⇒x∈I odery∈I

• IstP ⊆ O_K ein von{0} verschiedenes Primideal, so enthältP genau eine Primzahl

• Istp∈Peine Primzahl, so liegt es in ein oder zwei Primidealen inOK. Spektrum vonR: Menge aller Primideale von R

Geometrie der Zahlen

Gitter: UntergruppeΓeines reellen, endlichdimensionalen VektorraumsV, die von einerR-Basis vonV erzeugt wird Fundamentalmasche vonΓ inV:FB:={Pn

i=1aibi | 0≤ai≤1}

• B={b1, ..., b_n}: Basis, die das Gitter erzeugt Kovolumen vonΓ: Volumen vonFB, fallsV euklidisch

Gitterpunktsatz von Minkowski: Im euklidischen Vektorraum E sei ein Gitter Γ von Kovolumen V gegeben.

Weiter sei S ⊆E eine konvexe, kompakte Menge mit S = −S und Volumen vol(S)> 2ⁿ ·V. Dann liegt in S∩γ mindestens ein Element6= 0.

Vierquadratesatz von Lagrange: Jede natürliche Zahl lässt sich als Summe von vier Quadratzahlen schreiben Spezialfall von Dirichlets Einheitensatz: Es sei K ein reellquadratischer Zahlkörper. Dann gibt es eine Einheit ε∈ O^×_K, ε6=±1, so dassO^×_K={±ε^a |a∈Z} ∼={±1} ×Z

Pellsche Gleichung: Es seid∈Nkeine Quadratzahl. Dann hat die Gleichungx²−dy²= 1unendlich viele Lösungen (x, y)∈Z².

Idealklassen

Äquivalenz zweier IdealeI, J⊆ OK: ∃ α∈K^× mit αI=J

Verknüpfung zweier IdealeI, J⊆ OK:I·J ist deniert als das Ideal inOK, das von den Produktenxy, x∈I, y∈J erzeugt wird

Erzeuger: Jedes von Null evrschiedene Ideal inOK ist ein Produkt von Primidealen

Endlichkeit der Klassengruppe: Die Klassenkörper eines quadratischen ZahlkörpersKist endlich

Kettenbrüche

Kettenbruch:[a₀;a₁, a₂, ..., a_k]mita₀:=a₀, a₀∈Rund[a₀;a₁, a₂, ..., a_k] :=a₀+_[a ¹

1;a2,...,ak]

n-te Konvergente vonα∈Rirrational:α= [a0;a1, ..., an−1, an, βn+1]

• a0:=bαc, β1:= _α−a¹

0, b·c: Gauÿklammer

• a_n:=bβ_nc, β_n+1:= _β ¹

n−an

Rekursionsvorschrift: Es seiena−=, a1, ...reelle Zahlen,ai>0füri >0. Weiter seienpi, qirekursiv deniert durch p₋₂= 0, q₋₂= 1, p₋₁ = 1, q₋₁ = 0undpi:=aip_i−1+p_i−2, qi :=aiq_i−1+q_i−2. Dann gilt füri≥0 die Gleichung [a0;a1, a2, ..., ai] := ^p_qⁱ

i.

Satz zu Konvergenten: Es seiα∈R\Q. Dann konvergieren die Konvergenten der Kettenbruchentwicklung vonα gegenα.

Satz: Es gibt eins≥1, sodass√ d+j√

dk

= [2a0;a1, a2, ..., as]. Insbesondere ist also√

d= [a0;a1, a2, ..., as,2a0]und β_s+2=β₁.

Algebraische Zahl: Komplexe Zahl, die Nullstelle eines nichttrivialen rationalen Polynoms ist

• Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar Transzendente Zahlen: nicht algebraische Zahlen

Satz von Liouville: Es seiαeine algebraische Zahl, die Nullstelle eines irreduziblen ganzen Polynoms vom Gradd ist. Dann gibt es nur endlich viele teilerfremde Zahlenp, q, sodass|α−^p_q|< _qd+1¹

• Dieser Satz zeigt z.B., dassα=P

n∈N10^−n! transzendent ist