– 1
R. Girwidz 1
9.1 Überblick
Schwingung:= zeitlich periodischer Vorgang
mit periodischer Umwandlung verschiedener Energieformen Beispiele: - Federpendel
- Massenpendel (math. Pendel) - Torsionspendel (Drehpendel) - Stabschwingungen (Eigenschw.) - Schwingungen von Luftsäulen - elektrischer Schwingkreis - Molekülschwingungen - Kristallgitterschwingungen - elektromagnetische Schwingungen
R. Girwidz 2
9. Schwingungen 9. Schwingungen
Begriffe
Frequenz: fZahl der Schwingungen pro Zeiteinheit; [f]= s-1; (Eigenfrequenz)
Schwingungsdauer: T = 1 / f ; Periodendauer
Kreisfrequenz: ω:= 2π f = 2π/T
Amplitude: Betrag der maximalen Auslenkung der schwingenden physikalischen Größe
R. Girwidz 3
Einteilung
Freie Schwingung: Schwingung ohne äußere Einwirkung mit der Eigenfrequenz
Gedämpfte Schwingung: Schwingung mit Amplitudenabnahme infolge einer Dämpfung (Reibung)
Erzwungene Schwingung: Schwingung unter Einwirkung äußerer periodischer Anregung
9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung 9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung
a) Federschwingung
– 3
R. Girwidz 5
a) Federschwingung
Rücktreibende Kraft:
Trägheitskraft:
x m F
x D F
Tr R
0
x D x m
x D x m
R. Girwidz 6
9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung 9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung
Rechnung:
R. Girwidz 7
Rechnung:
(*)
;
0
m x x D
Dgl.:
Ansatz:
in (*)
(**) ist Lösung wenn:
);
( cos
; sin
(**)
; cos
2 0
0 0
2 0
0 0
0
0 0
t x
t x
t a
t x
t v
t x
t x
2
0
0
x
m x D
0
;
m
D
9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung 9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung
Ergebnis: "harmonischer Oszillator"
(nur eine Frequenz) t x
0 cos
0 t
x
cos ;
; sin
0 0
2 0
0 0
0
t x
t a
t x
t v
Amplitude Schwingungs- frequenz
Phasen- winkel
Amplitude von
unabhängig
festgelegt dingungen
Anfangsbe durch
0
0
,
x
– 5
R. Girwidz 9
R. Girwidz 10
9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung 9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung
b) Mathematisches Pendel (Fadenpendel)
Rücktreibende (beschleunigende)
Kraft F entlang dem Bogen
R. Girwidz 11
b) Mathematisches Pendel (Fadenpendel)
gleichung) (Bewegungs
0 sin
m d a m sin g -m F
: l) (tangentia
2 2 2
2
2 2
g l
dt l l d dt
s d
dt s l
s
Rücktreibende (beschleunigende) Kraft F entlang dem Bogen
9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung 9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung
) (5 rad 0,1 für
sin
Einfache Lösung (bzw. harmonische Schwingung) nur für kleine Winkelauslenkungen!
Dann Lösung der Bewegungsgleichung:
– 7
R. Girwidz 13
) (5 rad 0,1 für
sin
Einfache Lösung (bzw. harmonische Schwingung) nur für kleine Winkelauslenkungen!
s l g
l l g
t l
g
m]
[ 0
2 / / cos : 0 /
2 T
;
Dann Lösung der Bewegungsgleichung:
R. Girwidz 14
9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung 9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung
Schwingungsdauer unabhängig von m!
V
R. Girwidz 15
Anwendungen:
- Bestimmung der Fallbeschleunigung g möglich
- Sekundenpendel (Zwei-Sekunden-Pendel):
9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung 9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung
Anwendungen:
- Bestimmung der Fallbeschleunigung g möglich
- Sekundenpendel (zwei Sekunden):
m;
s s
994 , 0
2 ; 2
; 2 2
2
s s
s
l
g l
g l
– 9
R. Girwidz 17
c) Physikalisches Pendel
R. Girwidz 18
9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung 9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung
c) Physikalisches Pendel
Rücktreibendes Drehmoment (Drehung um Achse durch A)
Bewegungsgleichung:
R. Girwidz 19
c) Physikalisches Pendel
sin
s s G s
r g m M
g m r F r M
Rücktreibendes Drehmoment (Drehung um Achse durch A)
0 sin
sin
s A
s A
r g m I
r g m I
Bewegungsgleichung:
9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung 9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung
) 5 ( sin : kleine für
Lösungen
– 11
R. Girwidz 21
A s A
s
I r g m I
r g
m
0
) 5 ( sin : kleine für Lösungen
heißt allgemein reduzierte Pendellänge eines physikalischen Pendels (einem math. Pendel äquivalent)
Reversionspendel
s A
r m r
I
Steiner) von (Satz 2
2
2
s s s s
A
r g m
I r m r
g m T I
T 2 gr
: Pendel math.
vgl.
R. Girwidz 22
9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung 9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung
2 2 2
2 2 2
1 / 2
2 1
;
s s
s s s
S
r K g
r r
g m
r K r
T m
K K m I
adius;
Trägheitsr
1 / ;
r
von unabhängig
- g ; 2 0
SP in Punktmasse :
Pendel ches
mathematis
2 2
s s
s
r K
m T
: , r
K
R. Girwidz 23
Reversionspendel
V: Reversionspendel
9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung 9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung
Reversionspendel
) 1 ( 2
2 T
e Pendelläng
Reduzierte :
Abst.
im A' A, Drehachsen 2
2 A
s s s s
s s s
A r
s A
r r
r
r m r I r m
I r m r m
I
r g m
I g
AA'
V: Reversionspendel
! gleiche Schwingungsdauer um A‘!
! Satz von Steiner
– 13
R. Girwidz 25
'
2
' TA
g r
g m
I T g
r s
r A
r A
Zu zeigen:
d.h.
mit (1)
q.e.d.
;
' 2
g g r g r g
g r r
m r I m
I g
r g
g r m
I g
r g
g r m
I r m r g m
I
r s s r
s s S s
S s
r
s r
S s
r s r
s s r s
r A
R. Girwidz 26
9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung 9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung d) Energiebilanz bei der harmonische Schwingung
2 0
2 2
2 1
2 1
x D E
const v
m x
D E E E
ges
pot kin ges
2 1
Energie proportional zum Quadrat der Amplitude!
(*) Rechnung
R. Girwidz 27
(*) Rechnung
9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung 9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung
(*) Rechnung
2 0
0 2 0
2 2 0
2 2 0 2 0 0
2 2 0
2 2
2 1
sin 2 cos
1
2 sin cos 1
2 1
2 1 2
1
x D
t t
x D
t x
m t
x D
v m x
D E
Ges
t x
x
t x
x
0 0 0
0 0
sin cos
m D
m;
D
0
– 15
R. Girwidz 29
Federpendel ohne Dämpfung
; / 2
/
;
0cos
D m T
m D t
x x
; (1)
(2)
! glg.
Bew.
0
0 2 0
2
2 2
2
2 2
2 2
2 0 2 2
x dt D
x m d
dt x dx dt D
v dv m
const dt x d v D
m dt
d
D x const D x
m v
x x
x x
2 2
dt dx
dt x ad
Herleitung der Bewegungsgleichung aus dem Energiesatz:
mit Lösung (1)
R. Girwidz 30
9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung 9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung
Zusammenfassung: (Freie, ungedämpfte Schwingung)
/ ;
cos )
(
0
0
0
t D m
x t x
x D x m
0
;
Federschwinger
; 2
;
; 0
sin
0T g
g g
Fadenpendel
s A A
s s A
s A
r g m T I
I r g m
r g m I
r g m I
2
;
0 sin
sin
0
Physikalisches Pendel
R. Girwidz 31
Modell des harmonischen Oszillators
parabelförmiger Potentialtopf
) (
) (
x dx E
d x D x F
pot
Gleichgewichtslage Minimum der pot. Energie
elast. Rückstellkraft prop. Auslenkung
2
2 ) 1
(x D x
Epot
9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung 9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung harmonische Schwingung um Gleichgewichtslage
D m t
x t x
D m x
x
2 cos
;
; 0
0
2 2
enz Kreisfrequ
mit
– 17
R. Girwidz 33
In der Nähe der Gleichgewichtslage ist Schwingung „harmonisch“
„Potentialverlauf für Molekülschwingungen
parabelförmiger Potentialverlauf
Gleichgewichtslage
R. Girwidz 34
9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung 9.2 Freie, ungedämpfte Schwingung
e) Das Torsionspendel
(T. S. 399)Federschwingung ist ein „gutes“ Modell für viele physikalische Überlegungen:
-
Molekülschwingungen-
Schwingungen von Festkörpern, etc.i. A. gilt für die Energie aber nicht exakt: E~ x02
(nur "in guter Näherung" in der Nähe des Gleichgewichtes)
R. Girwidz 35
Parametrischer Oszillator
erfährt periodische Änderung
Parametrischer Oszillator als Fadenpendel mit periodisch variierter Fadenlänge
Gleichung Diff.
e Mathieusch
0 cos
1 2 1
cos 1
0 0
2 0
0 0 2 0 2
2 2 2 0 2
