Funktionentheorie I - Formelsammlung

(1)

Funktionentheorie I - Formelsammlung

von Julian Merkert, Sommersemester 2006, Dr. Schmoeger Körper der komplexen Zahlen:R²mit...

1. Addition:(a, b) + (c, d) := (a+c, b+d)

2. Multiplikation:(a, b)·(c, d) := (ac−bd, ad+bc)

• Inverses Element der Addition:(−a,−b)

• Inverses Element der Multiplikation:

a

a²+b²,_a₂^−b_+b₂

• Darstellung vonz∈C: z=a+ibmita, b∈R Realteil von z: Rez:=a

Imaginärteil von z: Imz:=b Konjugiert komplexe Zahl:z:=a−ib Betrag von z:|z|:= (a²+b²)¹²

Rechenregeln:

• Rez=¹₂(z+z), Imz=_2i¹(z−z)

• z∈R⇔z=z

• |z|= 0⇔z= 0

• z+w=z+w, z·w=z·w, _w¹ =_w¹

• |z|=|z|, |z|²=zz=zz

• ∆-Ungleichung: |z+w| ≤ |z|+|w|

• ||z| − |w|| ≤ |z−w|

Polarkoordinaten vonz=x+iy:z=r(cosϕ+isinϕ) =|z|(cosϕ+isinϕ)

• ϕheiÿt ein Argument von z,ϕ= argz

• ϕ∈[−π, π]mitz=|z|(cosϕ+isinϕ)heiÿt Hauptwert des Arguments,ϕ=Argz Formel von de Moivre:(cosϕ+isinϕ)ⁿ = cos(nϕ) +isin(nϕ)

n-te Wurzel ausa=|a|(cosϕ+isinϕ):zⁿ =a⇔z∈ {z0, ..., z_n−1}

• z_k:= pⁿ

|a| cos(^ϕ_n +^2kπ_n ) +isin(^ϕ_n +^2kπ_n )

, k= 0,1, ..., n−1

Topologische Begrie:(an)sei eine Folge inC.

• Beschränktheit: ∃c≥0 :|an| ≤c∀ n∈N

• Cauchyfolge: ∀ε >0 ∃n0∈N:|an−am|< ε∀n, m≥n0

• Konvergenz: ∃a∈C:|an−a| →0 (n→ ∞)

⇔(Rea_n,Ima_n)konvergiert. Dann: lima_n= limRea_n+ilimIma_n Unendliche Reihe:P∞

n=1an mit(an)∈C

• Konvergenz, Cauchykriterium, Majorantenkriterium, Wurzelkriterium, Minorantenkriterium, Quotientenkriteri- um gelten

(2)

Funktionenf :D→C

• (Ref)(z) :=Ref(z)

• (Imf)(z) :=Imf(z)

• |f|(z) :=|f(z)|

Stetigkeit inz0: ∀ ε >0 ∃δ >0 :|f(z)−f(z0)|< ε∀z∈Uδ(z0∩D)

• ⇔Ref und Imf sind inz0 stetig

• ⇔für jede Folge(zn)in D mitzn→z0:f(zn)→f(z0)

Lokalkonstanz vonϕ:M →C: ∀a∈M ∃δ=δ(a)>0 :ϕist aufU_δ(a)∩M konstant Gebiet:M ⊆Coen und zusammenhängend oder wegzusammenhängend

• M zusammenhängend:⇔jede auf M lokalkonstante Funktion ist aufM konstant Komplexe Dierenzierbarkeit in z₀ / Ableitung: ∃ lim_z→z₀ ^f(z)−f(z_z−z ⁰⁾

0

• f ist inz0=x0+iy0 = (x0, y0)komplex db⇔ f ist in(x0, y0)reell db und es gelten die Cauchy-Riemannschen Dierentialgleichungen:

1. ^∂^Re_∂x^f(z0) =^∂^Im_∂y^f(z0) 2. ^∂^Re_∂y^f(z₀) =−^∂^Im_∂x^f(z₀)

• Dann:f⁰(z0) = ^∂^Re_∂x^f(z0) +i^∂^Im_∂x^f(z0) =^∂^Im_∂y^f(z0)−i^∂^Re_∂y^f(z0) Holomorphie auf D: f ist in jedem Punktz∈D komplex db

• H(D) :={g:D→C:g ist auf D holomorph}

Punktweise Konvergenz von(f_n): ∀z∈Aist(f_n(z))konvergent

Gleichmäÿige Konvergenz von(fn): ∃f :A→Cmit: ∀ ε >0∃n0∈N:|fn(z)−f(z)|< ε∀n≥n0 ∀z∈A

• Lokal glm. Konvergenz:(fn)konvergiert auf jeder kompakten Teilmenge von A glm.

Potenzreihe:P∞

n=0a_n(z−z₀)ⁿ =:f(z)

• %:= lim suppⁿ

|a_n|undr:= ¹_%

(1) Istr= 0, so konv. die PR nur inz=z0

(2) Istr=∞, so konv. die PR in jedemz∈Cabsolut (3) Ist0< r <∞, so gilt:

(i) Die PR konvergiert in jedemz∈Ur(z0)absolut (ii) Die PR divergiert in jedemz /∈Ur(z0)

(iii) Für z∈∂Ur(z0)ist keine allg. Aussage möglich (iv) Die PR konv. aufUr(z0)lokal glm.

• f ∈H(U_r(z₀))

• 1. Ableitung:f⁰(z) =P∞

n=1na_n(z−z₀)ⁿ⁻¹∀ z∈U_r(z₀)

• k-te Ableitung:f^(k)(z) =P∞

n=kn·(n−1)·...·(n−k+ 1)·a_n·(z−z₀)^n−k Exponentialfunktion:e^z:= exp(z) :=P∞

k=0 zⁿ

n! (z∈C)

• exp⁰(z) = exp(z)∀ z∈C

• Additionstheorem:e^z+w=e^z·e^w

(3)

• e^z·e^−z= 1, e^z6= 0, e^−z= _e¹z ∀ z∈C

• z=x+i·y (x, y∈R)⇒e^z=e^xe^iy, |e^iy|= 1, |e^z|=e^x

Cosinus:cosz:= ¹₂(e^iz+e^−iz)

• ⇔cosz=P∞

n=0(−1)^{n z}_(2n)!²ⁿ

Sinus:sinz:= _2i¹(e^iz−e^−iz)

• ⇔sinz=P∞

n=0(−1)^{n z}_(2n+1)!²ⁿ⁺¹

Eigenschaften trigonometrischer Funktionen:

• cos, sin∈H(C), cos⁰z=−sinz, sin⁰z= cosz ∀z∈C

• e^iz= cosz+isinz∀ z∈Cunde^iϕ= cosϕ+isinϕ∀ϕ∈R

• Polarkoordinatendarstellung ∀z∈C\ {0}:z=|z| ·eⁱ^argz

• Additionstheoreme:cos(z+w) = coszcosw−sinzsinw, sin(z+w) = sinzcosw−sinwcosz

• cos²z+ sin²z= 1 ∀z∈C

• Weitere:

e^2kπi= 1∀k∈Z, e^2πi= 1 e^iπ+ 1 = 0

Fürz∈C: e^z= 1⇔ ∃k∈Z:z= 2kπi

e^z+2πi=e^z (Exponentialfunktion hat Periode2πi) Ein Logarithmus von w: jedesz∈Cmite^z=w, z= logw

• e^z=w⇔ ∃k∈Z:z= log|w|

| {z }

reeller Log.

+i·Argw+ 2kπi

Hauptzweig des Logarithmus: Logw:= log|w|+i·Argw

• C−:=C\ {t∈R:t≤0}

• Log ∈C(C−), Log ∈H(C−)

• Log⁰w= _w¹ ∀ w∈C−

• Log(1 +z) =P∞

n=1(−1)ⁿ⁺¹^z_nⁿ ∀z∈D

Hauptzweig der allgemeinen Potenz:w^a:=e^a·^Log^w

• f(w) :=w^a⇒f⁰(w) =a·w^a−1∀ w∈C−

Integral vonϕstetig:Rb

a ϕ(t)dt:=Rb

a Reϕ(t)dt+iRb

aImϕ(t)dt Weg:γ: [a, b]→Cstetig

• Träger: Tr(γ) :=γ([a, b])

• γ geschlossen:⇔γ(a) =γ(b)

• γ glatt:⇔γ ist auf[a, b]stetig db Weglänge:L(γ) :=Rb

a |γ⁰(t)|dt

Parametertransformation:h: [α, β]→[a, b] stetig db und bijektiv undh(α) =a, h(β) =b

(4)

Komplexes Wegintegral:R

γf(z)dz:=Rb

af(γ(t))·γ⁰(t)dt falls γglatt

• |R

γf(z)dz| ≤M ·L(γ)mitM := max_z∈_Tr_(γ)|f(z)|

• konv.(fn)auf Tr(γ)glm. gegen f⇒R

γfn(z)dz→R

γf(z)dz

• Also:lim_n→∞R

γf_n(z)dz=R

γ(lim_n→∞f_n(z)) dz Stammfunktionen:

• f besitzt auf D eine SF⇔ ∃F ∈H(D) :F⁰=f auf D

• D oen,γstückw. glatt und f besitzt auf D die SF F ⇒R

γf(z)dz=F(γ(b))−F(γ(a))

• Istγ geschlossen und stückw. glatt, D oen und f besitzt auf D die SF F⇒R

γf(z)dz= 0 Dreieck:∆ := ∆z₁,z₂,z₃:={t1z1+t2z2+t3z3:t1, t2, t3≥0, t1+t2+t3= 1}

Lemma von Goursat:

Sei∅ 6=D⊆C, D oen undf ∈H(D). Ist ∆⊆D ein Dreieck, so gilt:R

∂∆f(z)dz= 0 Sterngebiet:

• G heiÿt sternförmig:⇔ ∃z^∗∈Gmit S[z, z^∗]⊆G∀z∈G

• G oen und sternförmig⇒G Sterngebiet Cauchy'scher Integralsatz für Sterngebiete:

G⊆CSterngebiet,f ∈H(G)undγ: [a, b]→Cstückw. glatt mit Tr(γ)⊆G. Dann:

(1) f besitzt auf G eine SF F (2) R

γf(z)dz=F(γ(b))−F(γ(a)) (3) Istγ geschlossen, so istR

γf(z)dz= 0

Cauchy'sche Integralformel für Kreisscheiben:

D⊆Coen,z₀∈D, r >0undU_r(z₀)⊆D.f ∈H(D)undγ(t) :=z₀+r·e^it(t∈[0,2π]). Dann:

f(z) = 1 2πi

Z

γ

f(w)

w−z dw∀z∈Ur(z0)

• Die Werte von f inUr(z0)sind also festgelegt durch die Werte von f auf∂Ur(z0)

• Mittelwertgleichung: Fürz=z₀:f(z₀) =_2π¹ R2π

0 f(z₀+r·e^it)dt Cauchy'sche Integralformel für Ableitungen:

Sei∅ 6=D⊆C, D oen undf ∈H(D). Dann:

(1) f⁰∈H(D)

(2) f ist auf D beliebig oft komplex db

(3) Integralformeln: Istz₀∈D, r >0, U_r(z₀)⊆D undγ(t) :=z₀+r·e^it(t∈[0,2π]), so gilt:

f⁽ⁿ⁾(z) = n!

2πi Z

γ

f(w)

(w−z)ⁿ⁺¹ dw∀z∈U_r(z₀)∀ n∈N0

Satz von Morera:

Sei∅ 6=D⊆C, D oen undf ∈C(D). Dann:

f ∈H(D)⇔R

∂∆f(z)dz= 0für jedes Dreiecks∆⊆D. Cauchy'sche Abschätzungen:

Seiz0∈C, r >0, f∈H(Ur(z0))und f sei aufUr(z0)beschränkt mit M := sup_z∈U_r_(z₀₎|f(z)|. Dann:

|f⁽ⁿ⁾(z )| ≤ M·n!

∀n∈N

(5)

Satz von Lionville:

Istf ∈H(C)aufCbeschränkt, so ist f konstant.

Fundamentalsatz der Algebra:

Sein∈N, a₀, ..., a_n∈C, a_n 6= 0undp(z) :=a₀+a₁z+...+a_nzⁿ. Dann ex. ein z₀∈C:p(z₀) = 0 Potenzreihenentwicklung:

SeiD⊆Coen,f ∈H(D), z0∈D undr >0so, dassUr(z0)⊆D. Dann:f(z) =P∞

n=0an(z−z0)ⁿ ∀z∈Ur(z0)

• a_n= ^f⁽ⁿ⁾_n!^(z⁰⁾ = _2πi¹ R

γ f(w) (w−z0)ⁿ⁺¹ dw

• γ(t) =z₀+%·e^it, t∈[0,2π], 0< % < r Konvergenzsatz von Weierstraÿ

D⊆Coen,(fn)sei eine Folge inH(D)und(fn)konvergiere auf D lokal glm. gegen f :D→C. Dann:

(1) f ∈H(D)

(2) (f_n⁰)konv. auf D lokal glm. gegenf⁰ Identitätssatz für PRn:

P∞

n=0an(z−z0)ⁿ mit KRr >0, f(z) :=P∞

n=0an(z−z0)ⁿ fürz∈Ur(z0). (zk)Folge inU˙r(z0)mit zk→z0 undf(zk) = 0∀k∈N. Dann:an= 0 ∀n∈N0

Identitätssatz für holomorphe Funktionen:

G Gebiet,f ∈H(G), (z_n)Folge inG\ {z0}mit f(z_k) = 0∀k∈Nundz_k →z₀. Dann:f = 0 auf G.

• Z(f) :={z∈G:f(z) = 0}

• f ∈H(G), f 6= 0auf G undz0∈Z(f)⇒ ∃ε >0 :Uε(z0)⊆G, f(z)6= 0∀z∈U˙ε(z0)

• f ∈H(G), z₀∈Gundf⁽ⁿ⁾(z₀) = 0∀ n∈N0⇒f = 0auf G.

Satz von der Gebietstreue: Istf ∈H(G)nicht konstant, so istf(G)ein Gebiet.

Maximum-, Minimumprinzip (I):f ∈H(G)sei nicht konstant.

(1) |f|hat auf G kein lokales Maximum

(2) IstZ(f) =∅, so hat|f| auf G kein lokales Minimum.

Maximum-, Minimumprinzip (II): G beschränkt,f ∈C(G), f ∈H(G) (1) |f(z)| ≤maxw∈∂G|f(w)| ∀z∈G

(2) Istf(z)6= 0 ∀z∈G, so gilt:|f(z)| ≥min_w∈∂G|f(w)| ∀ z∈G

Ordnung / Vielfachheitmder Nullstellez0∈Z(f)vonf ∈H(G), f 6= 0:

∃g∈H(G), m∈N:f(z) = (z−z0)^m·g(z)∀ z∈Gundg(z0)6= 0 Umkehrfunktion:f ∈H(G), z₀∈G, f⁰(z₀)6= 0⇒ ∃ r >0 :U_r(z₀)⊆G,

(i) f ist aufU_r(z₀)injektiv undf⁰(z)6= 0∀z∈U_r(z₀) (ii) f(Ur(z0))ist ein Gebiet

(iii) f⁻¹∈H(f(U_r(z₀)))und(f⁻¹)⁰(w) =_f0(f⁻¹¹(w)) ∀w∈f(U_r(z₀))

Orientierter Winkel vonγ1 nachγ2 inz0:^(γ1, γ2, z0) := argγ⁰₂(0)−argγ₁⁰(0) = arg^γ

0 2(0)

γ₁⁰(0) (modulo2π)

• γ1, γ2: [0, a]→Cglatte Wege, γ_j⁰(t)6= 0∀t∈[0, a], γ1(0) =z0=γ2(0)

Winkeltreue:f ∈H(G), z₀∈Gundf⁰(z₀)6= 0.^(f◦γ₁, f◦γ₂, f(z₀)) =^(γ₁, γ₂, z₀) Konforme Abbildung vonG1auf G2:f ∈H(G1)injektiv aufG1mit f(G1) =G2

D:={z∈C:|z|<1}

(6)

Automorphismus:f :G→Gkonform. Bez:f ∈Aut(G)

• Aut(D) ={λ·Sa :λ∈∂D, a∈D}

• Sa(z) =_1−az^z−a, a∈D

Schwarzsches Lemma:f ∈H(D), f(D)⊆D, f(0) = 0⇒ |f(z)| ≤ |z| ∀z∈Dund|f⁰(0)| ≤1

• Ist|f⁰(0)|= 1oder|f(z0)|=|z0|für einz0∈D\ {0}, so ex. einλ∈∂Dmit:f(z) =λ·z Isolierte Singularität von f:z0∈D: ˙D=D\ {z0}, f∈H( ˙D)

Hebbare Singularität von f: ∃h∈H(D) :h=f aufD˙

Riemann'scher Hebbarkeitssatz: f hat inz0 eine hebbare Singularität :⇔ ∃δ >0 :Uδ(z0)⊆D und f ist aufUδ(z0)beschränkt

Polz0 von f: ∃m∈N, ∃g∈H(D) :f(z) =_(z−z^g(z)

0)^m ∀ z∈D˙ undg(z0)6= 0

• m ist eindeutig bestimmt und heiÿt Ordnung des Polsz0 von f

• |f(z)| → ∞ (z→z0)

Wesentliche Singularitätz0von f:z0 ist nicht hebbar und kein Pol von f Satz von Casorati-Weierstraÿ:

f habe inz₀eine wesentliche Singularität,δ >0 so, dassU_δ(z₀)⊆D. Dann:f( ˙U_δ(z₀)) =C Klassikation: Die isol. Singularität inz0 von f ist...

(1) hebbar :⇔ ∃δ >0 :Uδ(z0)⊆D und f ist aufUδ(z0)beschränkt (2) ein Pol von f⇔ |f(z)| → ∞(z→z₀)

(3) wesentlich⇔ ∀δ >0mitUδ(z0)⊆D gilt:f( ˙Uδ(z0)) =C

Laurent-Zerlegung:0≤r < R≤ ∞, A:={z∈C:r <|z|< R}, f∈H(A)

• Dann ex. eindeutig bestimmte Funktionen g ∈H(UR(0))und h∈H(U¹

r(0))mit f(z) =g(z) +h(¹_z)∀ z ∈ A undh(0) = 0

• g heiÿt Nebenteil von f

• z→h(¹_z)heiÿt Hauptteil von f Laurent-Entwicklung:f(z) =P∞

n=−∞a_n(z−z₀)ⁿ (z∈A)

• existiert, falls0≤r < R≤ ∞, A:={z∈C:r <|z−z₀|< R}undf ∈H(A)

• Istr < % < Rundγ(t) :=z0+%·e^it (t∈[0,2π])⇒an= _2πi¹ R

γ f(w)

(w−z0)ⁿ⁺¹ dw∀n∈Z

• Nebenteil von f:P∞

n=0an(z−z0)ⁿ

• Hauptteil von f:P∞

n=1a_−n(z−z₀)⁻ⁿ= _z−z^a⁻¹

0 +_(z−z^a⁻²

0)² +...

• D⊆Coen, z0∈D, D˙ :=D\ {z0}, f∈H( ˙D)⇒ f hat inz₀ hebbare Singularität⇔a_n= 0∀ n∈N

f hat inz0 einen Pol der Ordnungm∈N⇔a−m6= 0, a−n= 0 ∀n > m f hat inz0 eine wesentliche Singularität⇔a_−n6= 0 für unendlich vielen∈N Residuum: Res(f, z₀) =a₋₁

• Res(f, z₀) = _2πi¹ R

γf(z)dz, fallsγ(t) =z₀+%·e^it (t∈[0,2π], 0< % < R)

• Res(f, z ) = ^g^(m−1)^(z⁰⁾, fallsf(z) = ^g(z) ∀z∈D\ {z }, f, g∈H(D\ {z })

(7)

• Res(f, z0) = limz→z₀(z−z0)·f(z), fallsf wie oben mitm= 1 Vollebene: ˆ

C=C∪ {∞}

Riemann'sche Zahlenkugel:S :=

(x1, x2, x3)∈R³:x²₁+x²₂+ (x3−¹₂)²=¹₄ Stereographische Projektion:σ(N) :=∞, σ(x1, x2, x3) := _1−x^x¹

3 +i_1−x^x²

3

• σ⁻¹(∞) :=N, σ⁻¹(z) :=_1+|z|¹ 2 · Rez,Imz,|z|²

fallsz∈C Chordaler Abstand:d(z, w) :=||σ⁻¹(z)−σ⁻¹(w)||

• z, w∈C⇒d(z,∞) = (1 +|z|²)⁻¹²

• z, w∈C⇒d(z, w) = (z−w)·(1 +|z|²)⁻¹² ·(1 +|w|²)⁻¹²

Konvergenz von(z_n)gegenz₀:d(z_n, z₀)→0 (n→ ∞)

• d(z_n, z₀)→0⇔ |zn−z₀| →0

• d(zn,∞)→0⇔ |zn| → ∞

Meromorphie vonf :D→Cˆ :⇔

(i) P(f) :={z∈D:f(z) =∞}ist in Ddiskret (ii) f|_D\P(f)∈H(D\P(f))

(iii) jedesz0∈P(f)ist ein Pol von f

• M(D) :=n

f :D→Cˆ : f ist auf D meromorpho

Moebiustransformation:T : ˆC→Cˆ, T(z) := ^az+b_cz+d (z∈Cˆ, a, b, c, d∈C, ad−bc6= 0)

• Koezientenmatrix:

a b c d

=:AT

• Menge aller Moebiustransformationen:M.Mist eine Gruppe.

• T⁻¹(w) =^−dw+b_cw−a

• spezielle Moebiustransformationen:

Drehstreckung:T(z) :=az, a6= 0 Translation:T(z) :=z+a Inversion:T(z) := ¹_z

T ∈ Mlässt sich darstellen als Hintereinanderausführung von Drehstreckungen, Translationen und Inver- sionen

• SeiT ∈ M. Dann hatT einen oder zwei Fixpunkte oder es istT(z) =z. Doppelverhältnis vonz∈Cundz1, z2, z3∈C:ˆ

DV(z, z₁, z₂, z₃) :=











z−z1

z−z₃ : ^z_z²^−z¹

2−z₃ fallsz1, z2, z3∈C

z₂−z₃

z−z3 fallsz1=∞

z−z1

z−z3 fallsz₂=∞

z−z1

z2−z1 fallsz₃=∞ Kreis- und Geradengleichung:ε|z|²+αz+αz+β = 0

• Kreis fürε= 1undβ <|α|²

• Gerade fürε= 0

(8)

• T ∈ Mbildet eine Gerade oder einen Kreis auf eine Gerade oder einen Kreis ab.

KomponenteCvonD⊆Coen:C⊆D,Cist zusammenhängend und ausC⊆C₁⊆D,C₁ zsh. folgt stetsC=C₁ Umlaufzahl vonγbzgl. z: n(γ, z) := _2πi¹ R

γ dw w−z

• n(γ⁻, z) =−n(γ, z)

• n(γ, z)∈Z∀z∈D:=C\Tr(γ)

• IstC eine Komponente vonD, so istz7→n(γ, z)aufC konstant

• IstC die unbeschränkte Komponente vonD, so gilt: n(γ, z) = 0∀ z∈C Residuensatz: _2πi¹ R

γf(z)dz=Pk

j=1n(γ, zj)·Res(f, zj)

• GElementargebiet,z1, ..., zk ∈Gundf ∈H(G\ {z1, ..., zk})

• γ geschlossener, stückw. glatter Weg mit Tr(γ)⊆G\ {z1, .., zk}

Elementargebiet:G⊆CGebiet mit: ∀f ∈H(G)existiertF ∈H(G) :F⁰=f auf G Cauchy'scher Integralsatz für Elementargebiete:R

γf(z)dz= 0

• G⊆CElementargebiet, f ∈H(G)undγgeschlossener, stückw. glatter Weg mit Tr(γ)⊆G Cauchy'sche Integralformel:n(γ, z)·f(z) =_2πi¹ R

γ f(w)

w−zdw ∀z∈G\Tr(γ) Argumentenprinzip: _2πi¹ R

γ f⁰(z)

f(z) dz=Pn

j=1n(γ, aj)−Pm

j=1n(γ, bj)fürf ∈M(G), G EG

• b₁, ..., b_m: alle Pole vonf in G(jeder Pol sei so oft aufgeführt, wie seine Ordnung angibt)

• a1, ..., an: alle Nullstellen vonf in G

• γ: stückw. glatter und geschlossener Weg mit Tr(γ)⊆G\ {b1, ..., bm, a1, ..., an} Anzahl der Nullstellen vonf in Ur(z0):Nf (gezählt mit Vielfachheiten!)

• Nf =_2πi¹ R

γ f⁰(z)

f(z) dz fallsf(z)6= 0 ∀z∈Tr(γ), γ(t) :=z0+re^it, Ur(z0)⊆GGebiet Satz von Rouché: Gilt|g(z)−f(z)|<|f(z)| ∀ z∈Tr(γ), so istNf =Ng

Satz von Hurwitz:G⊆CGebiet, (fn)Folge inH(G)und(fn)konv. aufGlokal glm. gegenf :G→C. Dann:

(1) IstZ(fn) =∅ ∀n∈N⇒Z(f) =∅ oderf ≡0

(2) Sind alle(fn)auf Ginjektiv⇒f ist aufGinjektiv oderf ist aufGkonstant

Satz von Montel:D⊆Coen,(fn)eine Folge inH(D)und es gelte mit einemc≥0 :|fn(z)| ≤c∀z∈D ∀n∈N.

Dann enhält(fn)eine auf D lokal glm. konvergente Teilfolge.

Konform-Äquivalenz zweier GebieteG₁, G₂⊆C:G₁∼G₂:⇔ ∃f ∈H(G₁) :f(G₁) =G₂, f ist aufG₁injektiv Riemann'scher Abbildungssatz: SeiG⊆Cein Gebiet. DannG∼D:⇔G6=CundGist ein EG

Charakterisierung von Elementargebieten I: GebietGhat die Eigenschaft(W)

• Eigenschaft(W): ∀f ∈H(G)mit Z(f) =∅ ∃g∈H(G) :g²=f aufG HomotopieH vonγ₀nach γ₁ inD⊆Coen:H : [0,1]²→C:H([0,1]²)⊆D

• H stetig,H(t,0) =γ₀(t),H(t,1) =γ₁(t)∀t∈[0,1]

• H(0, s) =γ0(0) =γ1(0)∀ s∈[0,1]

• H(1, s) =γ (1) =γ (1)∀ s∈[0,1]

(9)

• γ0undγ1 homotop⇔γ0 kann inD stetig nachγ1deformiert werden Punktweg:γz₀(t) :=z0(t∈[0,1], z0:=γ(0) =γ(1), γ : [0,1]→Cgeschl. Weg) Nullhomotopie vonγauf D:γundγz₀ sind inD homotop

• γ lässt sich inD stetig auf einen Punkt zusammenziehen

• ist jeder geschlossene Wegγ: [0,1]→Cmit Tr(γ)⊆GinGnullhomotop, so heiÿt G einfach zusammenhän- gend (Ghat keine Löcher)

• Konvexe Gebiete sind einfach zusammenhängend Cauchyscher Integralsatz I:R

γ₀f(z)dz=R

γ₁f(z)dz

• D⊆Coen,f ∈H(D)undγ₀, γ₁: [0,1]→CWege mit Tr(γ₀) =Tr(γ₁)⊆D,γ₀(0) =γ₁(0)undγ₀(1) =γ₁(1)

• γ0undγ1 homotop

Cauchyscher Integralsatz II:R

γf(z)dz= 0

• D⊆Coen, f ∈H(D)undγgeschlossener Weg mit Tr(γ)⊆D sowieγ nullhomotop inD Cauchycher Integralsatz III:R

γf(z)dz= 0

• G⊆Ceinfach zsh. Gebiet,f ∈H(G)undγgeschlossener Weg mit Tr(γ)⊆G

Charakterisierung von Elementargebieten II+III:G⊆CGebiet, dann ist äquivalent:

(1) Gist ein Elementargebiet (2) Gist einfach zusammenhängend (3) R

γf(z)dz= 0∀f ∈H(G)und für jeden geschlossenen Wegγ mit Tr(γ)⊆G (4) ∀f ∈H(G)mit Z(f) =∅ ∃g∈H(G) :e^g=f auf G

(5) ∀f ∈H(G)mit Z(f) =∅ ∃g∈H(G) :g²=f aufG (6) G=CoderG∼D

Inneres vonγ geschl. Weg:Int(γ) :={z∈C\Tr(γ) :n(γ, z)6= 0}

Äuÿeres vonγgeschl. Weg: Ext(γ) :={z∈C\Tr(γ) :n(γ, z) = 0}

Nullhomologie vonγ inG:n(γ, z) = 0 ∀z∈C\G

• ⇔Int(γ)⊆G

• Wegγ geschlossen nullhomolog in G⇒γ nullhomolog inG

• Geinfach zusammenhängend⇒γ nullhomolog inG

Allgemeine Cauchy'sche Integralformel:n(γ, z)·f(z) =_2πi¹ R

γ f(w)

w−zdw ∀f ∈H(G)∀ z∈G\Tr(γ)

• γ geschlossener Weg mit Tr(γ)⊆G, γ nullhomolog inG CIS, Homologieversion I:γgeschl. Weg mit Tr(γ)⊆G. Dann:

• R

γf(z)dz= 0∀f ∈H(G)⇔γist in Gnullhomolog.

CIS, Homologieversion II:R

γ1f(z)dz=R

γ2f(z)dz∀ f ∈H(G)

• γ1, γ2 geschlossene Wege mit Tr(γ1),Tr(γ2)⊆G

• γ1, γ2 inGhomolog (:⇔n(γ1, z) =n(γ2, z)∀z∈C\G)