¨Ubungsblatt 1 Theoretische Physik III: Elektrodynamik SS 2014

(1)

Ubungsblatt 1 ¨

Theoretische Physik III: Elektrodynamik SS 2014

Fakult¨ at Mathematik und Physik, Universit¨ at Stuttgart Prof. Dr. Dr. R. Hilfer

A. Lemmer (andreas.lemmer@icp.uni-stuttgart.de)

Aufgabe 1 (Votieraufgabe) 4 Punkte

Leiten Sie die folgenden Beziehungen her:

1. Gradient eines Skalarprodukts:

∇(a · b) = (b · ∇)a + (a · ∇)b + b × (∇ × a) + a × (∇ × b) (1) 2. Divergenz eines Vektorprodukts:

∇ · (a × b) = b · (∇ × a) − a · (∇ × b) (2) 3. Rotation eines Vektorprodukts:

∇ × (a × b) = (b · ∇)a − b(∇ · a) − (a · ∇)b + a(∇ · b) (3) 4. Laplace-Operator:

∆a = ∇(∇ · a) − ∇ × (∇ × a) (4)

mit ∆ := ∇ · ∇.

Aufgabe 2 (Votieraufgabe) 3 Punkte

Die zeitabh¨ angigen Vektorfelder E(r, t), B(r, t) mit r ∈ R

³

, t ∈ R erf¨ ullen die Gleichung

∇ × E = − ∂

∂t B. (5)

Zeigen Sie: Wenn B(r, t) = 0 f¨ ur alle r zu einem Zeitpunkt t = t

₀

, dann gilt

∇ · B ≡ 0 (6)

f¨ ur allen Zeiten t ∈ R .

1

(2)

Aufgabe 3 (Hausaufgabe) 8 Punkte Zur mathematischen Beschreibung von Punktteilchen (Punktladungen, -massen) verwen- det man die sog. Dirac’sche δ-Funktion δ(x). Sie ist keine Funktion im gew¨ ohnlichen Sinne, sondern eine verallgemeinerte Funktion (Distribution).

(a) Gegeben sei eine stetige Funktion f : R → C und eine Folge glatter Funktionen δ

_n

: R → [0, ∞) f¨ ur n ∈ N mit den folgenden Eigenschaften:

n→∞

lim δ

_n

(x) = 0 f¨ ur x 6= 0 (1a)

Z

R

δ

_n

(x)dx = 1 f¨ ur alle n ∈ N (1b)

f (x)δ

_n

(x), n ∈ N ist integrierbar und f¨ ur jedes s > 0

gibt es integrierbare Funktionen g : R \(−s, s) → [0, ∞) (1c) mit |f (x)δ

n

(x)| ≤ g(x) f¨ ur alle n ∈ N .

Zeigen Sie,

(1) dass die Funktionenfolgen

δ

_1,n

(x) := n exp(−πn

²

x

²

) und (2a) δ

_2,n

(x) := n

π(n

²

x

²

+ 1) (2b)

die Eigenschaften (1a) und (1b) erf¨ ullen. Skizzieren Sie δ

_1,n

und δ

_2,n

als Funktio- nen von x und diskutieren Sie die Abh¨ angigkeit von n ∈ N . Welche der Funktio- nenfolgen erf¨ ullen die Eigenschaft (1c) f¨ ur f (x) := x

²

?

(2) dass aus den Eigenschaften (1a) – (1c)

n→∞

lim Z

b

a

f(x)δ

_n

(x)dx =

( f(0) , 0 ∈ (a, b)

0 , 0 ∈ / [a, b] (3)

folgt. Insbesondere kommt es also nicht auf die konkrete Wahl der δ

_n

an. Beachten Sie, dass die F¨ alle a = 0 und b = 0 unbestimmt bleiben.

Hinweis: Eigenschaft (1c) stellt sicher, dass der Grenz¨ ubergang n → ∞ und eine Integration ¨ uber [a, b]\(−s, s) vertauscht werden d¨ urfen.

2

(3)

(b) Die Dirac’sche δ-“Funktion” wird durch den symbolischen Grenz¨ ubergang “δ(x) :=

n→∞

lim δ

_n

(x)” veranschaulicht, der so zu verstehen ist, dass er nach einer Integration bzgl. x zu vollziehen ist (vgl. (3)):

Z

b

a

f (x)δ(x − y)dx = lim

n→∞

Z

b

a

f (x)δ

_n

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Ubungsblatt 1 ¨

Theoretische Physik III: Elektrodynamik SS 2014

Fakult¨ at Mathematik und Physik, Universit¨ at Stuttgart Prof. Dr. Dr. R. Hilfer

A. Lemmer (andreas.lemmer@icp.uni-stuttgart.de)

Aufgabe 1 (Votieraufgabe) 4 Punkte

Leiten Sie die folgenden Beziehungen her:

1. Gradient eines Skalarprodukts:

∇(a · b) = (b · ∇)a + (a · ∇)b + b × (∇ × a) + a × (∇ × b) (1) 2. Divergenz eines Vektorprodukts:

∇ · (a × b) = b · (∇ × a) − a · (∇ × b) (2) 3. Rotation eines Vektorprodukts:

∇ × (a × b) = (b · ∇)a − b(∇ · a) − (a · ∇)b + a(∇ · b) (3) 4. Laplace-Operator:

∆a = ∇(∇ · a) − ∇ × (∇ × a) (4)

mit ∆ := ∇ · ∇.

Aufgabe 2 (Votieraufgabe) 3 Punkte

Die zeitabh¨ angigen Vektorfelder E(r, t), B(r, t) mit r ∈ R

, t ∈ R erf¨ ullen die Gleichung

∇ × E = − ∂

∂t B. (5)

Zeigen Sie: Wenn B(r, t) = 0 f¨ ur alle r zu einem Zeitpunkt t = t

, dann gilt

∇ · B ≡ 0 (6)

f¨ ur allen Zeiten t ∈ R .

1

Aufgabe 3 (Hausaufgabe) 8 Punkte Zur mathematischen Beschreibung von Punktteilchen (Punktladungen, -massen) verwen- det man die sog. Dirac’sche δ-Funktion δ(x). Sie ist keine Funktion im gew¨ ohnlichen Sinne, sondern eine verallgemeinerte Funktion (Distribution).

(a) Gegeben sei eine stetige Funktion f : R → C und eine Folge glatter Funktionen δ

: R → [0, ∞) f¨ ur n ∈ N mit den folgenden Eigenschaften:

lim δ

(x) = 0 f¨ ur x 6= 0 (1a)

Z

δ

(x)dx = 1 f¨ ur alle n ∈ N (1b)

f (x)δ

(x), n ∈ N ist integrierbar und f¨ ur jedes s > 0

gibt es integrierbare Funktionen g : R \(−s, s) → [0, ∞) (1c) mit |f (x)δ

(x)| ≤ g(x) f¨ ur alle n ∈ N .

Zeigen Sie,

(1) dass die Funktionenfolgen

δ

(x) := n exp(−πn

x

) und (2a) δ

(x) := n

π(n

x

+ 1) (2b)

die Eigenschaften (1a) und (1b) erf¨ ullen. Skizzieren Sie δ

und δ

als Funktio- nen von x und diskutieren Sie die Abh¨ angigkeit von n ∈ N . Welche der Funktio- nenfolgen erf¨ ullen die Eigenschaft (1c) f¨ ur f (x) := x

?

(2) dass aus den Eigenschaften (1a) – (1c)

lim Z

f(x)δ

(x)dx =

( f(0) , 0 ∈ (a, b)

0 , 0 ∈ / [a, b] (3)

folgt. Insbesondere kommt es also nicht auf die konkrete Wahl der δ

an. Beachten Sie, dass die F¨ alle a = 0 und b = 0 unbestimmt bleiben.

Hinweis: Eigenschaft (1c) stellt sicher, dass der Grenz¨ ubergang n → ∞ und eine Integration ¨ uber [a, b]\(−s, s) vertauscht werden d¨ urfen.

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(b) Die Dirac’sche δ-“Funktion” wird durch den symbolischen Grenz¨ ubergang “δ(x) :=

lim δ

(x)” veranschaulicht, der so zu verstehen ist, dass er nach einer Integration bzgl. x zu vollziehen ist (vgl. (3)):

Z

f (x)δ(x − y)dx = lim

Z

f (x)δ

(x − y)dx =

( f (y) , y ∈ (a, b)

0 , y / ∈ [a, b] (4) Das Integral in Gl. (4) ist ein lineares Funktional von f und wird δ-Distribution genannt.

Zeigen Sie:

(1)

d

dx Θ(x − y) = δ(x − y), wobei Θ die Heavyside-Funktion

Θ(x) =

( 1 , x > 0 0 , x < 0 ist.

(2)

δ(h(x)) = X

δ(x − x

)

|h