Spieltheorie
Aufgabe 1 : Tullock-Wettstreit
Nehmen Sie an, dass es auf dem Markt f¨ur Tankflugzeuge nur 2 Produzenten gibt:
Airing und Bobus. Da die tasmanische Luftwaffe nur eine veraltete Tankflugzeugflotte besitzt, sucht der zust¨andige Beamte nun einen Hersteller, der diesen Zustand durch neue Maschinen verbessern soll. F¨ur Airing und Bobus ist das ein lukrativer Auftrag! Beide sch¨atzen, dass Sie einen Gewinn von𝑉 erwirtschaften, falls sie den Zuschlag bekommen.
Da nur ein Hersteller den Auftrag bekommen kann, m¨ussen beide Unternehmen versuchen den Beamten von sich zu ¨uberzeugen! Dazu investieren beide in Marketing, Bestechungs- gelder usw. Die Ausgaben von Airing seien gegeben durch 𝑥𝐴 und die von Bobus durch 𝑥𝐵. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Beamte f¨ur einen der beiden entscheidet, ist durch folgende Funktion bestimmt:
𝑝𝑖 =
{ 𝑥𝑖
𝑥𝐴+𝑥𝐵 f¨ur 𝑥𝐴+𝑥𝐵 > 0
1
2 f¨ur 𝑥𝐴+𝑥𝐵 = 0 𝑖 = 𝐴, 𝐵 a) Wie lautet eine reine Strategie f¨ur jeden der beiden Flugzeugbauer?
Geben Sie den erwarteten Gewinn f¨ur beide an! Ist es m¨oglich, dass Airing und Bobus keine Ausgaben t¨atigen, um den Beamten zu ¨uberzeugen? (Es gibt keine Kommunika- tion zwischen den Konkurrenten!)
b) Berechnen Sie das Nash-Gleichgewicht im Wettbewerb der beiden Firmen! Wie hoch sind die Ausgaben und der erwartete Gewinn der Firmen? Wie hoch ist der Anteil am Gewinn𝑉, der f¨ur Werbemaßnahmen usw. ausgegeben wird?
Bobus hat nun die M¨oglichkeit eine Kooperation mit einem lokalen Flugzeugproduzenten einzugehen. Dieser w¨urde anstelle von Bobus den Wettbewerb f¨uhren. Bobus h¨atte keine Kosten zu tragen und bekommt einen Anteil von (1-𝛼) am eventuellen Erl¨os𝑉.
Der lokale Anbieter w¨urde die Kosten, 𝑥𝐿, in voller H¨ohe tragen und daf¨ur einen Anteil von𝛼am eventuellen Erl¨os bekommen. Der Ablauf w¨are also der folgende: Zuerst schließt Bobus den Vertrag mit dem lokalen Wettbewerber und bestimmt das 𝛼, welches allen Teilnehmern bekannt ist. Erst danach treten der lokale Wettbewerber und Airing in das Rennen um den Auftrag ein und der Beamte entscheidet.
c) Berechnen Sie𝛼∗, den Anteil den Bobus im Gleichgewicht seinem Partner im Vertrag anbietet! (Hinweis: Wieviele Stufen hat das Spiel? Nutzen Sie R¨uckw¨artsinduktion!) Sollte Bobus den Vertrag mit dem lokalen Produzenten schließen oder lieber selbst am Wettbewerb teilnehmen? Begr¨undung!
d) Welchen Anteil𝛼∗∗ bietet Bobus seinem Partner, wenn dieser aufgrund seines ,,Heim- vorteils” den Beamten leichter beeinflussen k¨onnte; d.h. jede Einheit𝑥𝐿als 2 Einheiten 𝑥𝐵 z¨ahlt?
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Spieltheorie
Aufgabe 2 : extensive- und Normalform
a) Bestimmen Sie alle Nash Gleichgewichte des Spiels in reinen Strategien! (Tipp: Be- trachten Sie dazu die zugeh¨orige Normalform)
b) Welche dieser Nash Gleichgewichte sind teilspiel-perfekt? Begr¨unden Sie Ihre Antwort!
c) Jetzt nehmen Sie an, die beiden Entscheidungsknoten des Spielers 2 befinden sich in einer Informationsmenge, d.h. Spieler 2 kann die Aktion des Spielers 1, die ihn an den Zug brachte, nicht beobachten. Bestimmen Sie alle teilspiel-perfekten Nash Gleichge- wichte des neuen Spiels. Gibt es hier ein Nash-Gleichgewicht, das nicht teilspiel-perfekt ist? Begr¨unden Sie Ihre Antwort!
d) Jetzt entf¨allt die Strategie R des Spielers 1, aber die Informationsmenge bleibt. D.h., wir betrachten das simultane Spiel in dem beide Spieler aus {L,M} bzw. {𝐿′, 𝑅′} w¨ahlen k¨onnen. Dieses Spiel besitzt ein Nash Gleichgewicht in echt gemischten Strate- gien. Berechnen Sie dieses Gleichgewicht sowie den erwarteten Gewinn jedes Spielers in diesem Gleichgewicht!
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Spieltheorie
Aufgabe 3 : unvollst¨andige Information
Die spanische Firma A m¨ochte den Essener Baukonzern B ¨ubernehmen. Allerdings kennt A den Firmenwert von B nicht genau. Sie vermutet, dass er unter dem jetzigen Management zwischen 0 und 100 liegt, wobei sie jeden dieser Betr¨age f¨ur gleich wahr- scheinlich h¨alt.
Ubernimmt A die Firma B, so w¨¨ urde ihr Wert unter dem neuen Management um 50 % steigen; d.h. falls A f¨ur die ¨Ubernahme von B den Betrag von𝑦 bietet und B (unter dem jetzigen Management) 𝑥 wert ist, so ist die Auszahlung f¨ur A bei Annahme des Gebots 1,5𝑥−𝑦 und die f¨ur B𝑦. Wenn B ablehnt erhalten beide 0.
a) Stellen Sie diese Situation als ein Spiel mit unvollst¨andiger Information dar, in dem die Natur den Typ von B w¨ahlt, A das Angebot𝑦, und B ¨uber Annahme oder Ablehnung entscheidet!
b) Was ist ein Bayesianisches Spiel allgemein, welche Forderungen an das Verhalten der Spieler stellt es in diesem Spiel?
c) Ermitteln Sie das (Bayesianische) Nash-Gleichgewicht dieses Spiels! Kommt es zur Ubernahme und falls ja, zu welchem Preis?¨
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Spieltheorie
Aufgabe 4 : extensive- und Normalform
Frau L hat an einem Empfang in der Neu-Kaledonischen Botschaft teilgenommen.
Leider hat sie die Wirkung, des dort ausgesch¨ankten franz¨osischen Weins, untersch¨atzt, so dass sie nicht mehr fahren d¨urfte. Da sie rechtzeitig zu Hause sein will, entschließt sie sich doch noch selbst zu fahren!
Sie weiß, dass um diese Uhrzeit nur eine Polizeistreife unterwegs ist. Da in ihrer Heimat- stadt so gut wie nie etwas passiert, hat es sich eingeb¨urgert, dass die Streife in einem Imbiss eine Pause macht und auf Eins¨atze wartet.
Frau L hat nun die M¨oglichkeit mit ¨uberh¨ohter Geschwindigkeit und ¨uber rote Ampeln zu fahren (R) oder zu versuchen normal zu fahren (N). Die Polizisten k¨onnen eine Pau- se machen (P) oder eine Kontrollfahrt unternehmen (K). Falls die Polizisten eine Pause machen, w¨ahrend jemand ¨uber rote Ampeln f¨ahrt, haben sie eine Auszahlung von -1.
Falls sie allerdings den Raser erwischen, weil sie keine Pause machen, bekommen sie eine Auszahlung von 2, da sie die Straßen sicherer gemacht haben. Allerdings bekommen die Ordnungsh¨uter auch eine Auszahlung von 2, wenn sich niemand gesetzeswiedrig verh¨alt und sie im Imbiss warten k¨onnen. Ohne Pause werden routinem¨aßig Kontrollen durch- gef¨uhrt und es besteht die M¨oglichkeit, dass Frau L erwischt wird, auch wenn sie versucht normal zu fahren. In diesem Fall haben die Polizisten eine erwartete Auszahlung von 1 und Frau L von -2. Falls Frau L erwischt wird, wie sie eine rote Ampel ¨uberf¨ahrt, be- kommt sie eine Strafe von 5. Der Nervenkitzel etwas verbotenes zu tun ist auch daf¨ur verantwortlich, dass sie bei R eine Auszahlung von 2 und bei N eine Auszahlung von 1 erh¨alt, wenn die Polizisten eine Pause machen und sie deshalb nicht erwischt wird.
a) Stellen Sie die Normalform des Spiels auf! Bestimmen Sie anschließend alle Nash- Gleichgewichte! Wie viele gibt es? Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit, dass die Polizisten keine Pause machen, mindestens sein, so dass Frau L nur versucht normal zu fahren (immer N w¨ahlt)?
Nehmen Sie nun an, dass Frau L vor Fahrtantritt sehen kann, ob die Polizisten am Imbiss stehen oder nicht.
b) Geben Sie die extensive Form zu diesem ver¨anderten Spiel an! Wer entscheidet sich zuerst? Erstellen Sie anschließend die Normalform! Wie viele Strategien hat Frau L und wie heißen diese? Bestimmen Sie danach alle Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien in der Normalform!
Nehmen Sie nun an, dass Frau L nicht beobachten kann, ob die Polizisten eine Pause machen, sondern nur weiß, dass die Wahrscheinlichkeit f¨ur eine Pause den Wert x-hat.
Nehmen Sie des Weiteren an, dass es zwei Ampeln gibt und dass die Streife nur an einer von beiden warten kann. Falls Frau L R spielt und die Polizei sie sieht, ist die Fahrt vorbei.
Falls Sie N w¨ahlt, wird sie nie erwischt. Sie kann sich an beiden Ampeln zwischen R und N entscheiden.
c) Geben Sie die extensive Form zu diesem Spiel an! (Die Auszahlungen k¨onnen sie be- liebig bezeichnen). Erkl¨aren Sie anschließend verbal anhand eines Beispiels, wann die Annahme der perfekten Erinnerung f¨ur Frau L verletzt w¨are!
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