Bewegungen im Zentralfeld

(1)

Bewegungen im Zentralfeld

Wir wollen jetzt einige allgemeine Eigenschaften der Bewegung eines Massenpunktes unter dem Einfluss einer Zentralkraft untersuchen, d.h. der Bewegung in einem Zentralfeld¹. Danach soll der spezielle Fall der Planetenbewegung behandelt werden, der historisch eines der Hauptprobleme der Mechanik und speziell der Himmelsmechanik war. Zentralbewegungen spielen jedoch in vielen Zweigen der Physik eine Rolle, so z.B. bei Streuprozessen atomarer oder subatomarer Teilchen.

1. Reduktion des Zwei-K¨orper- auf ein Ein-K¨orper-Problem

Das Zentralkraftproblem mit zwei K¨orpern ist eines der wichtigen Probleme der Physik; es umfasst in der Himmelsmechanik das Problem Erde - Sonne, in der Atomphysik das klassische Atommodell mit zwei endlichen Massen und in der Quantenmechanik Streuprozesse atomarer Teilchen oder Elementarteilchen.

Es wird dabei angenommen, dass zwei Massenpunkte in gegenseitiger Wechselwirkung Zentralkr¨afte (z.B.

Gravitations- oder Coulombkr¨afte) aufeinander aus¨uben, die nur von den Relativkoordinaten~r=~r2−~r1

oder auch von deren zeitlichen Ableitungen ˙~r2, ~r˙1 abh¨angen. Die kinetischen Energien und die Bewe- gungsgleichungen der beiden Massen sind

E₁^kin= 1

2m1~r˙₁² und F~21= +f(r)~r=m1~¨r1, (1) E₂^kin= 1

2m2~r˙₂² und F~12=−f(r)~r=m2~¨r2. (2) Die Kraft ist anziehend, wenn f(r) > 0 ist, und abstossend, wenn f(r) < 0 gilt. Sie kann durch ein Potential, das nur von den Relativkoordinaten ~r=~r2−~r1 abh¨angt, dargestellt werden:

F~ =−∇V,

6

x- y

* w

w g

H HH Y

H HHj

S

R~ HH

HH HH

HHj

~r

~ r₂

~r1

m₁

m2

~r⁰1

r~⁰2

und mit ∂V(~r)

∂~r₁ = ∂V(~r)

∂(~r₂−~r₁)

∂(~r2−~r1)

∂~r₁ =− ∂V(~r)

∂(~r₂−~r₁), ∂V(~r)

∂~r₂ = ∂V(~r)

∂(~r₂−~r₁)

∂(~r2−~r1)

∂~r₂ = ∂V(~r)

∂(~r₂−~r₁) gilt f¨ur F~12=−∂V(~r)

∂~r1

undF~21=−∂V(~r)

∂~r2

: F~12=−F~21(

”actio=reactio“²).

uPPq

Pu P i

m1F~₂₁

m₂ F~₁₂

Das System hatf = 6 Freiheitsgrade, z.B. 3 Komponenten für die KoordinateR~ = (m₁~r₁+m₂~r₂)/(m₁+ m2) des Schwerpunktes S und 3 Komponenten für die Relativkoordinate ~r = ~r2 −~r1. Die kinetische Energie und die Kräfte können nun statt mit den Koordinaten ~r1, ~r2 auch nur mit den Relativ- und Schwerpunktskoordinaten~rundR~ ausgedrückt werden. Wie sich der Skizze entnehmen lässt, ist

~

r1=R~−~r m2

m1+m2

, (3) ~r2=R~ +~r m1

m1+m2

. (4)

Und mit der Summe F~12+F~21 = 0 =m1~¨r1+m2~r¨2 folgt MR~¨ = ˙~p= 0, mit M =m1+m2 gleich der Gesamtmasse und R=~ m1~r1+m2~r2

M gleich der Schwerpunktskoordinate. ˙~p= 0 bedeutet nichts anderes, als dass derGesamtimpuls~p=m1~r˙1+m2~r˙2konstantist. Multiplikation der Gleichungen (1) und (2) mit m2 bzw.m1 sowie Subtraktion und Ber¨ucksichtigung des actio=reactio-Prinzips ergibt

m1m2(¨~r2−~r¨1)

| {z }

~¨r

=m1F~12−m2F~21= (m1+m2)

| {z } M

F~12 ⇒ m1·m2

m1+m2

| {z } µ

~¨

r=F~(~r) =µ~¨r . (5)

1= kugelsymmetrisches Kraftfeld

2Zur Erinnerung: Dieses hier beispielshaft nachgewiesene Prinzip (3. Newtonsches Gesetz) gilt nicht nur für Zentral-, sondern ganz allgemein für alle zwischen zwei Körpern wirkenden Kräfte (vgl. Halliday, Kap. 5-7).

(2)

Die obige Gleichung hat die Form des Newtonschen Gesetzes ausgedr¨uckt in den Relativkoordinaten ~r und der

reduzierten Masse µ= m1·m2

m1+m2

der beiden Körper des Systems. (6) Die Lösung der Gleichung (5) beschreibt also das System in den Relativkoordinaten ~r. Mit den Glei- chungen (3) und (4) können sie in die ursprünglichen Koordinaten transformiert werden. Ist der Impuls des Schwerpunktes zeitlich konstant und bewegt sich gleichförmig, kann er für die weitere Behandlung weggelassen werden³und nur die von~rabhängigen Terme der Bewegungsgleichung müssen gelöst werden (Separation der Schwerpunkts- und Relativkoordinaten). Natürlich muss dabei die spezielle Form von f(r) bekannt sein.

Mit der reduzierten Masse wird das Zweikörperproblem auf ein einfacheres Einkörperproblem zurückge- führt. Mehrkörperprobleme mit mehr als zwei Massen können nur noch iterativ näherungsweise mit z.B.

S als Koordinatenursprung gel¨ost werden.

2. Konstanz des Drehimpulses

Mit Gl. (5) gilt µd²~r

dt² =F(~~ r) =f(r)·~r.

Da die ZentralkraftF~ =f(r)~rin Richtung des Ortsvektors weist (F~ k~r), ¨ubt sie kein Drehmoment auf den Massenpunkt aus:

~

τ◦=d~L◦

dt =~r×F~ = 0. (7)

Nach dem Drehimpulssatz folgt dann ohne ¨aussere Kr¨afte:L~_◦= konst.

Bei einer Zentralbewegung ist der Drehimpuls konstant.

~r d

q c

ϕmu -

~

p=konst

Auch f¨ur eine gleichf¨ormige Bewegung mitF~ = 0 und~τ_◦= 0 gilt d~L_◦

dt =~r×F~ = 0 ⇒ ~L_◦= konst.

Impuls und Drehimpuls sind erhalten.

Der Betrag des Drehimpulses ist|~L_◦|=L_◦=|~r×p|~ =r·mv·sinϕ=d·m·v; er h¨angt von der Wahl des Bezugspunktes◦ab: liegt dieser auf der Bahn, so istd= 0 und damitL~_◦= 0. ~L_◦ist also eine Konstante der Bewegung. Da~L_◦ nach Gr¨osse und Richtung konstant sein muss, ergeben sich zwei Konsequenzen:

6 L~_◦

c1

~r uµ

Wegen ~L_◦ =µ(~r×~v) = µ ~r×d~r/dtkann sich~r nur in einer Ebene senkrecht zu L~_◦ bewegen. Da aber ~L_◦ raumfest ist, hat folglich auch die Bewegungsebene (mit 2 Freiheitsgraden) eine feste Orientierung im Raum.

-

~ r(t) *

~ r(t+dt)

d~r d ~A

Die von~rin der Zeitdtuberstrichene infinitesimal kleine Dreiecksfl¨¨ ache ist|d ~A|

= dA = ¹₂ | ~r×d~r | (da| ~r×d~r | die Fl¨ache des von~r und d~r aufgespannten Parallelogramms darstellt.)

3Man wählt häufig als Anfangsbedingungen für die Schwerpunktskoordinated ~R/dt= 0 undR~= 0, d.h. ein Inertialsystem, in dem der Schwerpunkt ruht.

(3)

Also folgt derKeplersche Fl¨achensatz:

|L~_◦|=µ|~r×d~r

dt|= 2µdA

dt = konst. – Die pro Zeiteinheit ¨uberstrichene Fl¨ache ist konstant. (8)

dA1

dA2

dA3

dA4

Bei der Zentralbewegung liegt der Ortsvektor des Massenpunktes in einer raumfesten Ebene und ¨uberstreicht in gleichen Zeiten gleiche Fl¨a- chen.

Bei der Herleitung des Flächensatzes ist allgemein eine Zentralkraft vorausgesetzt worden und nicht speziell die Gravitationskraft, er gilt also für alle Zentralkräfte.

Obwohl wir die Bahnkurve des Massenpunktes auf Grund der Bewegungsgleichung aus Gl. (5) für die Relativkoordinaten berechnen könnten, ist es leichter, das Problem durch Kombination des Flächensatzes mit dem (für Zentralkräfte gültigen) Energieerhaltungssatz zu lösen.

Der Energieerhaltungssatz lautet µ

2v²+V =E_◦= konst, wobei die potentielle EnergieV durch V(r) =−

r

Z

∞

f(r)r dr

gegeben ist, falls wirV(r→ ∞) = 0 w¨ahlen. Da die Bahnkurve eben ist (~L_◦-Erhaltung), dr¨ucken wir die Geschwindigkeitv durch ebene Polarkoordinaten aus:⁴

6 y

p1 ϕ

uµ x-

µ 2

"

dr dt

² +r²

dϕ dt

²#

+V =E_◦.

Daraus folgt: ^dr_dt = r

2

µ(E_◦−V)−r²_dϕ

dt

²

. Aus L_◦ =µ |~r×~v |= µr²^dϕ_dt (f¨ur |~r×~v| muss nur die senkrecht zu~rstehende Koponente vϕ=r^dϕ_dt von~v genommen werden) ergibt sich

dϕ dt = L◦

µr², (9) und somit dr

dt = s

2

µ(E_◦−V)− L_◦

µr ²

. (10) Dividieren wir die Gleichungen (9) und (10) um t zu eliminieren, so erhalten wir einen Zusammenhang zwischenrundϕmit (^dϕ_dt)(_dr^dt) = (^dϕ_dt)/(^dr_dt) = ^dϕ_dr:

dϕ

dr = L_◦

µr² r

2

µ(E_◦−V)−

L◦

µr

2 – die Gleichung der Bahnkurve. (11) F¨ur eine Berechnung vonr(ϕ) muss die FunktionV(r) bekannt sein, z.B.V(r) =−Γ^{M m}_r .

4In den eckigen Klammern steht der Polarkoordinaten-Ausdruck f¨urv²=v²_r+v²_ϕ(hergeleitet in den

”Kreisbewegungen“

auf S.4).

(4)

3. Planetenbewegungen

Wir werden jetzt Gl. (11) f¨ur den Fall einer idealisierten Planetenbewegung l¨osen: M und m seien die Massen der Sonne und eines Planeten.

"!

# 6 m

M

~ r

Die Verteilung der Massen in beiden K¨orpern sei kugelsymmetrisch⁵. Die reduzierte Mas- se⁶ ist

µ= mM m+M.

Die Bewegung dieses einen speziellen Planeten soll nicht durch die Anwesenheit anderer Planeten gest¨ort werden.

Mit dem GravitationspotentialV(r) =−Γ^mM_r f¨ur die potentielle Energie wird die Bahnkurven-Gl. (11)

zu: dϕ

dr = L◦

µr² r

2

µ E◦+^ΓmM_r

−_L

◦

µr

² .

Wir f¨uhren 1/r=:xals neue Variable ein, sodassdr=−dx/x² gilt, und erhalten dϕ= −L◦/µ

q2E◦

µ +^2ΓmM_µ x−^L_µ²^◦2x²

dx= −L◦/µ

r

−_L

◦

µ x−^ΓmM_L

◦

²

+^2E_µ^◦+

ΓmM L◦

² dx

= −L◦/µ

r

2E◦

µ +

ΓmM L◦

²r

−(L◦x/µ−ΓmM/L◦)²

2E◦

µ +(^ΓmM_L◦ )² + 1

dx oder dϕ= −du

√

1−u², (12)

wenn wir nochmals eine neue Variable einf¨uhren: u:=

L◦

µ x−^ΓmM_L

◦

r

2E◦

µ +

ΓmM L_◦

2.

Integration von Gl. (12) liefertϕ−ϕ◦= arccos(u), oder, wenn wirϕ◦= 0 setzen,

cos(ϕ−ϕ◦) = cosϕ=u. (13)

Kehren wir in Gl. (13) wieder zur ursprünglichen Variablenrzurück, dann erhält man L_◦

µr = cosϕ s

2E_◦ µ +

ΓmM L_◦

²

+ΓmM

L_◦ .Daraus kann die Bahnkurve des Planeten berechnet werden:

r= L²_◦

ΓmM µ· 1

1 + cosϕq

1 +_Γ₂^2E_µm^◦^L₂_M²^◦₂

. Mit den Abk¨urzungen p:= L²_◦

ΓmM µ, ε:=

s

1 + 2E◦L²_◦ Γ²µm²M²

erhalten wir r= p

1 +εcos(ϕ) – die Gleichung eines Kegelschnittes in Polarkoordinaten.⁷ (14)

5Abweichungen von einer exakten Kugelsymmetrie z.B. von Sonne und Erde f¨uhren zur−, ϑ−, ϕ−abh¨angigen Korrekturen (Quadrupol-Terme).

6In vielen F¨allen istm M und man kann f¨ur die reduzierte Masseµ'm setzen. Sind jedoch beide Massen gleich, wie in einigen Doppelsternsystemen oder beim Positronium dem e⁻e⁺-Atom, dann rotieren beide Massen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt; es ist dannµ=m/2.

7auch

”Polargleichung“ genannt – siehe Anhang am Ende f¨ur eine zweite M¨oglichkeit, zu ihr zu gelangen.

(5)

a

b e

r' r

F1

F2

P

Gl. (14) ist die Gleichung eines Kegelschnittes, wenn der eine Brennpunkt der Pol ist, von dem ausrgemessen wird, undϕ von dem Scheitel aus gemessen wird, der dem Pol am n¨achsten ist. Die Abbildung links zeigt eine Ellipse. Allgemein gibt es drei Arten von Kegelschnitten, die nach den Werte vonε, der sogenannten Exzentrizit¨at, unterschieden werden:

Die F¨alleE_◦≥0 entsprechen der ungebundenen Be- wegung: der Himmelsk¨orper kann das Sonnensystem verlassen. Der Fall E_◦ < 0 entspricht der eigentli- chen, gebundenen Planetenbewegung. Den Wert der Gesamtenergie E_◦findet man aus der direkt vor Gl.

(14) gegebenen Deklaration von ε.

ε=e/a E◦

Kreis 0 −^µ₂ ^ΓmM_L

◦

²

Ellipse <1 <0

Parabel = 1 0

Hyperbel >1 >0

Im Falle der gebundenen Planetenbewegung haben wir es also mit einer Ellipse zu tun.⁸ Die Gleichung einer Ellipse lautet r+r⁰ = konst = 2a. (Vorstellung: Befestige die Enden einer Schnur der L¨ange 2aan den Brennpunkten und f¨uhre einen darin eingespannten Bleistift

”im Kreis“ herum – so zeichnet sich eine Ellipse.) Laut Kosinussatz istr⁰²=r²+ 4e²+ 4ercos(ϕ) (vgl. Abb.). Indem manr⁰ eliminiert, ergibt sich

r= b²/a

1 +e/acosϕ mit e²=a²−b² und somitε=p

a²−b²/a.

b²/a=pnennt man den Parameter oder Scheitelkr¨ummungsradius.

Wir haben somit aus dem Gravitationsgesetz hergeleitet:

Das 1. Keplersche Gesetz

Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

Das 2. Keplersche Gesetz ist der schon mit Gl. (8) formulierte Fl¨achensatz.

Das 3. Keplersche Gesetz besagt:

Die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten verhalten sich zueinander wie die Ku- ben der grossen Achsen ihrer Bahnellipsen.

Zum Beweis f¨uhren wir im Fl¨achensatz dA dt =L_◦

2µ die Ellipsenfl¨ache A=πab ein. IstT die Umlaufszeit, so gilt πab

T =L_◦

2µ und deshalb T²=

2πabµ L◦

2

=4π²a²µ² L²_◦

aL²_◦

ΓmM µ = 4π²µ ΓmMa³, wenn wir mit Hilfe der für Gl. (14) eingeführten Abkürzung⁹fürpnoch b²=p²

a eliminieren.

8Vgl. auch die Atomphysik (ãCoulombkraft): Hier beschreibt klassisch und quantenmechanischE◦<0 ein im Coulomb- feld gebundenes Elektron undE◦>0 ein am Atomkern gestreutes freies Elektron.

9Es war diesp= ^L

2

◦ ΓmM µ.

(6)

Johannes Kepler (1571-1630) leitete seine empirischen Gesetze aus den Daten von Tycho Brahe (1546- 1601) ab, bevor das Newtonsche Gravitationsgesetz bekannt war. Diese Reihenfolge des Erkenntnisge- winns – zunächst empirische Beschreibung gefolgt von einer Parametrisierung der Daten, erst später dann eine Erklärung durch entsprechende physikalische Gesetze – tritt in der Physik immer wieder auf.

Anhang: Bestimmung der Bewegungsgleichung durch Integration

Dies ist eine etwas aufwändigere Methode als die oben gewählte; ihre Anführung an dieser Stelle dient bloss der Vollständigkeit:

Man multipliziert hierbei m1~¨r= ˙~p=−Γm₁m₂

r³ ~r mit ×L~ und ber¨ucksichtigt das dreifache Vektorprodukt ~p˙×~L

| {z }

= d

dt(~p×L)~

=−Γm1m2

r³ ~r×L~

| {z }

~r×(~r×p)~

=−Γm1m2

r³ [~r·(~r·~p)−p~·r²]

| {z }

~

r·(~r·m~r)˙ −m~r˙·r²

und mit d dt

~r r

=

~r˙ r+~rd

dt 1

√

~r²

=

~˙ r

r−~r~r·~r˙ r³ = 1

r³[ ˙~rr²−~r·(~r·~r)]˙ f¨ur das Dreifachprodukt ergibt sich d

dt(~p×L) = Γm~ ²₁m2

d dt

~r r

⇒ ~p×~L= Γm²₁m2

~ r r +C .~

C~ ist als Integrationskonstante der sogenannte Lenzsche Vektor, der in der festen Bewegungsebene liegt.

Multipliziert man die Gleichung mit~rund setztp:=L²/Γm²₁m2 undε:=C/Γm²₁m2, erh¨alt man:

~r·(~p×L) =~ L~ ·(~r×~p) =L~ ·L~ =L²= Γm²₁m2r

| {z }

~ r·~r

r = r² r

+ ~r·C~

| {z } rC cos(ϕ)

⇒ r= p 1 +ε cos(ϕ) ,

in ¨Ubereinstimmung mit der Fokaldarstellung der Kegelschnitte, Gl. (14).