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Analysis I - Formelsammlung

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Academic year: 2022

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Analysis I - Formelsammlung

von Julian Merkert, Wintersemester 2004/05, Dr. Schmoeger

• Dreiecksungleichungen und andere Standardsachen sind hier i.d.R nicht aufgeführt!

• Immer nachprüfen, ob Voraussetzungen erfüllt sind!

Binomialkoezient:

n k

:= k!(n−k)!n!

Bernoullische Ungleichung: Istx≥ −1, so gilt(1 +x)n≥1 +nx∀n∈N Der binomische Satz:(a+b)n=Pn

k=0

n k

an−kbk ∀n∈N Monotoniekriterium für Folgen:

• (an)sei monoton wachsend und nach oben beschränkt. Dann ist(an)konvergent und limn→∞an= supn=1an

• (an)sei monoton fallend und nach unten beschränkt. Dann ist(an)konvergent und limn→∞an= infn=1an

Wichtige Folgen:

• √n

n→1 (n→ ∞), √n

c→1 (n→ ∞)

• (1 +nx)n →ex(n→ ∞)

Satz von Bolzano-Weierstraÿ:(an)sei eine beschränkte Folge. Dann:H(an)6=∅ Cauchyfolge (CF): ∀ε >0∃ n0∈N:|an−am|< ε∀n > m≥n0

Cauchy-Kriterium:(an)ist konvergent :⇔(an)ist eine CF.

Unendliche Reihen:

• Harmonische ReiheP n=1

1

n ist divergent

• Geometrische ReiheP

n=0xn (x∈R)konvergiert für|x|<1. Dann:P

n=0xn =1−x1

• P n=0

1

n! konvergiert gegene

• P n=1

1

n(n+1) konvergiert gegen 1

• P n=0

xn

n! konvergiert absolut ∀ x∈R Cauchy-Kriterium:P

n=1an konvergiert:⇔ ∀ε >0 ∃n0=n0(ε)∈N:|

n

X

k=m+1

ak|

| {z }

=sn−sm

< ε∀ n > m≥n0

Monotonie-Kriterium: Sind allean≥0und ist(sn)beschränkt⇒P

n=1an konvergiert.

Notwendige Bedingung für Konvergenz:P

n=1an sei konvergent. Dann:an→0 (n→ ∞) Leibnitzkriterium: Sei(bn)eine monoton fallende Nullfolge undan = (−1)n+1bn. Dann istP

n=1an konvergent.

Majorantenkriterium: Gilt|an| ≤bn an∈Nund istP

n=1bn konv.⇒P

n=1an konvergiert absolut.

Minorantenkriterium: Giltan ≥bn≥0a n∈Nund istP

n=1bn divergent ⇒P

n=1an ist divergent.

Wurzelkriterium: Sei(an)eine Folge undα= lim suppn

|an|(α=∞ist zugelassen).

(1) Istα <1⇒P

n=1an konvergiert absolut (2) Istα >1⇒P

n=1an divergiert

(3) Istα= 1, so ist keine allgemeine Aussage möglich

Quotientenkriterium: Sei(an)eine Folge in Rundan6= 0 an∈N.αn=an+1a

n an∈N.

Es seiαn beschränkt,β := lim inf(αn)undα:= lim sup|αn| 1

(2)

(1) Istβ >1⇒P

n=1an divergiert (2) Istα <1⇒P

n=1an konvergiert absolut

(3) Istα=β= 1, so ist keine allgemeine Aussage möglich.

Produktreihen: SindPanundPbnabsolut konvergent, so ist die ProduktreihePpnvon beiden absolut konvergent.

Cauchyprodukt: Setzecn :=Pn

k=0akbn−k=a0bn+a1bn−1+...+anb0(n∈N0).P

n=0cn heiÿt Cauchyprodukt SindP

an undP

bn absolut konvergent, so konvergiert ihr CauchyproduktP

n=0cn gegenP

n=0an·P n=0bn. Sinus und Cosinus:cosx:=P

n=0(−1)n x(2n)!2n sinx:=P

n=0(−1)n x(2n+1)!2n+1 Potenzreihe:P

n=0anxn=a0+a1x+a2x2+...

P

n=0anxn sei eine PR,%:= lim suppn

|an|undr:= 1% (alsor= 0, falls %=∞undr=∞, falls %= 0) (1) Istr= 0, so konvergiert die PR nur für x=0

(2) Istr=∞, so konvergiert die PR absolut ∀x∈R

(3) Ist0< r <∞, so konvergiert die PR absolut für |x|< rund sie divergiert für|x|> r(im Falle|x|=r, also für x=r undx=−r, ist keine Aussage möglich.

Sinus- und Cosinushyperbolicus:

• coshx:= 12(ex+e−x) (x∈R),coshx=P n=0

x2n (2n)!

• sinhx:= 12(ex−e−x) (x∈R),sinhx=P n=0

x2n+1

(2n+1)! (x∈R)

Grenzwerte bei Funktionen:limx→x0f(x)existiert:⇔ ∃a∈Rmit: für jede Folge(xn)in D\ {x0} mitxn→x0

gilt:f(x)→a.

Cauchykriterium:limx→x0f(x)existiert:⇔ ∀ε >0 ∃δ=δ(ε)>0 :|f(x)−f(x0)|< ε∀ x, x0 ∈D˙δ(x0) Exponentialfunktion:ex=P

n=0 xn

n! (x∈R)

Stetigkeit: f heiÿt stetig inx0 :⇔für jede Folge(xn)in D mitxn →x0 gilt:f(xn)→f(x0) Beispiele:

(1) ex,sin(x),cos(x)sind aufRstetig (2) limx→0sinxx = 1

(3) limx→0exx−1 = 1 (4) limh→0ex0 +h−ex0

h =ex0 ∀x0∈R

Zwischenwertsatz: Seia < bundf ∈C[a, b] :=C([a, b]). Weiter sei y0∈Rundf(a)≤y0≤f(b)oderf(b)≤y0≤ f(a). Dann existiert ein x0∈[a, b] :f(x0) =y0

Nullstellensatz von Bolzano: Seif ∈C[a, b]undf(a)f(b)<0. Dann existiert einx0∈[a, b] :f(x0) = 0 Oene / abgeschlossene Mengen:

(1) A⊆Rheiÿt abgeschlossen:⇔für jede konvergente Folge(xn)in A gilt: limxn∈A (2) B⊆Rheiÿt oen:⇔ ∀ x∈B ∃δ=δ(x)>0 :Uδ(x)⊆B

Funktionenfolgen und -Reihen:

• (fn)heiÿt auf D punktweise konvergent:⇔für jedesx∈D ist(fn(x))n=1 konvergent.

• P

n=1fn heiÿt auf D punktweise konvergent:⇔für jedesx∈D ist(sn(x))n=1 konvergent.

• (fn) heiÿt auf D gleichmäÿig (glm) konvergent :⇔ ∃ Funktion f : D → R mit: ∀ ε > 0 ∃ n0(ε) ∈ N :

|fn(x)−f(x)|< ε∀n≥n0 ∀x∈D

2

(3)

• Kriterium nach Weierstraÿ: Sei(cn)eine Folge inR, sei P

n=1cn konvergent, seim∈Nund es gelte|fn(x)| ≤ cn ∀n≥m∀x∈D. Dann konvergiertP

n=1fn auf D glm.

Gleichmäÿige Stetigkeit: ∀ε >0 ∃δ=δ(ε)>0 :|f(x)−f(z)|< ε∀ x, z∈Dund|x−z|< δ

• Ist D beschränkt und abgeschlossen, und f auf D stetig, dann ist f auf D glm. stetig.

Libschitzstetigkeit: ∃ L≥0 :|f(x)−f(z)| ≤L|x−z| ∀x, z∈D Ableitung / Dierenzierbarkeit inx0: ∃ limx→x0 f(x)−f(xx−x 0)

0 =f0(x0)und ist∈R Produktregel:(f g)0(x0) =f0(x0)g(x0) +f(x0)g0(x0)

Quotientenregel:f

g

0

(x0) =f0(x0)g(xg(x0)−f(x0)g0(x0)

0)2

Kettenregel:(f◦g)0(x0) =f0(g(x0))g0(x0)

Ableitung der Umkehrfunktion:f ∈C(I)sei streng monoton, f sei db inx0∈Iundf0(x0)6= 0. Dann istf−1:f(I)→Rdb iny0:=f(x0)und(f−1)0(y0) = f0(x10)

Satz von Rolle: es seif(a) =f(b), f stetig und db. Dann existiertξ∈(a, b) :f0(ξ) = 0

Mittelwertsatz (MWS) der Dierentialrechnung: f stetig und db⇒ ∃ ξ∈(a, b) : f(b)−f(a)b−a =f0(ξ) Erweiterter Mittelwertsatz: f, g stetig und db undg(b)6=g(a)⇒ ∃ξ∈(a, b) : f(b)−f(a)g(b)−g(a) = fg00(ξ)(ξ)

Die Regeln von de l'Hospital:

f, g: (a, b)→Rseien auf(a, b)db und es seig0(x)6= 0 ∀x∈(a, b)(a=−∞oderb=∞zugelassen).

Weiter existiereL:= limx→a fg00(x)(x) (L=±∞zugelassen) und es gelte (I) limx→af(x) = limx→ag(x) = 0 oder

(II) limx→af(x) =±∞.

Dannlimx→af(x)g(x) =L(gilt auch fürx→b)

Additionstheoreme:sin(x+y) = sinxcosy+ cosxsiny cos(x+y) = cosxcosy−sinxsiny Wichtige Ableitungen:

• (tanx)0 = 1 + tan2x

• (arctanx)0 =1+x12

• (arcsinx)0= 1

1−x2 |x|<1

• (arccosx)0=− 1

1−x2 |x|<1

• (ln|x|)0 =x1

Abelscher Grenzwertsatz:log(1 +x) =P

n=0(−1)n xn+1n+1 fürx∈[−1,1]

Höhere Ableitungen: SeiP

n=0an(x−x0)n eine PR mit KRr >0, I := (x0−r, x0+r)

• f ∈C(I)

• ∀x∈I ∀k∈N:f(k)(x) =P

n=kn(n−1)...(n−k+ 1)an(x−x0)n−k Taylorreihe:P

n=0 f(n)(x0)

n! (x−x0)n Taylorpolynom:Tn(x, x0) :=Pn

k=0 f(k)(x0)

k! (x−x0)k

Satz von Taylor: Seif ∈Cn⇒ ∃ ξ∈[x, x0] :f(x) =Tn(x, x0) +f(n+1)(n+1)!(ξ)(x−x0)n+1 1. Hauptsatz der Dierential- und Integralrechnung:

Es seif ∈R[a, b]und f besitze auf[a, b]die SF F.

DannRb

a f(x)dx=F(b)−F(a) =:F(x)|ba =: [F(x)]ba MWS der Integralrechnung:

Es seienf, g∈R[a, b], g≥0auf [a, b], m:= inff([a, b]), M := supf([a, b]) 3

(4)

(1) ∃µ∈[m, M] :Rb

a f gdx=µRb agdx (2) Istf ∈C[a, b]⇒ ∃ ξ∈[a, b] :Rb

af dx=f(ξ)(b−a) 2. Hauptsatz der Dierential- und Integralrechung:

Seif ∈R[a, b] undF : [a, b]→Rsei deniert durchF(x) :=Rx a f(t)dt (1) F ist auf [a, b]Lipschitzstetig, insbesondereF∈C[a, b]

(2) Ist f inx0stetig⇒F ist inx0 db und F0(x0) =f(x0) (3) Istf ∈C[a, b]⇒F∈C1[a, b]undF0=f auf[a, b]

Partielle Integration:Rb

af0gdx=f(x)g(x)|ba−Rb af g0dx Substitutionsregel:R

f(g(t))g0(t)dt=R

f(x)dx|x=g(t) Integrale:

• R 1

x−x0dx= log|x−x0|

• R

logx dx=xlogx−x

• R 1

1+x2dx=arcsinhx

• R 1

1−x2dx=arctanhx Cauchy-Kriterium:Rβ

a f dxkonv.:⇔ ∀ ε >0∃c=c(ε)∈(a, β) :|Rv

uf dx|< ε∀ u, v∈(c, β) Majorantenkriterium: Ist|f| ≤g auf[a, β)undRβ

a gdxkonv.⇒Rβ

a f dxkonvergiert absolut Minorantenkriterium: Ist|f| ≥g≥0auf[a, b)undRβ

a gf xdiv.⇒Rβ

a f dxdiv.

Funktionen von beschränkter Variation:

• Ist f auf[a, b]Lipschitzstetig⇒f ∈BV[a, b]

• Ist f db auf[a, b]und f' beschränkt auf[a, b]⇒f ∈BV[a, b]

• Ist f monoton auf[a, b]⇒f ∈BV[a, b]undvf[a, b] =|f(b)−f(a)|

• Istf ∈C1[a, b]⇒vf[a, b] =Rb a |f0|dx

Partielle RS-Integration: Istf ∈Rg[a, b]⇒g∈Rf[a, b]undRb

a f dg=f(x)g(x)|ba−Rb a gdf Riemann-Stieltjes-Integral:

• Seif ∈R[a, b], g sei db auf[a, b]undg0∈R[a, b]. Dannf ∈Rg[a, b]undRb

a f dg=Rb af g0dx

• Istf ∈C[a, b]undg∈BV[a, b]⇒f ∈Rg[a, b]

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