Abgabe bis Mittwoch, den 15.05.2019, 11:00 Uhr in den entsprechenden Briefkästen vor dem Eingang des Instituts für Theoretischen Physik.

Institut für Theoretische Physik Tim Schmitz, Christopher Max

Universität zu Köln Rochus Klesse

Theoretische Physik II (Lehramt, Geophysik, Wahlfach) 5. Übung

Sommersemester 2019

Abgabe bis Mittwoch, den 15.05.2019, 11:00 Uhr in den entsprechenden Briefkästen vor dem Eingang des Instituts für Theoretischen Physik.

18. Zur Diskussion

a) ψ(x) und ψ(p) ˜ seien Orts- bzw. Impulswellenfunktion des Teilchenzustands |ψi. In welcher mathematischen Beziehung stehen ψ(x), ψ(p) ˜ und |ψi zueinander?

b) Wie lautet die Ortswellenfunktion eines Impulseigenzustands | ϕ ˜

i?

c) Wie lautet die Ortswellenfunktion eines Ortseigenzustands |ϕ

i?

d) Wie lautet die Impulswellenfunktion eines Ortseigenzustands |ϕ

i?

e) Wie lautet die Impulswellenfunktion eines Impulseigenzustands | ϕ ˜

i?

f) Wie hängen Translation und Impuls zusammen?

g) Wie lautet die Schrödinger-Gleichung eines Teilchens (1D) in Ortsdarstellung? Was versteht man unter der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung?

19. Zustände in Orts- und Impulsdarstellung (2+4+2+6)

Zwei Zustände |ψ

i und |ψ

i eines Teilchens (in einer Dimension) seien durch die Wel- lenfunktionen

ψ

(x) = 1

(2πσ

)

e

e

. gegeben. Hierbei sind σ und k positive reelle Konstanten.

a) Skizzieren Sie |ψ

(x)|

und |ψ

(x)|

. Was ist die physikalische Bedeutung von R

x1

dx|ψ

(x)|

? b) Die Zustände |ψ

i können bekanntlich gemäß |ψ

i = R

2π~

ψ ˜

(p) | ϕ ˜

i durch Impuls- eigenzustände dargestellt werden. Bestimmen Sie die entsprechenden Koeffizienten (Impulswellenfunktionen) ψ ˜

(p) und ψ ˜

(p).

1

Hinweis: Sie dürfen dazu folgende Identität benutzen:

∞

Z

−∞

e

du = r π

α e

2

4α

, für α ∈ R

, β ∈ C .

(Insbesondere gilt die Gleichung also für β = ik.)

c) Skizzieren Sie nun | ψ ˜

(p)|

und | ψ ˜

(p)|

. Was ist die physikalische Bedeutung von R

p1

dp

2π~

| ψ ˜

(p)|

?

d) Berechnen Sie schließlich die Erwartungswerte von x, x

, p und p

in den Zuständen

|ψ

i und |ψ

i.

20. Teilchen im Kasten (2+4+4+2)

Ein ansonsten freies Teilchen auf einer Geraden (Koordinate x) werde durch ein unend- lich hohes Potenzial bei x < 0 und x > L auf das Intervall [0, L] beschränkt. Wie z.B.

in der Vorlesung gezeigt wurde, nimmt dadurch das Teilchen gequantelte Eigenenergien

E

= ~

k

2m , mit k

= π

L n , n ∈ N in Energieeigenzuständen |ψ

i mit Wellenfunktionen

ψ

(x) = r 2

L sin k

x an. Zur Zeit t = 0 befinde sich nun das Teilchen im Zustand

|χi = 1

√ 2 (|ψ

i + |ψ

i)

a) Wie lautet der Systemzustand |χ(t)i zur Zeit t > 0?

b) Skizzieren Sie die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Teilchens zu Zeiten t

= 0, t

= T /4, t

= T /2, t

= 3T /4 und t

= T , wobei T = 4mL

/3π ~ .

c) Berechnen und skizzieren Sie ebenso die Erwartungswerte vom Ort und Impuls des Teilchens im Zustand |χ(t)i als Funktion der Zeit t ∈ [0, T ].

d) Berechnen Sie den Energieerwartungswert des Teilchens im Zustand |χ(t)i.

2