Temperaturgradient steigt Konvektionsrollen

Seminar: Dynamische Modelle komplexer Systeme

Vortrag:

„Symmetriebrechung & Musterbildung“

Dienstag, 12.07.2005 17:15 Uhr, SR/GMG Referent:

Philippe Bourdin

Blattnervatur eines tropischen Farns [3]

Musterbildung ist ein Prozeß, bei dem ein

räumlich homogener Zustand instabil wird und einem inhomogenen Zustand, also einem Muster weicht.

Meist wird eine solche

spontane Symmetriebrechung durch Veränderung eines

Parameters in einem

nichtlinearen System erzielt.

Definition: „Symmetriebrechung & Musterbildung“

Musterbildung ist ein Prozeß, bei dem ein

räumlich homogener Zustand instabil wird und einem inhomogenen Zustand, also einem Muster weicht.

Meist wird eine solche

spontane Symmetriebrechung durch Veränderung eines

Parameters in einem

nichtlinearen System erzielt.

Definition: „Symmetriebrechung & Musterbildung“

[2]

Musterbildung ist ein Prozeß, bei dem ein

räumlich homogener Zustand instabil wird und einem inhomogenen Zustand, also einem Muster weicht.

Meist wird eine solche

spontane Symmetriebrechung durch Veränderung eines

Parameters in einem

nichtlinearen System erzielt.

Definition: „Symmetriebrechung & Musterbildung“

• Ein bißchen Geschichte

• Zweidimensionale Muster

• Das Bénard-Experiment

• Komplexe Ginzburg-Landau-Gleichung (CGLE)

• Belousov-Zhabotinsky-Reaktion (BZ)

• Reaktions-Diffusions-Gleichungen (RD)

• Simulation: Der Brüsselator

• Weitere Muster in der Natur

Inhalt: „Symmetriebrechung & Musterbildung“

Ein bißchen Geschichte

• Wie entstehen zweidimensionale Muster ?

Ein bißchen Geschichte

• Wie entstehen zweidimensionale Muster ?

• Ab 1965 erforscht u.a. von A. Gierer und H. Meinhardt (MPI)

• Einfaches Turing-Modell: System aus Aktivator und Inhibitor

• beschreibbar durch

zwei nichtlineare, partielle Differentialgleichungen

Zweidimensionale Muster

• Beispiel: Astwachstum am Süßwasserpolypen

Zweidimensionale Muster

• Beispiel: Astwachstum am Süßwasserpolypen

• Substrat nötig, Fluktuation („Samen“) startet für Zellwachstum

• Wachstum geht zur höchsten Substrat-Konzentration

• Inhibitor zieht weiter mit Aktivator

• Ist Aktivator weit genug entfernt, kann ein Abzweig entstehen, da der Inhibitor ebenfalls fehlt

• Zweig-Wachstum wieder

zur höchsten Substrat-Dichte

• Wachstum geht weiter,

bis Substrat aufgebraucht ist

• Kein „zusammenwachsen“ _[2]

Zweidimensionale Muster

• Beispiel: Astwachstum am Süßwasserpolypen

• Substrat nötig, Fluktuation („Samen“) startet für Zellwachstum

• Wachstum geht zur höchsten Substrat-Konzentration

• Inhibitor zieht weiter mit Aktivator

• Ist Aktivator weit genug entfernt, kann ein Abzweig entstehen, da der Inhibitor ebenfalls fehlt

• Zweig-Wachstum wieder

zur höchsten Substrat-Dichte

• Wachstum geht weiter,

bis Substrat aufgebraucht ist

• Kein „zusammenwachsen“

Zweidimensionale Muster

• Beispiel: Astwachstum am Süßwasserpolypen

• Substrat nötig, Fluktuation („Samen“) startet für Zellwachstum

• Wachstum geht zur höchsten Substrat-Konzentration

• Inhibitor zieht weiter mit Aktivator

• Ist Aktivator weit genug entfernt, kann ein Abzweig entstehen, da der Inhibitor ebenfalls fehlt

• Zweig-Wachstum wieder

zur höchsten Substrat-Dichte

• Wachstum geht weiter,

bis Substrat aufgebraucht ist

• Kein „zusammenwachsen“ _[2]

Zweidimensionale Muster

• Beispiel: Astwachstum am Süßwasserpolypen

• Substrat nötig, Fluktuation („Samen“) startet für Zellwachstum

• Wachstum geht zur höchsten Substrat-Konzentration

• Inhibitor zieht weiter mit Aktivator

• Ist Aktivator weit genug entfernt, kann ein Abzweig entstehen, da der Inhibitor ebenfalls fehlt

• Zweig-Wachstum wieder

zur höchsten Substrat-Dichte

• Wachstum geht weiter,

bis Substrat aufgebraucht ist

• Kein „zusammenwachsen“

Zweidimensionale Muster

• Beispiel: Astwachstum am Süßwasserpolypen

• Substrat nötig, Fluktuation („Samen“) startet für Zellwachstum

• Wachstum geht zur höchsten Substrat-Konzentration

• Inhibitor zieht weiter mit Aktivator

• Ist Aktivator weit genug entfernt, kann ein Abzweig entstehen, da der Inhibitor ebenfalls fehlt

• Zweig-Wachstum wieder

zur höchsten Substrat-Dichte

• Wachstum geht weiter,

bis Substrat aufgebraucht ist

• Kein „zusammenwachsen“ _[2]

Zweidimensionale Muster

• Simulation versus Beobachtung: Wachstum von ZnSO₄

• Dendritische Ablagerung simulierbar durch Zelluläre Automaten

Das Bénard-Experiment

• Temperaturgradient sorgt für Wärmetransport

Das Bénard-Experiment

• Temperaturgradient sorgt für Wärmetransport

• Viskosität der Flüssigkeit bremst Konvektion

Das Bénard-Experiment

• Kritischer Temperaturgradient notwendig für ein Umschlagen

Temperaturgradient steigt Konvektionsrollen

[4]

Das Bénard-Experiment

• Aus: Naviér-Stokes-Gleichung, Bewegungsgleichungen, Kontinuitätsgleichung und Wärmeleitungs-Gleichung.

• Boussinesq-Approximation:

(mit als thermischen Ausdehnungskoeffizient) Alle anderen Materialparameter konstant.

• Man erhält mit weiteren Näherungen und Vereinfachungen die spezielle Navier-Stokes-Gleichung:

(u: innere Energie q: transportierte Wärmemenge g: Gravitation)

(

)

2 0

0

ρ ρ ρ

ρ + −

∂

∂ + ∂

∂

− ∂

 =



 





∂ + ∂

∂

∂

i i

i i i

i i j

i

g

x x q u x p

x u t u

u

( )

(

)

0

1 − T − T

= ρ α ρ

α

Das Bénard-Experiment

• Damit lassen sich die Konvektionsrollen erklären:

laminare Konvektionsrollen Chaotisch bei höherem T.-Gradienten [4]

Das Bénard-Experiment

• Offene Randbedingungen => Hexagonale Konvektionszellen

Entspricht rein qualitativ den

Konvektions-Granulen der Sonne =>

[4]

Komplexe Ginzburg-Landau-Gleichung (CGLE)

• Allgemeine Formulierung des Problems:

( ) ^, ( {

} ^, { }

^{, λ} )

k i

i

r t t F X X

X ∂ = ∇

∂ v

Komplexe Ginzburg-Landau-Gleichung (CGLE)

• Allgemeine Formulierung des Problems:

• Vereinfacht:

• Störungsrechnung: mit

Ruhezustand + kleine Störung

• Taylor-Entwicklung:

( ) ^L ( ) ^{x h} ( ) ^{x L} ( ) ^x

dt t x

d

rität Nichtlinea Linearteil

3 v 2 1 v v 3

2

1 v

v = λ ⋅ + , λ

= λ ⋅

( ) ^{t dt F} ( ) ^{X , λ}

X

d v v v

=

( ) ^, ( {

} ^, { }

^{, λ} )

k i

i

r t t F X X

X ∂ = ∇

∂ v

( ) ^{t X x} ( ) ^t

X v = v

+ v F ( X v

^{, λ} ) ^{= 0}

S

:

X v ^{x v} ( ) ^{t :}

Komplexe Ginzburg-Landau-Gleichung (CGLE)

• Differentialgleichung:

• Lösungs-Ansatz:

• => Eigenwertgleichung:

• Stabilitätsbedingung:

• Wenn

=> Bifurkation

( ) ^L ( ) ^x

dt t x

d v

v

⋅

= λ

. 1

( ) ^{t u e}

x v = r ⋅

( ) ^{u u}

L λ ⋅ v = ω ⋅ v

( ) ^{> 0 ⇒ instabil}

Re ω

( ) ^{< 0 ⇒ stabil}

Re ω

ω

T

( ) ^Re ( ( ) ) ⁰ ∆

Re ω

= ω λ

= ^{∆ T}

[1]

Komplexe Ginzburg-Landau-Gleichung (CGLE)

• Allgemeine Ausgangs-Gl.:

• Entwicklung um kritischen Punkt:

• Taylor-Entwicklung für:

• und:

• In Systemen großer räumlicher Ausdehnung:

• man erhält:

( ) , = ( λ , ∇ ) ⋅ + ( , ∇ , λ )

∂

∂ L x h x

t t r

x v v v v v

2

...

2

1

+ +

− λ εγ ε γ λ

_a

( ) ^r

^{t x}

^x

x

ε

ε

( ) ω ε τ

∂ + ∂

∂

∂

∂

∂

Im T

t a

+ ...

∂

∂

∂

∂

ε ρ r a

( ) , ( ) λ ( ) λ ( ) , λ

1

0

x L x h x

t L t r

x v v v v v v

+

∆

⋅ +

⋅

∂ =

∂

Komplexe Ginzburg-Landau-Gleichung (CGLE)

• Einsetzen und Koeffizientenvergleich in Ordnungen von :

(analog zur linearen Analyse)

• In dritter Ordnung erhält man inhomogenes Gleichunssystem

• Lösbarkeitskriterium mittels „Satz von Friedholm“ (kompliziert)

( ) ^Im ( )

( ) 

^{= 0}



 



 −

∂

⇒ ∂ L x

O ε ω

T λ

v

ε

( ) ^{u e cc}

c

x

⇒ v₁

τ

ρ

( ) ^{( )}

^{( )}

2

2

Im L x 1 h x x

O

T

 =

⋅



 



 −

∂

⇒ ω ∂ λ v

ε

0 2

2 2

2

2

c p e cc c p

x v = ⋅ v ⋅

+ + ⋅ v

⇒

Komplexe Ginzburg-Landau-Gleichung (CGLE)

• Man erhält schließlich (mit ):

• Die „Komplexe Ginzburg-Landau-Gleichung“ (CGLE)

• Höhere Ordnungen von sind nicht enthalten.

• Entwicklung in auch für Bénard-Zelle möglich:

=> „Newell-Whitehead-Segel-Gleichung“ (NWSE)

z c a ε ⋅

( ) ( ^{z i} ) ^z ( ⁱ ) ^{z z}

t z

C

1

1 α β

λ

λ − + + ∆ + +

∂ =

∂

ε

ε

Die BZ-Reaktion

• Oszillierende Reaktion in einer Petrischale:

• Bromid und Cer ³⁺/⁴⁺

Die BZ-Reaktion

• Oszillierende Reaktion in einer Petrischale:

• Bromid und Cer ³⁺/⁴⁺

• Inhibitor: Bromid

• Reaktion 1:

verbraucht Bromid

• Reaktion 2:

oxidiert Ce³⁺

(Farbwechsel)

• Reaktion 3:

bildet Ce⁴⁺ und Bromid zurück

Die BZ-Reaktion

• Oszillierende Reaktion in einer Petrischale:

• Bromid und Cer ³⁺/⁴⁺

• Inhibitor: Bromid

• Reaktion 1:

verbraucht Bromid

• Reaktion 2:

oxidiert Ce³⁺

(Farbwechsel)

• Reaktion 3:

bildet Ce⁴⁺ und Bromid zurück

[1]

[1

Reaktions-Diffusions-Gleichungen

• Allgemeine Formulierung für oszillierende Reaktionen:

Reaktions-Diffusions-Gleichungen

• Allgemeine Formulierung für oszillierende Reaktionen:

• „Brüsselator“-Modell (Prigogine, Lefever, Nicolis, Brorckmans: 1968-1988)

• Quelle der Nicht-Linearität: autokatalytische Reaktion

• Reaktionsgeschwindigkeiten … => Ratengleichungen

X Y

X

k

3 2

→

+

C Y

X B

k +

→

+ ²

X A

k₁

→

D X

k₄

→

(autokatalytisch)

k

k

Reaktions-Diffusions-Gleichungen

• Ratengleichungen:

• Allgemein, mit Diffusionsterm (D: Diffusionskonstante):

• Lösung nur numerisch durch Zelluläre Automaten

• Zum Vergleich:

Bénard-Zelle beschreibbar durch Lorenz-Gleichungen:

X k Y X k BX k

A k dt

dX =

−

+

−

Y

X k BX k

dt

dY =

−

( ^{X Y} ) ^{D X}

dt F

dX = , , λ + ⋅ ∆

( )

bZ XY

dt dZ

XZ Y

RX dt

dY

Y X dt

dX

−

=

−

−

=

−

=

σ

= ...

dt

dY

Simulation: Der Brüsselator

• Ratengleichungen:

dX dt

k

A

k

BX

k

X

Y

k

X Y

X k BX k

dt

dY

Simulation: Der Brüsselator

• Ratengleichungen:

• Numerische Simulation: (A=1, B=3, X₀=Y₀=1, k₁=…=k₄=1)

X k Y X k BX k

A k dt

dX

Y

X k BX k

dt

dY

Y

c

T c

c

[8]

Simulation: Der Brüsselator

• Die BZ-Reaktion Simulation versus Beobachtung:

• Spiralwellen und

Chaotische Oszillationen

[2]

Simulation: Der Brüsselator

• Stabilitätsbetrachtung des Brüsselators:

• Stationäre Zustände:

• Mit A=1 und B=1,5 ergibt die Simulation:

( ^{dX dt}

^{dY dt}

)

k A X

k

4 1

A B k

k k Y

k

1 3

2 4

T

Simulation: Der Brüsselator

• Stabilitätmatrix:

• Berechne Eigenwerte:

• Instabil für:









−

−

−

2 3 2

2 3 4

2

S S

X k B

k

X k k

B k

2 2

4 2 1 2 3 2

2 4 2

3 2

4

A

k k k k k

X k k

k k

B

k

( )















 − − ± + − −

=

± 14 24 4 34 144444424444443

il Imaginärte

2 4 3 2

2 4

2 3 Realteil

4 2

3

2 4

2 1

S S

S

k k X k k B k k X

X

k

B

λ k

Weitere Muster in der Natur

Weitere Muster in der Natur

• Schneckenmuster:

• Aktivator, Inhibitor, Diffusionsterme, Zerfallsraten, Grundproduktion

2 2 2

x D a a

r b b

s a t

a

a a

a ∂

+ ∂

 −



 



 +

∂ =

∂

2 2 2

x D b b

r t sa

b

b

b ∂

+ ∂

−

∂ =

∂

[Amoria dampieria] [Natica Stercusmuscarum]

Weitere Muster in der Natur

• Musterbildung:

Katalytische CO-Oxidation

[5]

Zusammenfassung

• Wir sahen Muster in: der Natur, der Physik und der Chemie

• Theoretische Modelle bieten eine gute Beschreibung

• Simulationen zeigen teilweise gute Übereinstimmungen zwischen Theorie und der Beobachtung

• Trotz allem gibt es bisher keine eindeutigen Beweise, daß die Muster in der Natur tatsächlich durch diejenigen Prozesse entstehen, die in den theoretischen Modellen zugrunde gelegt worden sind.

• Es gibt noch viel zu tun…

Literatur

• [1] G. Nicolis: „Introduction to nonlinear science“

1995, Cambridge University Press

• [2] H. Meinhardt: „Biological Pattern Formation“

http://www.biologie.uni-hamburg.de/b-online/e28_1/pattern.htm

• [3] P. Prusinkiewicz: „Musterbildung“

http://www.biologie.uni-hamburg.de/b-online/d28/28b.htm

• [4] E. Jakobi: Vortrag „Selbstorganisation“

2003, http://prp0.prp.physik.tu-darmstadt.de/~ejakobi/rbkonv.pdf

• [5] M. Kim, M. Bertram, H. Rotermund: „CO Oxidation“

2001, Science, 292:1357-1359

• [6] Simulations-Software: „The Virtual Laboratory“

http://algorithmicbotany.org/virtual_laboratory/

• [7] P. Meakin: „A new model for biological pattern formation“

1986, Journal of Theoretical Biology, 118:101-113

• [8] J. Krieger: „Reaktions-Diffusions-Systeme“

http://jkrieger.de/bzr/inhalt.html