CL Schwingungen

4. ¨ Ubungsblatt Universit¨at Karlsruhe

Institut f¨ ur Experimentelle Kernphysik Ausgew¨ahlte Kapitel der Physik

SS 2007 Prof. Dr. G. Quast

Ausgabe: 11.05.2007 Dr. T. Kuhr

Besprechung: 24.05.2007 Thomas.Kuhr@ekp.uni-karlsruhe.de

Schwingungen

Aufgabe 1: Schwingkreis

Wir betrachten einen elektrischen Schwingkreis bestehend aus einer Spule mit der Induktivit¨at L, einem Kondensa- tor mit der Kapazit¨at C und einem Schalter, mit dem der Kreis ge¨offnet und geschlossen werden kann. Auf dem Kon- densator befinde sich anf¨anglich die Ladung Q 0 = Q(t = 0).

Zum Zeitpunkt t 0 = 0 werde der Kreis durch den Schalter geschlossen.

werde der Kreis durch den Schalter geschlossen. Entwickeln Sie mithilfe der Kirchhoff’schen Maschenregel eine Gleichung für die Ladung, die im mechanischen Analogon der

C L

a) Entwickeln Sie mithilfe der Kirchhoff’schen Maschenregel eine Gleichung f¨ ur die La- dung, die im mechanischen Analogon der Gleichung f¨ ur die Auslenkung eines Feder- pendels entspricht. Verwenden Sie dabei die Beziehungen Q = CU C , U L = −L I, ˙ I = ˙ Q.

b) Welche Gr¨oßen des elektrischen und des mechanischen Systems entsprechen sich ge- genseitig?

c) Geben Sie eine L¨osung der Differentialgleichung f¨ ur Q(t) an.

d) Welche Eigenfrequenz hat der Schwingkreis, wenn am Kondensator mit der Kapazit¨at C = 2 µF anf¨anglich (t = 0) die Spannung U 0 = 10 V angelegen ist und die Spule eine Induktivit¨at von L = 5 µH hat?

Aufgabe 2: Schwebung

Durch ¨ Uberlagerung zweier Sinusschwingungen soll ei- ne Schwebung mit der Grundfrequenz 400 Hz und einer Schwebungsfrequenz von 1 Hz erzeugt werden.

Welche Frequenz m¨ ussen die beiden Ausgangsschwin- gungen haben, um dieses Signal zu erzeugen?

(Hinweis: Die Schwebungsfrequenz sei durch den einfa- chen Abstand von Schwebungsknoten zu Schwebungs-

knoten definiert.) Schwebungsfrequenz

Grundfrequenz

Aufgabe 3: Fourier-Transformation

Berechnen Sie die Fouriertransformation der Rechteck-Funktion f (t) =

( +A f¨ ur ^2π _ω m ≤ t < ^2π _ω (m + ¹ ₂ )

−A f¨ ur ^2π _ω (m + ¹ ₂ ) ≤ t < ^2π _ω (m + 1) (m = ..., −2, −1, 0, +1, +2, ...) (Hinweis: Die Anleitung zu Fourierreihen sollte aus der HM bekannt sein.)

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Aufgabe 4: Unged¨ ampfte und ged¨ ampfte Schwingung

Ein Gegenstand der Masse m schwinge reibungsfrei an einer horizontalen Feder mit der Amplitude A . Die gr¨oßte Beschleunigung betrage a max .

a) Wie groß ist der zeitliche Mittelwert der Energie?

b) Geben Sie die Schwingungsdauer und die Schwingungsfrequenz an.

c) Es wirke nun zus¨atzlich eine zur Geschwindigkeit proportionale Reibung, die das Sy- stem d¨ampft. Durch den Einfluss dieser D¨ampfung verringert sich die Schwingungs- frequenz um 10%. Um welchen Faktor verringert sich die Amplitude und Energie pro Periode?

d) Welche Werte ergeben sich in a) und b) f¨ ur die Schwingung eines Gegenstands mit Masse m = 5 kg, der Amplitude A = 4 cm und einer maximalen Beschleunigung von a max = 24 m s

?

Aufgabe 5: Erzwungene Schwingungen

Wir betrachten ein ged¨ampftes Federpendel wie in Aufg. 4. Das bisher feste Ende der Feder werde nun durch eine periodische Kraft hin- und herbewegt, F E = F 0 cos(ω E t). Auf die Masse m wirkt somit eine zus¨atzliche Kraft.

a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung f¨ ur die erzwungene Schwingung auf.

b) Aus welchen Teilen setzt sich die allgemeine L¨osung der Differentialgleichung zusam- men, die sich aus der Bewegungsgleichung in a) gewinnen l¨asst?

c) Welcher Teil von b) ¨uberwiegt f¨ ur l¨angere Zeiten?

Wir betrachten nun den station¨aren Zustand, wenn die ged¨ampfte Eigenschwingung abge- klungen ist und das System mit der Erregerfrequenz schwingt.

Ansatz: x(t) = A 2 cos(ω E t + φ)

d) Von welchen Gr¨oßen der Schwingung h¨angen die Phasenverschiebung φ zwischen Er- regung und Schwingung sowie die Amplitude der Schwingung ab?

e) Bei welcher Phasenverschiebung hat das System maximale Leistungsaufnahme? (Kei- ne riesige Rechnung, nur argumentativ beantworten!)

f ) Bei welcher Erregerfrequenz ist die Amplitude der Schwingung maximal?

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Die ¨ Ubungsaufgaben finden Sie auch im Internet unter der URL:

http://www-ekp.physik.uni-karlsruhe.de/~tkuhr/AKdPh

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