A) Der Kompaktheitssatz der Prädikatenlogik erster Stufe

1. Notizen zu Nichtstandardmodellen

Zusätzlich zu den handschriftlichen Notizen präsentieren wir hier eine detailliertere Ausar- beitung zu Nichtstandardmodellen.

Beispielsweise zeigen wir hier die Existenz eines Nichtstandardmodells der Arithmetik. Un- endliche Strukturen haben immer Nichtstandardmodelle, und die Art und Weise wie ihre Existenz bewiesen wird, folgt meistens dem gleichen Schema, welches hier vorgestellt wird.

A) Der Kompaktheitssatz der Prädikatenlogik erster Stufe

Das wichtigste Werkzeug für den Beweis der Existenz von Nichtstandardmodellen ist der Kompaktheitssatz der Prädikatenlogik (erster Stufe).

1.1 Satz SeiΣ⊆FO(

S)

eine Menge von Formeln, seiA ∈FO( S)

eine Formel. Dann gilt:

a) Σist erfüllbar, gdw. jede endliche TeilmengeΣ^fin⊆Σerfüllbar ist.

b) Σist unerfüllbar, gdw. es eine endliche TeilmengeΣ^fin ⊆Σgibt, die unerfüllbar ist.

c) Σ|=Agilt, gdw. es eine endliche TeilmengeΣ^fin⊆Σgibt, so dassΣ^fin|=Agilt.

Der Beweis funktioniert, in dem man die Formeln inΣgeeignet transformiert (Gleichheit eli- minieren, Skolemform), die Herbrand-Expansion anwendet und dann den Kompaktheitssatz der Aussagenlogik verwendet. Für die Details verweisen wir auf die entsprechenden hand- schriftlichen Aufzeichnungen.

B) Nichtstandardmodell der Arithmetik

Sei S eine Signatur, und sei M = (D,I) eine S-Struktur. Ein Nichtstandardmodell zuM ist eine Struktur N, welche die selben abgeschlossen Formeln erfüllt, sich auf den nicht- abgeschlossenen Formeln aber anders verhält. Wir werden dies im Folgenden präzisieren.

Wir bezeichnen mitT_Mdie Menge aller abgeschlossenen Formeln, die vonMwahr gemacht werden, also

T_M ={

A∈FO(

S) Aabgeschlossen,MJAK = 1} . (Diese Menge wird auch dieTheorie vonMgenannt.)

Wir wollen nun eine StrukturN finden mitT_M =T_N, die sich auf den nicht-abgeschlossenen Formeln anders verhält alsM.

Exemplarisch betrachten wir hier die (Presburger-)Arithmetik.

1.2 Definition

Die Signatur derArithmetik ohne Multiplikation(mit Kleiner-Gleich) ist S_PA =({

0_/0, 1_/0, +_/2} ,{

≤_/2}) .

Mit ihr lassen sich Gleichungen und Ungleichungen von Summen ausdrücken, in denen Va- riablen und die Konstanten 0 und 1 vorkommen.

Beachte, dass sich jede natürliche Zahlnentweder als 0 oder als 1 +| {z }. . .+ 1

nMal

schreiben lässt.

1.3 Definition

Presburger-Arithmetik ist dieS_PA-StrukturM_PA = (N,I), wobei Ndie Menge der natürli- chen Zahlen ist, undIdie Symbole wie erwartet interpretiert:

• 0^MPA = 0∈N,

• 1^MPA = 1∈N,

• füre,d∈Niste+^MPA d=e+d ∈N,

• füre,d∈Nist (e≤^MPA d) = 1 gdw.e≤dinN.

Sei nunT_MPAwie oben definiert die Menge aller abgeschlossenen Formeln überS_PA, die in Presburger-Arithmetik wahr sind.

Wir definieren nun die Menge von Formeln Σ=T_MPA ·∪

{

1 +. . .+ 1

| {z }

n

≤x

n∈N,n≥1 }

. Statt 1 +| {z }. . .+ 1

n

≤xschreiben wir auchn≤x, d.h.

Σ=T_MPA ·∪{

n≤xn∈N,n≥1} .

Beachte, dass die Variablexin den Formeln nicht quantifiziert ist, wir haben also nun nicht- abgeschlossene Formeln zuT_MPA hinzugefügt. Um eine Formeln ≤ xzu erfüllen, müssen wir eine Belegungσdefinieren mitσ(x)≥n, z.B.σ(x) =n.

Im Folgenden wollen wir zeigen:

1. Σist erfüllbar; Es gibt eine StrukturN und eine Belegungσ, so dassN,σ|=Σ.

2. So einNverhält sich auf den abgeschlossenen Formeln genau wie Presburger-Arithmetik.

3. Nverhält sich auf den nicht-abgeschlossenen Formeln anders als Presburger-Arithmetik.

Dabei werden wir

1. mit Hilfe des Kompaktheitssatzes beweisen, 2. ist leicht zu sehen, daT_MPA ⊆Σ,

3. diskutieren wir später im Detail.

1.4 Satz Σist erfüllbar.

Beweis:

SeiΣ^fin⊆Σeine beliebige endliche Teilmenge. Wir können eine Zerlegung finden, Σ^fin =Σ^′∪·Σ^′′

so dassΣ^′die abgeschlossenen Formeln ausT_MPAenthält, undΣ^′′die nicht-abgeschlossenen Formeln, die hinzugefügt wurden, d.h.

Σ^′ ⊆ T_MPA, Σ^′′ ⊆ {

1 +. . .+ 1

| {z }

n

≤x n≥1

} .

Die Formeln inΣ^′′sind alle von der Formn≤xfür einn∈N. DaΣ^finendlich war, istΣ^′′auch endlich, das heißt wir können die vorkommendennexplizit auflisten:

Σ^′′ ={

n₁≤x,. . .,n_k ≤x} .

Wir wollen nun zeigen, dass die Presburger-ArithmetikM_PAzusammen mit einer geeigneten Belegungσdie FormelmengeΣ^finerfüllt.

Definiere dazu die Belegungσmit

σ(x) = max

j=1,...,kn_i,

d.h. wir belegenxmit der größten Zahln, so dassn≤xinΣ^′′vorkommt.

Behauptung:M_PA,σ|=Σ^fin. Beweis der Behauptung:

Es giltM_PA |=T_MPAgemäß der Definition vonT_MPA. DaΣ^′ ⊂ T_MPAeine Teilmenge ist, gilt auchM_PA |= Σ^′. Da alle Formeln inΣ^′abgeschlossen sind und daher eine Belegung ihren Wahrheitswert nicht beeinflusst, gilt auchM_PA,σ|=Σ^′.

Betrachte nun eine beliebige Formeln_i ≤xausΣ^′′. Nach der Definition vonσ(x) giltσ(x)≥n für alle n, die in Σ^′′ vorkommen, insbesondere ist also n_i ≤ σ(x) wahr. Dan_i ≤ xbeliebig gewählt wahr, gilt nunM_PA,σ|=Σ^′′.

DaΣ^fin =Σ^′∪Σ^′′, undM_PAundσbeide Teile der Zerlegung erfüllen, gilt auchM_PA,σ|=Σ^fin. Dies beendet den Beweis der Behauptung.

Wir haben nun gezeigt, dass jede beliebig gewählte endliche TeilmengeΣ^fin ⊆ Σerfüllbar ist. Mit dem Kompaktheitssatz er Prädikatenlogik ist damit auchΣselbst erfüllbar.

DaΣerfüllbar ist, gibt es eine StrukturN und eine Belegungσ, so dassN,σ |= Σ. Für jede endliche Teilmenge konnten wir als erfüllende Struktur die Presburger-ArithmetikM_PAver- wenden. Man könnte nun erwarten, dass auch ganzΣselbst vonM_PAmit einer geeigneten Belegung erfüllt werden kann Der folgende Satz zeigt, dass dies nicht der Fall ist.

1.5 Satz

Es gibt keine Belegungσ, so dass die Presburger-Arithmetik zusammen mitσdie Formelmen- geΣerfüllt.

Beweis:

Angenommen es gäbeσ, so dassM_PA,σ|=Σ.

Sein^′ ∈Ndie natürliche Zahl, mit derσdie Variablexbelegt, alsoσ(x) = n^′. Wir betrachten die Formeln^′+ 1≤xausΣ. (Formal: 1 +| {z }. . .+ 1

(n^′+1) Mal

≤x).)

DaM_PAzusammen mitσganzΣerfüllt, erfüllen sie insbesondere auch diese Formel. Es gilt aber

M_PAq

n^′+ 1≤xy (σ) =

(

n^′+ 1≤^MPA σ(x) )

= (

n^′+ 1≤^MPA n^′ )

= 0 . Dies ist ein Widerspruch zur Annahme.

Wir sehen also, dass sichM_PAanders verhält als jedes erfüllende StrukturNfürΣ. Wir werden dies später weiter präzisieren.

Zunächst aber sehen wir, dass sichN auf den abgeschlossenen Formeln genau wie M_PA verhält.

1.6 Definition

Zwei StrukturenN = (D,I) undN^′ = (D^′,I^′) über der selben SignaturSheißenelementar äquivalent, wenn sie die gleichen geschlossenen Formeln erfüllen, also wenn für jede abge- schlossene FormelA∈FO(S) gilt:

N |=Agenau dann, wennN^′ |=A.

Elementare Äquivalenz lässt sich auch mittels der Theorien ausdrücken.

1.7 Lemma

ZweiS-StrukturenN undN^′sind elementar äquivalent, gdw.T_N =T_N′. Beweis:

Folgt direkt aus den Definitionen.

1.8 Satz

SeiM_PAwieder die Presburger-Arithmetik und seiN eineS_PA-Struktur, so dass es eine Bele- gung gibt mitN,σ|=Σ.

M_PAundN sind elementar äquivalent.

Beweis:

Wir zeigenT_MPA =T_N, in dem wir beide Inklusionen beweisen.

Eine Inklusion,T_MPA ⊆ T_N, ist klar:

Es gibt eine Belegungσ, so dassN mitσdie FormelmengeΣerfüllt.T_MPAist eine Teilmenge vonΣ, und enthält nur abgeschlossene Formeln, also giltN |=T_MPA. Gemäß der Definition vonT_N gilt dann aberT_MPA ⊆ T_N.

Für die andere Inklusion,T_MPA ⊇ T_N, führen wir einen Widerspruchsbeweis, in dem wir die Vollständigkeit vonT_MPAausnutzen.

Angenommen die Inklusion würde nicht gelten, d.h. es gäbe eine abgeschlossene FormelA mitA ∈ T_N, aberA̸∈ T_MPA. DaAabgeschlossen ist, ist der WahrheitswertMPAJAKvon der Belegung unabhängig.M_PAJAK = 1 kann nicht gelten, da sonst A ∈ T_MPA gelten würde.

Also giltM_PAJAK = 0, damit machtM_PAaber dann die Negation vonAwahr,M_PAJ¬AK = 1.

Es gilt also gemäß der Definition vonT_MPA, dass¬A∈ T_MPA.

Die InklusionT_MPA ⊆ T_N hatten wir bereits gezeigt, es gilt also¬A ∈ T_N. Gemäß der Defi- nition vonT_N gilt nunNJ¬AK= 1.

Wir hatten aber auch angenommen, dassA ∈ T_N, und damitNJAK = 1. Wir erhalten einen Widerspruch:NJ¬AK= 1 undNJAK= 1 können nicht gleichzeitig gelten.

Zum Abschluss wollen wir noch den Fakt, dassN undMsich unterscheiden, formalisieren.

1.9 Definition

ZweiS-StrukturenN = (D,I) undN^′ = (D^′,I^′) heißenisomorph, wenn es eine bijektive Abbildungφ:D→D^′gibt mit

p^N(d₁,. . .,d_k) =p^N′(φ(d₁),. . .,φ(d_k)) für alled₁,. . .,d_k ∈D, und φ(f^N(d₁,. . .,d_ℓ)) =f^N′(φ(d₁),. . .,φ(d_ℓ)) für alled₁,. . .,d_ℓ ∈D .

für jedesk-stellige Prädikatssymbolpund jedesℓ-stellige Funktionssymbolf.

Bijektiv bedeutet, dass jedem Element vonDgenau ein Element vonD^′zugeordnet wird und umgekehrt.

1.10 Satz

SeiM_PAwieder die Presburger-Arithmetik und seiN eineS_PA-Struktur, so dass es eine Bele- gung gibt mitN,σ|=Σ.

M_PAundN sind nicht isomorph.

Beweis:

Wähle eine StrukturN = (D_N,I_N) und die BelegungσmitN,σ |= Σ. Beachte, dassN wie oben gezeigt zur Presburger-ArithmetikMPAelementar äquivalent ist.

AngenommenN undM_PAwären isomorph. Dann gäbe es einen Isomorphismus, also eine bijektive Abbildung

φ:D_N →N

welche die Auswertung von Prädikaten und Funktionen respektiert.

Dieser Isomorphismus weist insbesondereσ(x) einen Wert zu, wir wählen m=φ(σ(x)) .

DaN,σ|=Σwird der folgende Ausdruck zu wahr ausgewertet:

1^N +^N . . .+^N 1^N

| {z }

n

≤^N σ(x) für allen∈N.

(Hierbei sei 1^N der Wert im Datenbereich vonN, zu dem das Funktionssymbol 1 ausgewertet wird, und +^N,≤^N die Interpretationen von +,≤inN.)

Da der Isomorphismus mit dem Auswerten von Prädikaten und Funktionen kompatibel ist, wird auch der folgende Ausdruck zu wahr ausgewertet:

φ(1^N) +^MPA . . .+^MPAφ(1^N)

| {z }

n

≤^MPA=φ(σ(x)) für allen∈N.

Angenommenφ(1^N)̸= 0∈N, alsoφ(1^N)≥1. Dann erhalten wir insbesondere m+ 1≤^MPA φ(1| ^N) +^MPA. . .{z +^MPA φ(1^N})

m+1 Mal

.

Gleichzeitig gilt aber für die Wahln=m+ 1

φ(1^N) +^MPA . . .+^MPA φ(1^N)

| {z }

nMal

≤^MPA m.

Daraus folgtm+ 1 ≤ min Presburger-Arithmetik und wir haben einen Widerspruch herge- leitet.

Es muss alsoφ(1^N) = 0 gelten.

Angenommenφ(0^N) = 0, dann folgt wegen der Bijektivität vonφdie Gleichheit 0^N = 1^N. Dies ist ein Widerspruch, da dann die abgeschlossene Formel 0 = 1 in der StrukturN wahr ist, jedoch in Presburger-Arithmetik nicht.

Also muss

φ(0^N) =kfür eink∈N,k̸= 0 gelten.

Die geschlossene Formel¬(1 ≤ 0) ist in Presburger-Arithmetik wahr, sie muss also auch in N wahr sein, daM_PA undN elementar äquivalent sind. Dementsprechend ist die Formel 1 ≤ 0 inN nicht erfüllt. Aufgrund der der Definition von Isomorphismus gilt aber, dass die Wahrheitswerte

(

1^N ≤^N 0^N)

=(

φ(1^N)≤^MPA φ(0^N))

=(

0≤^N k)

übereinstimmen und damit auch 0 ≤kin Presburger-Arithmetik nicht erfüllt ist. Dies ist ein Widerspruch, denn 0≤kgilt fürk> 0 gilt natürlich.