Physik Schwingungen Klasse Schwingkreis
Bastgen Elektrische Schwingkreise Druckdatum : Februar 15
Der Serienresonanzkreis
Nach dem Kirchhoffschen Gesetz muß die Summe der
Einzelspannungen gleich der gesamten anliegenden Spannung sein:
UL + UR + UC = 0 L dI/dt + RI + q/C = 0
oder nach t differenziert: d I dt
R L
dI
dt LCI
2 2
1 0
Der Ansatz I t( ) I e0 i t führt zu der charakteristischen Gleichung für die Frequenz
2
2
2
2 2
1 0
2 2
1
2
1 2
iR
L LC mit der Lösung
i R L
R
L LC bzw
i R
L LC
R
L i o
=
=
Hieraus liest man ab, daß der Schwingkreis die Eigenfrequenz o
LC1
besitzt. Die Dämpfung ist zum ohmschen Widerstand R direkt und zur Induktivität L umgekehrt
proportional. Damit entspricht die Induktivität im Schwingkreis der Masse (Trägheit) bei der Federschwingung.
Insgesamt erhält man als Lösung der Differentialgleichung für den Schwingfall:
I t I e I e e
I e t
o
i i t
o
t i t
o t
o
o o
( )
cos( )
2 2 2 2
2 2
Physikalisch relevant ist der Realteil der Lösung:
I(t)
Für die anliegenden Spannungen erhält man bei vernachlässigtem ohmschen Widerstand:
U Q
C
Idt C
I
C t
U LdI
dt LI t
c
o o
o
L o o o
sin( ) sin( )
Daraus erkennt man, daß die Spannung an der Spule dem Strom um eine Viertelperiode vorauseilt, bzw. die Spannung am Kondensator dem Strom um eine Viertelperiode
nachhinkt (Der Strom hat zum Zeitpunkt t=0 schon den Maximalwert erreicht, wahrend die Spannung ihren Maximalwert erst nach T/4 erreicht).
Im Extremfall besteht ein Schwingkreis nur noch aus einer einzigen Drahtschleife, dessen Eigenfrequenz dann ca 10Ghz beträgt.
Legt man nun eine Wechselspannung mit der Frequenz an, so erhält man ebenfalls nach Kirchhoff:
U
UC = Q/C
UR = RI
UL = L dI/dt
Physik Schwingungen Klasse Schwingkreis
Bastgen Elektrische Schwingkreise Druckdatum : Februar 15
R 1 C L R
L R tan X Phase
sin Z X d tan s Blindwider
cos Z R d tan Wirkwiders
R L Z d tan rs Scheinwide
i L R Z Impedanz
dann sich ergibt ände romwiderst Wechselst
die Für
Hz Q 1000
= reite Halbwertsb die
58 , R 1 2 Q L
Güte die
Hz 10 58 , LC 1 enz 1
Eigenfrequ die
für sich ergibt Damit
F m 0,4
= C und 1mH
= L , 0,5
= R Seien
R L U 1 e e 1 C
L R U 1 e 1 C L R
C) L 1
( i R U I
liefert Erweitern
e C i R 1 L i U 1 e RL LC i
1
L / U i
I
Stromes des
Amplitude maximale
die für man erhält also
LU i e LCI e 1
LI i R e I
e durch Kürzen nach
dann liefert I von Einsetzen e
LU i LCI
1 dt dI L R dt
I d
L durch Dividieren und
t nach eren Differenzi nach
e I ) t ( I Ansatz dem
mit und
e U dt C I I 1 R I L
2 o 2
2 2 o 2 2 2 2
2 o 2 o
o
3 o
2 2 o 2 2 2 2 o i i 2 2
o i 2 2
o o
i o
i o 2
o
o i
o i
o i
o 2
t i t
i 2 o
2
) t ( i o t
i o
wL
1/wC
R i
R Z
X
