Kapitel 10 Anhang: Wichtige Formeln

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Kapitel 10

Anhang: Wichtige Formeln

10.1 Kommutatoren

Wir fassen wichtige Formeln für Kommutatoren [ Â,B]ˆ ≡ AˆBˆ − BÂˆ quantenmechanischer Operatoren Â,B,ˆ Cˆ zusammen. Beziehungen 1.-4. zeigt man elementar durch direkte Rechnung.

1. [ ˆA,Bˆ] =−[ ˆB,Aˆ]

2. [ Â,Bˆ+ ˆC] = [ Â,Bˆ] + [ Â,Cˆ]

3. Kommutatoren mit Operator-Produkten:

[ ÂB,ˆ Cˆ] = Â[ ˆB,Cˆ] + [ Â,Cˆ] ˆB (10.1) [ Â,BˆC] = ˆˆ B[ Â,C] + [ ˆˆ A,Bˆ] ˆC (10.2) 4. verschachtelte Kommutatoren: [ Â,[ ˆB,Cˆ]] + [ ˆB,[ ˆC,Aˆ]] + [ ˆC,[ Â,Bˆ]] = 0

5. Verallgemeinerung von 3., Glg. (10.2):

[ ˆA,Bˆⁿ] =

n−1

X

s=0

Bˆ^s[ ˆA,B] ˆˆ Bⁿ⁻^s⁻¹ (10.3) Dies zeigt man durch mehrfache Benutzung von Formel (10.2).

6. Der Kommutator [ ˆA, f( ˆB)] berechnet sich analog, durch Anwendung von Formel (10.3) , vorausgesetzt die Funktion f besitzt eine konvergierende Taylor-Reihe.

10.2 Translationsoperatoren

Exponential-Operatoren der Formeⁱ^Aa^ˆ generieren Verschiebungen uma. Der Grund ist, dass die Taylor-Reihe der Exponentialfunktion mit der Taylor-Entwicklung der verschobenen Funktion an der Stelle a= 0 ¨ubereinstimmt.

1. Insbesondere ist

eⁱ^~^p^ˆ^a = ˆTa (10.4)

Tˆaf(r) = f(r+a)

der Translationsoperator im dreidimensionalen Raum um den Vektora, d.h. der Impuls- operator generiert lineare Translationen.

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246 KAPITEL 10. ANHANG: WICHTIGE FORMELN 2. Analog findet man den Rotationsoperator um die Achsee_z, d.h. den “Translationsopera-

tor” um einen Winkel α

e^~ⁱ^L^ˆ^z^α= ˆT_α^z (10.5)

Tˆ_α^zf(φ) =f(φ+α),

d.h. der Drehimpusoperator ˆL_i generiert Rotationen im die Achse e_i. 3. Analog findet man den Translationsoperator im Zeitraum:

e^~ⁱ^Hdt^ˆ = ˆU(t+dt, t) = ˆT_dt^t (10.6) Tˆ_dt^tf(t) =f(t+dt)

Der Hamiltonoperator ist also der Generator infinitesimaler Zeitverschiebungen, und der Operator (10.6) ist der Zeitentwicklungsoperator ˆU.

10.3 Eigenschaften von Exponentialoperatoren

Exponentialoperatoren, die Summen von Operatoren enthalten, spielen eine wichtige Rolle.

Beispiele sind der Zeitentwicklungsoperator oder der Dichteoperator, die den Hamiltonoperator enthalten, der i.a. aus mehreren Summanden besteht. Es gilt folgende Identit¨at

e^{A+ ˆ}^ˆ ^B =e^A^ˆ·e^B^ˆ ·e^C^ˆ (10.7) Wir betrachten folgende F¨alle

1. [ ˆA,Bˆ] = 0, dann gilt ˆC ≡0.

2. Es gelte [ Â,[ Â,B]] = [ ˆˆ B,[ ˆB,A]] = 0 . Dann folgt ˆˆ C =−¹₂[ Â,Bˆ].

3. Im allgemeinen Fall folgt die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel:

Cˆ = 1

2[ ˆA,B] +ˆ 1 12

n[ ˆA,[ ˆA,B]] + [ ˆˆ B,[ ˆB,A]]ˆ o

− 1

24[ ˆB,[ ˆA,[ ˆA,B]]]+ˆ (10.8) Weitere Terme und der Beweis finden sich auf Wikipedia.

Eine weitere n¨utzliche Relation ist die Zassenhaus-Formel e^t(X+Y⁾ =e^tX e^tY e⁻^t

2

2[X,Y] e^t

3

6(2[Y,[X,Y]]+[X,[X,Y]])

×e⁻^t

4

24 ([[[X,Y],X],X]+3[[[X,Y],X],Y]+3[[[X,Y],Y],Y])

· · · (10.9)

Schließlich geben wir noch die Trotterformel (Lie, Suzuki, Trotter) an e^A+B = lim

N→∞

he^N¹^(A+B)iN

(10.10)

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