Formale Modellierung Vorlesung 4 vom 29.04.13: Prädikatenlogik erster Stufe

Formale Modellierung

Vorlesung 4 vom 29.04.13: Prädikatenlogik erster Stufe

Serge Autexier & Christoph Lüth

Universität Bremen

Sommersemester 2013

Fahrplan

I Teil I: Formale Logik

I Einführung

I Aussagenlogik: Syntax und Semantik, Natürliches Schließen

I Konsistenz & Vollständigkeit der Aussagenlogik

I Prädikatenlogik (FOL): Syntax und Semantik

I Konsistenz & Vollständigkeit von FOL

I FOL mit induktiven Datentypen

I FOL mit Induktion und Rekursion

I Die Gödel-Theoreme

I Weitere Datentypen: Mengen, Multimengen, Punkte

I Teil II: Spezifikation und Verifikation

I Teil III: Schluß

Das Tagesmenü

I Von Aussagenlogik zur Prädikatenlogik

I Logik mitQuantoren

I Semantikder Prädikatenlogik

I Natürliches Schließenmit Quantoren

Beispiel: Make

Themake utility automatically determines which pieces of a large program need to be recompiled, and issues commands to recompile them.

I Abhängigkeitenwerden durch Regelnformalisiert

I Wenn Zielälterist als Abhängigkeit wird es neuerzeugt.

lecture-01.pdf: lecture-01.tex prelude.sty pdflatex lecture-01.tex

lecture-02.pdf: lecture-02.tex prelude.sty diagram.pdf pdflatex lecture-02.tex

diagram.pdf: diagram.svg

inkscape -A diagram.pdf diagram.svg

Prädikatenlogik: Erweiterung der Sprache

I Termebeschreiben die zu formalisierenden Objekte.

I Formelnsind logische Aussagen.

I EineSignatur Σ beschreibt Prädikate und Funktionen:

I Prädikatensymbole: P1, . . . ,Pn,=˙ mitAritätar(Pi)∈N,ar( ˙=) =2

I Funktionssymbole:f1, . . . ,fmmitAritätar(ti)∈N

I MengeX vonVariablen (abzählbar viele)

I Konnektive:∧,−→,⊥,∀,abgeleitet:∨,←→,¬,←→,∃

Terme

I MengeTerm_Σ der Terme(zur Signatur Σ) gegeben durch:

I Variablen:X bTerm_Σ

I Funktionssymbolf ∈Σmitar(f) =nundt1, . . . ,tn∈ TermΣ, dann f(t1, . . . ,tn)∈ TermΣ

I Sonderfall:n=0, dann istf eineKonstante,f ∈ TermΣ

Formeln

I MengeForm_Σ der Formeln(zur Signatur Σ) gegeben durch:

I ⊥ ∈ Form_Σ

I Wennφ∈ FormΣ, dann ¬φ∈ FormΣ

I Wennφ, ψ∈ FormΣ, dann φ∧ψ∈ FormΣ, φ∨ψ∈ FormΣ, φ−→ψ∈ FormΣ, φ←→ψ∈ FormΣ

I Wennφ∈ FormΣ,x ∈X, dann ∀x.φ∈ FormΣ,∃x.φ∈ FormΣ

I Prädikatensymbolp∈Σmitar(p) =mundt₁, . . . ,t_m∈ Term, dann p(t1, . . . ,tm)∈ FormΣ

I Sonderfall:t1,t2∈ TermΣ, dannt1=˙ t2∈ FormΣ

Formeln

I MengeForm_Σ der Formeln(zur Signatur Σ) gegeben durch:

I ⊥ ∈ Form_Σ

I Wennφ∈ FormΣ, dann ¬φ∈ FormΣ

I Wennφ, ψ∈ FormΣ, dann φ∧ψ∈ FormΣ, φ∨ψ∈ FormΣ, φ−→ψ∈ FormΣ, φ←→ψ∈ FormΣ I Wennφ∈ FormΣ,x∈X, dann ∀x.φ∈ FormΣ,∃x.φ∈ FormΣ

I Prädikatensymbolp∈Σmitar(p) =mundt₁, . . . ,t_m∈ Term, dann p(t1, . . . ,tm)∈ FormΣ

I Sonderfall:t1,t2∈ TermΣ, dannt1=˙ t2∈ FormΣ

Freie und gebundene Variable

Definition (Freie und gebundene Variablen)

Variablen in t ∈ Term,p∈ Form sind frei,gebunden, oder bindend:

(i) x bindend in ∀x.φ,∃x.ψ

(ii) Für∀x.φund ∃x.φ ist x in Teilformelφgebunden (iii) Ansonsten istx frei

I FV(φ): Menge der freienVariablen inφ

I Beispiel:

(q(x)∨ ∃x.∀y.p(f(x),z)∧q(a))∨ ∀r(x,z,g(x))

I Formel (Term)s geschlossen, wennFV(s) =∅

I Abschlusseiner Formel: Cl(φ) =∀z₁. . .z_k.φ fürFV(φ) ={z₁, . . . ,z_k}

Semantik: Strukturen

Definition (StrukturAzur Signatur Σ) A= (A,f,P) mit

(i) Anicht-leere Menge (Universum)

(ii) fürf ∈Σmitar(f) =n,n-stelligeFunktion fA:Aⁿ→A (iii) fürP ∈Σmitar(P) =n,n-stellige RelationPAbAⁿ

I Füra∈A, Konstante a∈ Term_Σ

I Damit Auswertung vongeschlossenenTermen: [[·]]_A:Term_Σ→A

[[a]]_A=a

[[f(t1, . . . ,tn]]_A=f_A([[t1]]_A, . . . ,[[tn]]_A)

Semantische Gültigkeit

I Auswertung vonFormeln:[[·]]_A:Form_Σ → {0,1}

[[⊥]]_A =0 [[¬φ]]_A =1−[[φ]]_A

[[φ∧ψ]]_A =min([[φ]]_A,[[ψ]]_A) [[φ∨ψ]]_A =max([[φ]]_A,[[ψ]]_A) [[φ−→ψ]]_A =max(1−[[φ]]_A,[[ψ]]_A)

[[φ←→ψ]]_A =1− |[[φ]]_A−[[ψ]]_A| [[P(t1, . . . ,tn)]]A =

( 1 h[[t₁]]_A, . . . ,[[t_n]]_Ai ∈P_A 0 sonst

[[t₁=˙ t₂]]_A =

( 1 [[t₁]]_A= [[t₂]]_A 0 sonst

[[∀x.φ]]_A =min({[[φ^a_x]]_A|a∈A}) [[∃x.φ]]_A =max({[[φ_x^a]]_A|a∈A})

I Damitsemantische Gültigkeit (Wahrheit):

A|=φgdw. [[Cl(φ)]]_A=1, |=φgdw. A|=φfür alle A

Substitution

I t_x^s istErsetzung vonx durch s in t

I Definiert durch strukturelleInduktion:

y_x^{s def}=

( s x =y y x 6=y f(t1, . . . ,tn)_x^{s def}= f(t1s

x

, . . . ,tns x

)

⊥_x^{s def}= ⊥

(φ∧ψ)_x^{s def}= φ_x^s∧ψ_x^s (φ−→ψ)_x^{s def}= φ_x^s−→ψ^s_x P(t₁, . . . ,t_n)_x^{s def}= P(t₁^s_x, . . . ,t_nx^s)

(∀y.φ)_x^{s def}=















∀y.φ x =y

∀y.(φ_x^s) x 6=y,y 6∈FV(s)

∀z.((φ^z_y)_x^s) x 6=y,y ∈FV(s)

mitz 6∈FV(s)∪FV(φ) (z frisch)

Substitution

I t_x^s istErsetzung vonx durch s in t

I Definiert durch strukturelleInduktion:

y_x^{s def}=

( s x =y y x 6=y f(t1, . . . ,tn)_x^{s def}= f(t1s

x

, . . . ,tns x

)

⊥_x^{s def}= ⊥

(φ∧ψ)_x^{s def}= φ_x^s∧ψ_x^s (φ−→ψ)_x^{s def}= φ_x^s−→ψ^s_x P(t₁, . . . ,t_n)_x^{s def}= P(t₁^s_x, . . . ,t_nx^s)

(∀y.φ)_x^{s def}=















∀y.φ x =y

∀y.(φ_x^s) x 6=y,y 6∈FV(s)

∀z.((φ^z_y)_x^s) x 6=y,y ∈FV(s)

mitz 6∈FV(s)∪FV(φ) (z frisch)

Natürliches Schließen mit Quantoren

φ

∀x.φ ∀I (∗) ∀x.φ

φ_x^t ∀E (†)

I (*)Eigenvariablenbedingung:

x nichtfreiin offenen Vorbedingungen von φ(x beliebig)

I (†) Ggf. Umbenennung durch Substitution

I Gegenbeispielefür verletzte Seitenbedingungen

Der Existenzquantor

∃x.φ^def=¬∀x.¬φ

φ^t_x

∃x.φ ∃I (†) ∃x.φ [φ]

... ψ

ψ ∃E (∗)

I (*)Eigenvariablenbedingung:

x nicht frei inψ, oder einer offenenen Vorbedingung außerφ

I (†) Ggf. Umbenennung durch Substitution

Zusammenfassung

I Prädikatenlogik: Erweiterung der Aussagenlogik um

I Konstanten- und Prädikatensymbole

I Gleichheit

I Quantoren

I Semantik der Prädikatenlogik:Strukturen

I BildenOperationenundPrädikateder Logik ab

I Dasnatürliche Schließenmit Quantoren

I Variablenbindungen— Umbenennungen bei Substitution

I Eigenvariablenbedingung

I Das nächste Mal:Vollständigkeit undnatürliche Zahlen