• Die Abgabe diese (k¨ urzeren) Ubungsblattes erfolgt aufgrund des ¨ Feiertags schon dienstags. F¨ ur die Bearbeitung der Programmierauf- gabe (siehe unten) besteht mehr Zeit.

Einf¨ uhrung in die Grundlagen der Numerik

Wintersemester 2018/19 Prof. Dr. Ira Neitzel

Fabian Hoppe

Ubungsblatt 3. ¨ Abgabe am Dienstag, 30. Oktober vor der Vorlesung.

• Die Abgabe diese (k¨ urzeren) Ubungsblattes erfolgt aufgrund des ¨ Feiertags schon dienstags. F¨ ur die Bearbeitung der Programmierauf- gabe (siehe unten) besteht mehr Zeit.

• Die Abgabe der ¨ Ubungsbl¨ atter soll in Gruppen von jeweils 3 Studieren- den erfolgen.

Aufgabe 1. Sei A ∈ R ^n×n .

a. Wie viele Multiplikationen bzw. wie viele Quadratwurzeln sind jeweils (maximal) notwendig, um A mit Hilfe von Householder-Transformationen bzw. mit Hilfe von Givens-Rotationen in eine obere Dreiecksmatrix zu ¨ uberf¨ uhren?

b. Wie ¨ andert sich die Situation, wenn A obere Hessenberg-Form hat, d.h. wenn alle Eintr¨ age von A unterhalb der ersten Nebendiagonalen verschwinden, also a _ij = 0 f¨ ur i > j + 1 gilt?

(3+3 Punkte) Aufgabe 2. Die Singul¨ arwertzerlegung einer Matrix A ∈ R ^m×n sei gegeben durch A = U ΣV ^T mit orthogonalen Matrizen U ∈ R ^m×m , V ∈ R ^n×n sowie der Diagonalmatrix Σ ∈ R ^m×n mit den Singul¨ arwerten σ 1 ≥ σ 2 ≥ ... ≥ σ r > 0 auf der Hauptdiagonalen.

a. Zeigen Sie

σ 1 = sup

x,y6=0

y ^T Ax kyk ₂ kxk ₂ .

b. Dr¨ ucken Sie die Spektralnorm kAk ₂ bzw. die Frobeniusnorm kAk _F mit Hilfe der Singul¨ arwerte aus. Folgern Sie die ¨ Aquivalenz der Normen inklusive Angabe der entsprechenden Konstanten.

Hinweis: Die Spektralnorm (Operatornorm bzgl. der euklidischen Norm) l¨ asst sich berech- nen als kAk

= λ

(A

A), wobei λ

(A

A) der gr¨ oßte Eigenwert von A

A ist.

Die Frobeniusnorm ist definiert durch kAk

= P

P

a

.

c. Sei nun m ≥ n und A habe vollen Rang. Dr¨ ucken Sie die relative Konditionszahl κ(A) := max kxk

=1 kAxk ₂

min kxk

=1 kAxk ₂ mit Hilfe der Singul¨ arwerte aus.

(2 + 4 + 2 = 8 Punkte)

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Programmieraufgabe 1. Bearbeiten Sie die im jupyter-notebook bereitgestellte Pro- grammieraufgabe.

(25 Punkte) Abgabe der Programmieraufgabe in der Woche vom 5. bis 9. November:

• Die Abgabe der Programmieraufgaben erfolgt in Gruppen von exakt 3 Studierenden

• Die Anmeldelisten f¨ ur die Abgabezeitr¨ aume liegen in der Woche vor der Abgabe, d.h. in der Woche 29. Oktober bis 2. November, in den jeweiligen CIP-Pools aus.

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