Analysis I - Formelsammlung

Analysis I - Formelsammlung

von Julian Merkert, Wintersemester 2004/05, Dr. Schmoeger

• Dreiecksungleichungen und andere Standardsachen sind hier i.d.R nicht aufgeführt!

• Immer nachprüfen, ob Voraussetzungen erfüllt sind!

Binomialkoezient:

n k

:= _k!(n−k)!^n!

Bernoullische Ungleichung: Istx≥ −1, so gilt(1 +x)ⁿ≥1 +nx∀n∈N Der binomische Satz:(a+b)ⁿ=Pn

k=0

n k

a^n−kb^k ∀n∈N Monotoniekriterium für Folgen:

• (an)sei monoton wachsend und nach oben beschränkt. Dann ist(an)konvergent und lim_n→∞an= sup^∞_n=1an

• (an)sei monoton fallend und nach unten beschränkt. Dann ist(an)konvergent und lim_n→∞an= inf^∞_n=1an

Wichtige Folgen:

• √ⁿ

n→1 (n→ ∞), √ⁿ

c→1 (n→ ∞)

• (1 +_n^x)ⁿ →e^x(n→ ∞)

Satz von Bolzano-Weierstraÿ:(a_n)sei eine beschränkte Folge. Dann:H(a_n)6=∅ Cauchyfolge (CF): ∀ε >0∃ n0∈N:|an−am|< ε∀n > m≥n0

Cauchy-Kriterium:(an)ist konvergent :⇔(an)ist eine CF.

Unendliche Reihen:

• Harmonische ReiheP∞ n=1

1

n ist divergent

• Geometrische ReiheP∞

n=0xⁿ (x∈R)konvergiert für|x|<1. Dann:P∞

n=0xⁿ =_1−x¹

• P∞ n=0

1

n! konvergiert gegene

• P∞ n=1

1

n(n+1) konvergiert gegen 1

• P∞ n=0

xⁿ

n! konvergiert absolut ∀ x∈R Cauchy-Kriterium:P∞

n=1an konvergiert:⇔ ∀ε >0 ∃n0=n0(ε)∈N:|

n

X

k=m+1

ak|

| {z }

=s_n−sm

< ε∀ n > m≥n0

Monotonie-Kriterium: Sind allea_n≥0und ist(s_n)beschränkt⇒P∞

n=1a_n konvergiert.

Notwendige Bedingung für Konvergenz:P∞

n=1a_n sei konvergent. Dann:a_n→0 (n→ ∞) Leibnitzkriterium: Sei(bn)eine monoton fallende Nullfolge undan = (−1)ⁿ⁺¹bn. Dann istP∞

n=1an konvergent.

Majorantenkriterium: Gilt|an| ≤bn an∈Nund istP∞

n=1bn konv.⇒P∞

n=1an konvergiert absolut.

Minorantenkriterium: Gilta_n ≥b_n≥0a n∈Nund istP∞

n=1b_n divergent ⇒P∞

n=1a_n ist divergent.

Wurzelkriterium: Sei(an)eine Folge undα= lim suppⁿ

|an|(α=∞ist zugelassen).

(1) Istα <1⇒P∞

n=1an konvergiert absolut (2) Istα >1⇒P∞

n=1an divergiert

(3) Istα= 1, so ist keine allgemeine Aussage möglich

Quotientenkriterium: Sei(a_n)eine Folge in Runda_n6= 0 an∈N.α_n=^an+1_a

n an∈N.

Es seiα_n beschränkt,β := lim inf(α_n)undα:= lim sup|αn| 1

(1) Istβ >1⇒P∞

n=1an divergiert (2) Istα <1⇒P∞

n=1an konvergiert absolut

(3) Istα=β= 1, so ist keine allgemeine Aussage möglich.

Produktreihen: SindPa_nundPb_nabsolut konvergent, so ist die ProduktreihePp_nvon beiden absolut konvergent.

Cauchyprodukt: Setzecn :=Pn

k=0akb_n−k=a0bn+a1b_n−1+...+anb0(n∈N0).P∞

n=0cn heiÿt Cauchyprodukt SindP

an undP

bn absolut konvergent, so konvergiert ihr CauchyproduktP∞

n=0cn gegenP∞

n=0an·P∞ n=0bn. Sinus und Cosinus:cosx:=P∞

n=0(−1)^{n x}_(2n)!²ⁿ sinx:=P∞

n=0(−1)^{n x}_(2n+1)!²ⁿ⁺¹ Potenzreihe:P∞

n=0anxⁿ=a0+a1x+a2x²+...

P∞

n=0anxⁿ sei eine PR,%:= lim suppⁿ

|an|undr:= ¹_% (alsor= 0, falls %=∞undr=∞, falls %= 0) (1) Istr= 0, so konvergiert die PR nur für x=0

(2) Istr=∞, so konvergiert die PR absolut ∀x∈R

(3) Ist0< r <∞, so konvergiert die PR absolut für |x|< rund sie divergiert für|x|> r(im Falle|x|=r, also für x=r undx=−r, ist keine Aussage möglich.

Sinus- und Cosinushyperbolicus:

• coshx:= ¹₂(e^x+e^−x) (x∈R),coshx=P∞ n=0

x²ⁿ (2n)!

• sinhx:= ¹₂(e^x−e^−x) (x∈R),sinhx=P∞ n=0

x²ⁿ⁺¹

(2n+1)! (x∈R)

Grenzwerte bei Funktionen:limx→x₀f(x)existiert:⇔ ∃a∈Rmit: für jede Folge(xn)in D\ {x0} mitxn→x0

gilt:f(x)→a.

Cauchykriterium:lim_x→x0f(x)existiert:⇔ ∀ε >0 ∃δ=δ(ε)>0 :|f(x)−f(x⁰)|< ε∀ x, x⁰ ∈D˙_δ(x₀) Exponentialfunktion:e^x=P∞

n=0 xⁿ

n! (x∈R)

Stetigkeit: f heiÿt stetig inx0 :⇔für jede Folge(xn)in D mitxn →x0 gilt:f(xn)→f(x0) Beispiele:

(1) e^x,sin(x),cos(x)sind aufRstetig (2) lim_x→0^sin_x^x = 1

(3) lim_x→0^ex_x⁻¹ = 1 (4) limh→0e^{x0 +h}−e^x0

h =e^x0 ∀x0∈R

Zwischenwertsatz: Seia < bundf ∈C[a, b] :=C([a, b]). Weiter sei y₀∈Rundf(a)≤y₀≤f(b)oderf(b)≤y₀≤ f(a). Dann existiert ein x₀∈[a, b] :f(x₀) =y₀

Nullstellensatz von Bolzano: Seif ∈C[a, b]undf(a)f(b)<0. Dann existiert einx0∈[a, b] :f(x0) = 0 Oene / abgeschlossene Mengen:

(1) A⊆Rheiÿt abgeschlossen:⇔für jede konvergente Folge(xn)in A gilt: limxn∈A (2) B⊆Rheiÿt oen:⇔ ∀ x∈B ∃δ=δ(x)>0 :Uδ(x)⊆B

Funktionenfolgen und -Reihen:

• (f_n)heiÿt auf D punktweise konvergent:⇔für jedesx∈D ist(f_n(x))^∞_n=1 konvergent.

• P∞

n=1f_n heiÿt auf D punktweise konvergent:⇔für jedesx∈D ist(s_n(x))^∞_n=1 konvergent.

• (fn) heiÿt auf D gleichmäÿig (glm) konvergent :⇔ ∃ Funktion f : D → R mit: ∀ ε > 0 ∃ n0(ε) ∈ N :

|fn(x)−f(x)|< ε∀n≥n0 ∀x∈D

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• Kriterium nach Weierstraÿ: Sei(cn)eine Folge inR, sei P∞

n=1cn konvergent, seim∈Nund es gelte|fn(x)| ≤ cn ∀n≥m∀x∈D. Dann konvergiertP∞

n=1fn auf D glm.

Gleichmäÿige Stetigkeit: ∀ε >0 ∃δ=δ(ε)>0 :|f(x)−f(z)|< ε∀ x, z∈Dund|x−z|< δ

• Ist D beschränkt und abgeschlossen, und f auf D stetig, dann ist f auf D glm. stetig.

Libschitzstetigkeit: ∃ L≥0 :|f(x)−f(z)| ≤L|x−z| ∀x, z∈D Ableitung / Dierenzierbarkeit inx0: ∃ lim_x→x0 ^f(x)−f(x_x−x ⁰⁾

0 =f⁰(x0)und ist∈R Produktregel:(f g)⁰(x₀) =f⁰(x₀)g(x₀) +f(x₀)g⁰(x₀)

Quotientenregel:_f

g

0

(x0) =^f0(x0)g(x_g(x^{0)−f(x0)g0(x0)}

0)²

Kettenregel:(f◦g)⁰(x0) =f⁰(g(x0))g⁰(x0)

Ableitung der Umkehrfunktion:f ∈C(I)sei streng monoton, f sei db inx0∈Iundf⁰(x0)6= 0. Dann istf⁻¹:f(I)→Rdb iny0:=f(x0)und(f⁻¹)⁰(y0) = _f0(x¹0)

Satz von Rolle: es seif(a) =f(b), f stetig und db. Dann existiertξ∈(a, b) :f⁰(ξ) = 0

Mittelwertsatz (MWS) der Dierentialrechnung: f stetig und db⇒ ∃ ξ∈(a, b) : ^f(b)−f(a)_b−a =f⁰(ξ) Erweiterter Mittelwertsatz: f, g stetig und db undg(b)6=g(a)⇒ ∃ξ∈(a, b) : ^f(b)−f(a)_g(b)−g(a) = ^f_g⁰0^(ξ)(ξ)

Die Regeln von de l'Hospital:

f, g: (a, b)→Rseien auf(a, b)db und es seig⁰(x)6= 0 ∀x∈(a, b)(a=−∞oderb=∞zugelassen).

Weiter existiereL:= lim_x→a ^f_g0⁰(x)^(x) (L=±∞zugelassen) und es gelte (I) lim_x→af(x) = lim_x→ag(x) = 0 oder

(II) lim_x→af(x) =±∞.

Dannlim_x→a^f(x)_g(x) =L(gilt auch fürx→b)

Additionstheoreme:sin(x+y) = sinxcosy+ cosxsiny cos(x+y) = cosxcosy−sinxsiny Wichtige Ableitungen:

• (tanx)⁰ = 1 + tan²x

• (arctanx)⁰ =_1+x¹₂

• (arcsinx)⁰= ^{√ 1}

1−x² |x|<1

• (arccosx)⁰=−^{√ 1}

1−x² |x|<1

• (ln|x|)⁰ =_x¹

Abelscher Grenzwertsatz:log(1 +x) =P∞

n=0(−1)^{n x}_n+1ⁿ⁺¹ fürx∈[−1,1]

Höhere Ableitungen: SeiP∞

n=0a_n(x−x₀)ⁿ eine PR mit KRr >0, I := (x₀−r, x₀+r)

• f ∈C^∞(I)

• ∀x∈I ∀k∈N:f^(k)(x) =P∞

n=kn(n−1)...(n−k+ 1)an(x−x0)^n−k Taylorreihe:P∞

n=0 f⁽ⁿ⁾(x0)

n! (x−x0)ⁿ Taylorpolynom:Tn(x, x0) :=Pn

k=0 f^(k)(x0)

k! (x−x0)^k

Satz von Taylor: Seif ∈Cⁿ⇒ ∃ ξ∈[x, x0] :f(x) =Tn(x, x0) +^f(n+1)_(n+1)!^(ξ)(x−x0)ⁿ⁺¹ 1. Hauptsatz der Dierential- und Integralrechnung:

Es seif ∈R[a, b]und f besitze auf[a, b]die SF F.

DannRb

a f(x)dx=F(b)−F(a) =:F(x)|^b_a =: [F(x)]^b_a MWS der Integralrechnung:

Es seienf, g∈R[a, b], g≥0auf [a, b], m:= inff([a, b]), M := supf([a, b]) 3

(1) ∃µ∈[m, M] :Rb

a f gdx=µRb agdx (2) Istf ∈C[a, b]⇒ ∃ ξ∈[a, b] :Rb

af dx=f(ξ)(b−a) 2. Hauptsatz der Dierential- und Integralrechung:

Seif ∈R[a, b] undF : [a, b]→Rsei deniert durchF(x) :=Rx a f(t)dt (1) F ist auf [a, b]Lipschitzstetig, insbesondereF∈C[a, b]

(2) Ist f inx₀stetig⇒F ist inx₀ db und F⁰(x₀) =f(x₀) (3) Istf ∈C[a, b]⇒F∈C¹[a, b]undF⁰=f auf[a, b]

Partielle Integration:Rb

af⁰gdx=f(x)g(x)|^b_a−Rb af g⁰dx Substitutionsregel:R

f(g(t))g⁰(t)dt=R

f(x)dx|_x=g(t) Integrale:

• R ₁

x−x0dx= log|x−x₀|

• R

logx dx=xlogx−x

• R ₁

√1+x²dx=arcsinhx

• R ₁

1−x²dx=arctanhx Cauchy-Kriterium:Rβ

a f dxkonv.:⇔ ∀ ε >0∃c=c(ε)∈(a, β) :|Rv

uf dx|< ε∀ u, v∈(c, β) Majorantenkriterium: Ist|f| ≤g auf[a, β)undRβ

a gdxkonv.⇒Rβ

a f dxkonvergiert absolut Minorantenkriterium: Ist|f| ≥g≥0auf[a, b)undRβ

a gf xdiv.⇒Rβ

a f dxdiv.

Funktionen von beschränkter Variation:

• Ist f auf[a, b]Lipschitzstetig⇒f ∈BV[a, b]

• Ist f db auf[a, b]und f' beschränkt auf[a, b]⇒f ∈BV[a, b]

• Ist f monoton auf[a, b]⇒f ∈BV[a, b]undvf[a, b] =|f(b)−f(a)|

• Istf ∈C¹[a, b]⇒vf[a, b] =Rb a |f⁰|dx

Partielle RS-Integration: Istf ∈R_g[a, b]⇒g∈R_f[a, b]undRb

a f dg=f(x)g(x)|^b_a−Rb a gdf Riemann-Stieltjes-Integral:

• Seif ∈R[a, b], g sei db auf[a, b]undg⁰∈R[a, b]. Dannf ∈Rg[a, b]undRb

a f dg=Rb af g⁰dx

• Istf ∈C[a, b]undg∈BV[a, b]⇒f ∈Rg[a, b]

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