Institut für Theoretische Physik PD. Dr. R. Klesse
der Universität zu Köln Jochen Peschutter
Mathematische Methoden – Blatt 13
Sommersemester 2014
Webpage: http://www.thp.uni-koeln.de/∼rk/mathmeth2014.html/
Abgabe bis Dienstag, den 15.07.2014, 12:00 in den entsprechenden Briefkasten vor dem Eingang des Instituts für Theoretische Physik.
50. δ-Distribution 5+1+1+1+2=10 Punkte
a) Bestimmen Sie folgende Integrale:
(i)
∞
Z
−∞
dx sinx
1 +x2 δ(x−a)
(ii)
∞
Z
−∞
dx
∞
Z
−∞
dy yxδ(x−2)
(iii)
∞
Z
−∞
dx
∞
Z
−∞
dy(x+y)2δ(x−y)
(iv)
∞
Z
−∞
dx
∞
Z
−∞
dy(x−y)2δ(x+y)
(v)
∞
Z
−∞
dx
∞
Z
−∞
dy
∞
Z
−∞
dz δ(p
x2+y2+z2−R) (Tipp: Kugelkoordinaten!)
b) Zeigen Sie mittels Substitution:
∞
R
−∞
dx f(x)δ(ax) = 1af(0) (d.h.: δ(ax) =a1δ(x)).
c) Die Funktion h(x)besitze eine einzige Nullstellex0 und es gelteh0(x0)6= 0. Zeigen Sie:
∞
Z
−∞
dx f(x)δ(h(x)) = 1
|h0(x0)|f(x0).
d) Die Funktion h(x) besitze genau nNullstellen x1, . . . , xn und es gelte h0(xj) 6= 0. Zeigen
Sie: ∞
Z
−∞
dx f(x)δ(h(x)) =
n
X
j=1
1
|h0(xj)|f(xj). e) Berechnen Sie
∞
Z
−∞
dx sinx
x δ(x2+ 2x−3).
1
51. Fourier-Transformation 12+8=20 Punkte a) Bestimmen Sie die Fouriertransformierten folgender Funktionen:
f(x) =
(1 fallsx∈[0, b]
0 fallsx /∈[0, b], g(x) =
(e−γxeik0x fallsx≥0 0 fallsx <0 , h(x) = e−(x−x0)2 , j(x) = 2xe−x2 .
f1(x) =δ(x−x0), g1(x) = 1.
b) Zeigen Sie folgende Identitäten:
(i) fb0(k) =ikf(k)b (ii) cf00(k) =−k2fb(k)
(iii) fcx0(k) = e−ikx0fb(k), wobeifx0(x) :=f(x−x0) .
52. Fourier-Reihe 2+8=10 Punkte
f sei die 2-periodische Funktion (d.h. f(x) =f(x+ 2)) mitf(x) =x fürx∈[−1,1[.
a) Zeichnen Sie den Graphen vonf über dem Interval[−5,5].
b) Stellen Sie f durch eine Fourier-Reihe dar.
2
