Formale Modellierung Vorlesung 4 vom 04.05.15: Prädikatenlogik erster Stufe

Formale Modellierung

Vorlesung 4 vom 04.05.15: Prädikatenlogik erster Stufe

Christoph Lüth

Universität Bremen

Sommersemester 2015

Fahrplan

I Teil I: Formale Logik

I Einführung

I Aussagenlogik (PL): Syntax und Semantik, Natürliches Schließen

I Konsistenz & Vollständigkeit der Aussagenlogik

I Prädikatenlogik (FOL): Syntax und Semantik

I Konsistenz & Vollständigkeit von FOL

I FOL mit induktiven Datentypen

I FOL mit rekursiven Definitionen

I Logik höherer Stufe (HOL): Syntax und Eigenschaften

I Berechungsmodelle (Models of Computation)

I Die Unvollständigkeitssätze von Gödel

I Teil II: Spezifikation und Verifikation

Das Tagesmenü

I Von Aussagenlogik zur Prädikatenlogik

I Logik mitQuantoren

I Semantikder Prädikatenlogik

I Natürliches Schließenmit Quantoren

Eine Beispielspezifikation

Das Flugbuchungssystem

Das Flugbuchungssystemsoll eine Menge von Flügen verwalten, Anfragen beantworten und Buchungen vornehmen.

Ein Flughat einen Startflughafen und ein Zielflughafen (durch ihr IATA-Kürzel repräsentiert), eine eindeutige Kennung, einen Starttermin, eine Ankunftsermin, sowie eine Anzahl von verfügbaren Plätzen.

Eine Flugbuchungfür einen durch die Flugnummer und Starttermin identifizierten Flug soll eine Anzahl von Plätzen auf diesem Flug

reservieren. Sind die verfügbaren Plätze für einen Flug erschöpft, können keine weiteren Buchungen vorgenommen werden.

Eine Anfrage besteht aus den Daten (Start, Ziel, Datum) für einen Flug, und liefert die Anzahl freier Plätze auf diesem Flug zurück.

Beschränkungen der Aussagenlogik

I Beschränkungder Aussagenlogik:

I Die Menge unserer Atome istunstrukturiertundflach.

I Wir können nicht zwischenLogik(Meta-Ebene) undObjektunterscheiden.

I Wir können keinestrukturellenEigenschaften beschreiben.

I Wir können keine Aussagen überExistenz von Objekten machen.

I Ziel: Formalisierung von Aussagen wie

I “Ein Flug hat eineeindeutigeKennung.”

I “AlleMenschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Also ist Sokrates sterblich.”

I “AlleZahlen sind ein Produkt von Primfaktoren.”

Prädikatenlogik: Erweiterung der Sprache

I Termebeschreiben die zu formalisierenden Objekte.

I Formelnsind logische Aussagen.

I EineSignatur Σ beschreibt Prädikate und Funktionen:

I Prädikatensymbole: P₁, . . . ,P_n,= mit˙ Aritätar(P_i)∈N,ar( ˙=) = 2

I Funktionssymbole:f₁, . . . ,f_mmitAritätar(t_i)∈N

I MengeX vonVariablen (abzählbar viele)

I Konnektive:∧,−→,⊥,∀,abgeleitet:∨,←→,¬,←→,∃

I DieTrennungzwischenTermen und Formelnist der wesentliche Abstraktionsschritt in der Prädikatenlogik.

Terme

I MengeTerm_Σ der Terme(zur Signatur Σ) gegeben durch:

I Variablen:X ⊆ TermΣ

I Funktionssymbolf ∈Σ mitar(f) =nundt1, . . . ,tn∈ TermΣ, dann f(t1, . . . ,tn)∈ TermΣ

I Sonderfall:n= 0, dann istf eineKonstante,f ∈ TermΣ

Formeln

I MengeForm_Σ der Formeln(zur Signatur Σ) gegeben durch:

I ⊥ ∈ Form_Σ

I Wennφ∈ FormΣ, dann ¬φ∈ FormΣ

I Wennφ, ψ∈ FormΣ, dann φ∧ψ∈ FormΣ, φ∨ψ∈ FormΣ, φ−→ψ∈ FormΣ, φ←→ψ∈ FormΣ

I Wennφ∈ FormΣ,x ∈X, dann ∀x.φ∈ FormΣ,∃x.φ∈ FormΣ

I Prädikatensymbolp∈Σ mitar(p) =mundt₁, . . . ,t_m∈ Term_Σ, dann p(t1, . . . ,tm)∈ FormΣ

I Sonderfall:t1,t2∈ TermΣ, dannt1=˙ t2∈ FormΣ

Formeln

I MengeForm_Σ der Formeln(zur Signatur Σ) gegeben durch:

I ⊥ ∈ Form_Σ

I Wennφ∈ FormΣ, dann ¬φ∈ FormΣ

I Wennφ, ψ∈ FormΣ, dann φ∧ψ∈ FormΣ, φ∨ψ∈ FormΣ, φ−→ψ∈ FormΣ, φ←→ψ∈ FormΣ I Wennφ∈ FormΣ,x∈X, dann ∀x.φ∈ FormΣ,∃x.φ∈ FormΣ

I Prädikatensymbolp∈Σ mitar(p) =mundt₁, . . . ,t_m∈ Term_Σ, dann p(t1, . . . ,tm)∈ FormΣ

I Sonderfall:t1,t2∈ TermΣ, dannt1=˙ t2∈ FormΣ

Freie und gebundene Variable

Definition (Freie und gebundene Variablen)

Variablen in t ∈ Term,p∈ Form sind frei,gebunden, oder bindend:

(i) x bindend in ∀x.φ,∃x.ψ

(ii) Für∀x.φund ∃x.φ ist x in Teilformelφgebunden (iii) Ansonsten istx frei

I FV(φ): Menge derfreienVariablen inφ

I Beispiel:

(q(x)∨ ∃x.∀y.p(f(x),z)∧q(a))∨ ∀r(x,z,g(x))

I Formel (Term)s geschlossen, wennFV(s) =∅

I Abschlusseiner Formel: Cl(φ) =∀z₁. . .z_k.φ fürFV(φ) ={z₁, . . . ,z_k}

Semantik: Strukturen

Definition (StrukturAzur Signatur Σ) A= (A,f,P) mit

(i) Anicht-leere Menge (Universum)

(ii) fürf ∈Σ mitar(f) =n,n-stelligeFunktion fA:Aⁿ→A (iii) fürP ∈Σ mitar(P) =n,n-stellige RelationPA⊆Aⁿ

I Füra∈A, Konstante a∈ Term_Σ

I Damit Auswertung vongeschlossenenTermen: [[·]]_A:Term_Σ→A [[a]]_A=a

[[f(t1, . . . ,tn]]_A=f_A([[t1]]_A, . . . ,[[tn]]_A)

Semantische Gültigkeit

I Auswertung vonFormeln: [[·]]_A:Form_Σ → {0,1}

[[⊥]]_A = 0 [[¬φ]]_A = 1−[[φ]]_A

[[φ∧ψ]]_A = min([[φ]]_A,[[ψ]]_A) [[φ∨ψ]]_A = max([[φ]]_A,[[ψ]]_A) [[φ−→ψ]]_A = max(1−[[φ]]_A,[[ψ]]_A)

[[φ←→ψ]]_A = 1− |[[φ]]_A−[[ψ]]_A| [[P(t1, . . . ,tn)]]A =

( 1 h[[t₁]]_A, . . . ,[[t_n]]_Ai ∈P_A 0 sonst

[[t₁=˙ t₂]]_A =

( 1 [[t₁]]_A= [[t₂]]_A 0 sonst

[[∀x.φ]]_A = min({[[φ^a_x]]_A|a∈A}) [[∃x.φ]]_A = max({[[φ_x^a]]_A|a∈A})

I Damitsemantische Gültigkeit (Wahrheit):

Syntaktische Gültigkeit: Natürliches Schließen

I Die alten Regeln blieben (−→I,−→E,∧I,∧E_L,∧E_R,raa,⊥, . . . )

I Mutatis mutandis:Form_ΣstattProp

I Dazu benötigen wir Regeln für die Quantoren.

I Zu behandelndeProbleme:

I Substitution

I Bindung

Substitution

I t_x^s istErsetzung vonx durch s in t

I Definiert durch strukturelleInduktion:

y_x^{s def}=

( s x =y y x 6=y f(t₁, . . . ,t_n)_x^{s def}= f(t₁^s_x, . . . ,t_n^s_x)

⊥_x^{s def}= ⊥

(φ∧ψ)_x^{s def}= φ_x^s∧ψ_x^s (φ−→ψ)_x^{s def}= φ_x^s−→ψ^s_x P(t₁, . . . ,t_n)_x^{s def}= P(t₁^s_x, . . . ,t_nx^s)

(∀y.φ)_x^{s def}=















∀y.φ x =y

∀y.(φ_x^s) x 6=y,y 6∈FV(s)

∀z.((φ^z_y)_x^s) x 6=y,y ∈FV(s)

mitz 6∈FV(s)∪FV(φ) (z frisch)

Substitution

I t_x^s istErsetzung vonx durch s in t

I Definiert durch strukturelleInduktion:

y_x^{s def}=

( s x =y y x 6=y f(t₁, . . . ,t_n)_x^{s def}= f(t₁^s_x, . . . ,t_n^s_x)

⊥_x^{s def}= ⊥

(φ∧ψ)_x^{s def}= φ_x^s∧ψ_x^s (φ−→ψ)_x^{s def}= φ_x^s−→ψ^s_x P(t₁, . . . ,t_n)_x^{s def}= P(t₁^s_x, . . . ,t_nx^s)

(∀y.φ)_x^{s def}=















∀y.φ x =y

∀y.(φ_x^s) x 6=y,y 6∈FV(s)

∀z.((φ^z_y)_x^s) x 6=y,y ∈FV(s)

mitz 6∈FV(s)∪FV(φ) (z frisch)

Natürliches Schließen mit Quantoren

φ

∀x.φ ∀I (∗) ∀x.φ

φ_x^t ∀E (†)

I (*)Eigenvariablenbedingung:

x nichtfreiin offenen Vorbedingungen von φ(x beliebig)

I (†) Ggf. Umbenennung durch Substitution

I Gegenbeispielefür verletzte Seitenbedingungen

Der Existenzquantor

∃x.φ^def=¬∀x.¬φ

φ^t_x

∃x.φ ∃I (†) ∃x.φ [φ]

... ψ

ψ ∃E (∗)

I (*)Eigenvariablenbedingung:

x nicht frei inψ, oder einer offenenen Vorbedingung außerφ

I (†) Ggf. Umbenennung durch Substitution

Zusammenfassung

I Prädikatenlogik: Erweiterung der Aussagenlogik um

I Konstanten- und Prädikatensymbole

I Gleichheit

I Quantoren

I Semantik der Prädikatenlogik:Strukturen

I BildenOperationenundPrädikateder Logik ab

I Dasnatürliche Schließenmit Quantoren

I Variablenbindungen— Umbenennungen bei Substitution

I Eigenvariablenbedingung

I Das nächste Mal: FOL at work, FOL in Isabelle

I Nächste VL:Vollständigkeit