Formale Methoden der Softwaretechnik Vorlesung vom 23.05.11: Prädikatenlogik erster Stufe

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Formale Methoden der Softwaretechnik

Vorlesung vom 23.05.11: Prädikatenlogik erster Stufe

Till Mossakowski & Christoph Lüth

Universität Bremen

Sommersemester 2011

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Das Tagesmenü

I

Logik mit Quantoren

I

Von Aussagenlogik zur Prädikatenlogik

I

Natürliches Schließen mit Quantoren

I

Gleichheit und natürliche Zahlen in Logik 1. Stufe

I

Die Notwendigkeit von Logik höherer Stufe

(3)

Fahrplan

I

Aussagenlogik

I

Prädikatenlogik

I

Isabelle I: Grundlagen

I Aussagenlogik und natürlisches Schließen

I Prädikatenlogik und Quantoren

I Logik höherer Stufe

I Definitionen und konservative Erweiterung

I Automatische Beweisprozeduren

I

Isabelle II: Anwendungen

(4)

Motivation Prädikatenlogik

I

Beschränkte Ausdrucksmächtigkeit der Aussagenlogik:

I Eine Zahlnist eine Primzahl genau dann wenn sie nicht 1 ist und nur durch 1 und sich selbst teilbar ist.

I Eine Zahlmist durch eine Zahlnteilbar genau dann wenn es eine Zahlp gibt, so dassm=n·p.

I Nichtin Aussagenlogikformalisierbar.

I

Ziel: Formalisierung von Aussagen wie

I AlleZahlen sind ein Produkt von Primfaktoren.

I Es gibtkeinegrößte Primzahl.

(5)

Motivation Prädikatenlogik

I

Beschränkte Ausdrucksmächtigkeit der Aussagenlogik:

I

Ziel: Formalisierung von Aussagen wie

(6)

Motivation Prädikatenlogik

I

Beschränkte Ausdrucksmächtigkeit der Aussagenlogik:

I

Ziel: Formalisierung von Aussagen wie

(7)

Erweiterung der Sprache

I

Terme beschreiben die zu formalisierenden Objekte.

I

Formeln sind logische Aussagen.

I

Unser Alphabet:

I Prädikatensymbole: P1, . . . ,Pn,=mitAritätar(Pi)∈N,ar(=) =2

I Funktionssymbole:f₁, . . . ,f_mmitAritätar(t_i)∈N

I MengeX vonVariablen(abzählbar viele)

I Konnektive:∧,−→,false,∀,abgeleitet:∨,←→,¬,←→,∃

(8)

Terme

I

Menge T erm der Terme gegeben durch:

I Variablen:X ⊆ Term

I Funktionssymbolf mitar(f) =nundt1, . . . ,tn∈ Term, dann f(t1, . . . ,tn)∈ Term

I Sonderfall:n=0, dann istf eineKonstante,f ∈ Term

(9)

Formeln

I

Menge Form der Formeln gegeben durch:

I false∈ Form

I Wennφ∈ Form, dann ¬φ∈ Form

I Wennφ, ψ∈ Form, dann φ∧ψ∈ Form, φ∨ψ∈ Form, φ−→ψ∈ Form, φ←→ψ∈ Form

I Wennφ∈ Form,x ∈X, dann∀x.φ∈ Form,∃x.φ∈ Form

I Prädikatensymbolpmitar(p) =mundt₁, . . . ,t_m∈ Term, dann p(t1, . . . ,tm)∈ Form

I Sonderfall:t1,t2∈ Term, dannt1=t2∈ Form

(10)

Formeln

I

Menge Form der Formeln gegeben durch:

I false∈ Form

I Wennφ∈ Form, dann ¬φ∈ Form

I Wennφ, ψ∈ Form, dann φ∧ψ∈ Form, φ∨ψ∈ Form, φ−→ψ∈ Form, φ←→ψ∈ Form

I Wennφ∈ Form,x ∈X, dann∀x.φ∈ Form,∃x.φ∈ Form

I Prädikatensymbolpmitar(p) =mundt₁, . . . ,t_m∈ Term, dann p(t1, . . . ,tm)∈ Form

I Sonderfall:t1,t2∈ Term, dannt1=t2∈ Form

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Freie und gebundene Variable

I

Variablen in t ∈ T erm, p ∈ Form sind frei, gebunden, oder bindend.

I x bindendin∀x.φ,∃x.ψ

I Für∀x.φund∃x.φistx in Teilformelφgebunden

I Ansonsten istx frei

I

FV(φ): Menge der

freien

Variablen in φ

I

Beispiel:

(q(x) ∨ ∃x.∀y.p(f (x ), z ) ∧ q(a)) ∨ ∀r(x, z , g (x))

(12)

Substitution

I

t

_x^s

ist Ersetzung von x durch s in t

I

Definiert durch strukturelle

Induktion:

y

_x^s

=

^def

(

s x = y y x 6= y f (t

₁

, . . . , t

_n

)

_x^s

=

^def

f (t

₁^s_x

, . . . , t

_n_x^s

)

false

_x^s

=

^def

false

(φ ∧ ψ)

_x^s

=

^def

φ

^s_x

∧ ψ

_x^s

(φ −→ ψ)

_x^s

=

^def

φ

^s_x

−→ ψ

_x^s

p(t

1

, . . . , t

n

)

_x^s

=

^def

p(t

1s

x

, . . . , t

ns x

)

(∀y.φ)

_x^s

=

^def











∀y.φ x = y

∀y.(φ

^s_x

) x 6= y, y 6∈ FV (s)

∀z .((φ

^h^z_yⁱ

)

_x^s

) x 6= y, y ∈ FV(s )

mit z 6∈ FV(s) (z frisch)

(13)

Natürliches Schließen mit Quantoren

φ

∀x .φ ∀I (∗) ∀x.φ

φ

_x^t

∀E (†)

I

(*) Eigenvariablenbedingung:

x nicht frei in offenen Vorbedingungen von φ (x beliebig)

I

(†) Ggf.

Umbenennung

durch Substitution

I

Gegenbeispiele für verletzte Seitenbedingungen

(14)

Der Existenzquantor

∃x.φ

^def

= ¬∀x.¬φ

φ

_x^t

∃x.φ ∃I (†) ∃x.φ [φ]

.. . ψ

ψ ∃E (∗)

I

(*) Eigenvariablenbedingung:

x nicht frei in ψ, oder einer offenenen Vorbedingung außer φ

I

(†) Ggf.

Umbenennung

durch Substitution

(15)

Regeln für die Gleichheit

I

Reflexivität, Symmetrie, Transitivität:

x = x refl x = y

y = x sym x = y y = z x = z trans

I

Kongruenz:

x

₁

= y

₁

, . . . , x

_n

= y

_n

f (x

₁

, . . . , x

_n

) = f (y

₁

, . . . , y

_n

) cong

I

Substitutivität:

x

1

= y

1

, . . . , x

m

= y

m

P (x

1

, . . . , x

m

)

P (y

1

, . . . , y

m

) subst

(16)

Axiomatisierung der natürlichen Zahlen

I

Operationen: 0, S, +, · mit Arität 0, 1, 2, 2

I

Peano-Axiome (P1– P3):

I Beschreiben natürliche Zahlen

I InduktionsschemaP3 P1 ∀x.¬(x =0)

P2 ∀x.∀y.S(x) =S(y)−→x =y

P3 ∀x.∀y. φ(0)∧(∀x. φ(x)−→φ(S(x)))−→ ∀x. φ(x)

I

Presburger-Arithmetik (P1 – P5):

I Konsistent und vollständig

I Entscheidbar (Aufwand 2²^cn,nLänge der Aussage) P4 ∀x.x+0=x

P5 ∀x.∀y.x+S(y) =S(x+y)

I

Peano-Arithmetik (P1 – P7):

I Konsistent

I Unvollständig, nicht entscheidbar P6 ∀x.x·0=0

(17)

Zusammenfassung

I

Prädikatenlogik: das natürliche Schließen mit Quantoren

I Variablenbindungen— Umbenennungen bei Substitution

I Eigenvariablenbedingung

I

Gleichungslogik in natürlichem Schließen:

I möglich, aberumständlich

I

Entwicklung natürlicher Zahlen benötigt:

I ZusätzlicheAxiome,

I KonzeptehöhererOrdnung (Induktion!)

I