Weitere Aufgaben

Ubungsblatt 2 ¨

1) Zerlegen Sie folgende gebrochen rationale Funktionen in rein reelle Partialbr¨uche:

a) f(x) = x+ 13

x² + 5x−6 b) g(x) = 2x³+ 4x² + 5x+ 5 x⁴+ 3x³+ 5x²+ 5x+ 2 c) h(x) = x⁴+ 2x³+x²−2x−1

x³+x²−2

2) Untersuchen Sie das asymptotische Verhalten (Pole, Verhalten f¨ur x→ ±∞) folgender Funktionen:

a) f(x) = x²−2x+ 3

x²−2x−3 b) f(x) = x⁴+ 1 x³−x²−2x Skizzieren Sie diese Funktionen anhand Ihrer Analyse.

Hinweise: Bestimmen Sie die Polstellen aus den Nullstellen des Nenners und dem Vorzeichenverhalten der Gesamtfunktion nahe dieser Nullstellen. Das Verhalten f¨ur x→ ±∞ wird aus dem Resultat einer Polynomdivision ersichtlich.

3) Beweisen Sie folgende Eigenschaften der Hyperbelfunktionen:

a) cosh²(x)−sinh²(x) = 1 b) sinh(x+y) = sinh(x) cosh(y) + cosh(x) sinh(y) c) _dx^d (sinh(x)) = cosh(x)

Hinweis: Verwenden Sie den Zusammenhang zwischen den Hyperbelfunktionen und der Exponentialfunktion, sowie die Beziehung _dx^d exp(ax) = aexp(ax).

4) Geben Sie (argumentativ, ohne Beweis) zu folgenden Funktionen jeweils ein Intervall an, in dem die Funktion monoton ist, und bilden Sie dort die Umkehrfunktion:

a)f(x) = x 2 +

rx²

4 −1 b)f(x) = sin (arctan(x))

Geben Sie dabei Definitions- und Wertebereiche an: f¨ur die urspr¨ungliche Funktion, f¨ur das gew¨ahlte monotone Intervall, und f¨ur die ermittelte Umkehrfunktion.

5) Bilden Sie die 1. und 2. Ableitung der folgenden Funktionen:

a) y=x²sin x1

b) y= arccot(x) c) y= sinh(ln√ x) d) y= sin³ √

2x−1

e) y=x³+ 4x²+ 4x+ 2

6) Untersuchen Sie die folgenden Grenzwerte, ohne die Regel von de L’Hospital zu benutzen:

a) lim

x→0−

tan(x) p1−cos(x) Hinweis zu (a): Erweitern Sie mit p

1 + cos(x) und verwenden Sie sin²(x)+cos²(x) = 1.

7) Untersuchen Sie folgende Grenzwerte unter Verwendung der Regel von de L’Hospital:

a) lim

x→0

1

sin(x) − 1 x

b) lim

x→∞

xⁿ e^x

8) (Klausuraufgabe MfC1 vom 2.4.2013) Gesucht ist der Grenzwert

x→∞lim

√ x

1 +x² (1)

a) Zeigen Sie rechnerisch, daß man diesen Grenzwert nicht durch Operationen der Art “limf(x) = f(limx)” bestimmen kann. Welcher Ausdruck resultiert dabei und warum ist das kein akzeptables Ergebnis?

b) Zeigen Sie rechnerisch, daß man diesen Grenzwert ebenfalls nicht mit der Regel von L’Hospital bestimmen kann. Warum nicht?

c) Die Grenzwertbestimmung ist sehr einfach m¨oglich, wenn man vor der Grenz- wertbildung den Bruch mit _x¹ erweitert. Welcher Grenzwert ergibt sich daraus?

d) Was ergibt sich f¨ur den Grenzwert

x→−∞lim

√ x

1 +x² (2)

nach dem Resultat von Teilaufgabe (c)? Warum ist dieses Resultat falsch? (Hin- weis: Ermitteln Sie die Symmetrie der Funktion!) Worin besteht die Schwierigkeit beim Weg von Teilaufgabe (c)? Welcher Grenzwert ist f¨ur Gl. 2 demzufolge der richtige?

9) Entwickeln Sie die folgenden Funktionen in Taylorreihen um x₀ = 0, auf m¨oglichst einfache Weise (i.d.R. unter Verwendung von Standardtaylorreihen). Machen Sie, wenn n¨otig, Angaben ¨uber einen ggf. beschr¨ankten G¨ultigkeitsbereich Ihrer Entwicklung!

a) y= ax

a−x² , bis zur 5. Ordnung

b) y=e^sin(x) , bis zur 4. Ordnung

Hinweis zu (a): Nutzen Sie die Verwandtschaft des gegebenen Ausdrucks mit der Summenformel f¨ur die geometrische Reihe aus.

Zusatz: Versuchen Sie, diese Reihen auch direkt aus der Grunddefinition der Tay- lorreihe herzuleiten.

10) (Klausuraufgabe MfC1 19.Okt.2010) Gegeben sind die Funktionen y=f(x) = ln 1 +x²

und z =g(x) = ln 1

1 +x²

a) Welcher sehr einfache Zusammenhang (rechnerisch und graphisch) besteht zwi- schen f(x) und g(x)? (Hinweis: Verwenden Sie die Haupteigenschaft des Lo- garithmus in der Formulierung ln(uⁿ) = n·ln(u) f¨ur einen geeigneten Wert von

b) Testen Sie rechnerisch, ob f(x) gerade oder ungerade ist. Was folgt daraus f¨ur die Symmetrie von g(x) ?

c) Bestimmen Sie f¨ur f(x) und g(x) alle Nullstellen, die x-Werte und Funktionswerte aller Maxima und Minima, sowie die x-Werte und Steigungen aller Wendepunkte.

Gegen welche Funktionswerte streben f(x) bzw. g(x) f¨ur x→ ±∞ ?

d) Verwenden Sie Standardtaylorreihen, um die ersten vier nicht verschwindenden Terme der Taylorentwicklung von f(x) um den Entwicklungspunkt x₀ = 0 zu finden. Verifizieren Sie die Koeffizienten f¨ur x⁰, x¹ und x² mit Hilfe Ihrer Ableitungsresultate aus Teilaufgabe (c). Benutzen Sie das Resultat von Teilaufgabe (a), um aus dieser Taylorreihe f¨ur f(x) direkt die ersten vier Terme der Taylorreihe f¨ur g(x) zu erzeugen. Wie ¨außert sich das Resultat von Teilaufgabe (b) in diesen Reihen?

e) Skizzieren Sie f(x) und g(x) qualitativ, in einem Intervall, das alle Wendepunkte enth¨alt.

11) (Klausuraufgabe MfC1 22.Okt.2013) Gegeben ist die Funktion y=f(x) = exp(−arctan²(x))

a) Skizzieren Sie den Verlauf von arctan(x). Gegen welchen Wert strebt arctan(x) f¨ur x→ ±∞? Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) f¨ur x→ ±∞.

b) Bilden Sie die 1. und 2. Ableitung von f(x).

c) Ermitteln Sie die Terme nullter, erster und zweiter Ordnung der Taylorentwicklung von f(x) um x₀ = 0 mit Hilfe der allgemeinen Taylorreihendefinition und den Ableitungen aus Teilaufgabe (b).

d) Ermitteln Sie die Terme nullter bis vierter Ordnung der Taylorentwicklung von f(x) um x₀ = 0 unter Verwendung von

arctan(x) = x−x³ 3 + x⁵

5 −x⁷ 7 ± · · · und einer weiteren, geeigneten Standardtaylorreihe.

Weitere Aufgaben

12) Zerlegen Sie folgenden gebrochen rationalen Funktionen in rein reelle Partialbr¨uche:

a) f(x) = 4

x³ + 4x²+ 4x b) f(x) = x+ 4 x³+x²−2

13) Beweisen Sie folgende Eigenschaften der Hyperbelfunktionen:

a) _dx^d (cosh(x)) = sinh(x) b) _dx^d (sinh(x) cosh(x)) = cosh(2x)

Hinweis: Verwenden Sie den Zusammenhang zwischen den Hyperbelfunktionen und der Exponentialfunktion, sowie die Beziehung _dx^d exp(ax) = aexp(ax).

14) Geben Sie (argumentativ, ohne Beweis) zu folgenden Funktionen jeweils ein Intervall an, in dem die Funktion monoton ist, und bilden Sie dort die Umkehrfunktion:

a) f(x) = ln(tan(x²))

Geben Sie dabei Definitions- und Wertebereiche an: f¨ur die urspr¨ungliche Funktion, f¨ur das gew¨ahlte monotone Intervall, und f¨ur die ermittelte Umkehrfunktion.

15) Bilden Sie die 1. und 2. Ableitung der folgenden Funktionen:

a) y= cot (arcsin(x)) b) y= sin (√

x) c) y= ¹₃x⁴+√

2x³−x²

16) Untersuchen Sie die folgenden Grenzwerte, ohne die Regel von de L’Hospital zu benutzen:

a) lim

x→∞

sinh(x) e^x

17) Untersuchen Sie folgende Grenzwerte unter Verwendung der Regel von de L’Hospital:

a) lim

x→0

√x+ 1−1

√x b) lim

x→∞x(tanh(x)−1)

18) Entwickeln Sie die folgenden Funktionen in Taylorreihen um x₀ = 0, auf m¨oglichst einfache Weise (i.d.R. unter Verwendung von Standardtaylorreihen). Machen Sie, wenn n¨otig, Angaben ¨uber einen ggf. beschr¨ankten G¨ultigkeitsbereich Ihrer Entwicklung!

a) y = cosh(2x) , bis zur 6. Ordnung b) y = ln 2−e^−x

, bis zur 4. Ordnung

Zusatz: Versuchen Sie, diese Reihen auch direkt aus der Grunddefinition der Tay- lorreihe herzuleiten.

19) (Klausuraufgabe Mathematik f¨ur Chemiker 1, Uni Stuttgart, 27.3.1996; leicht mo- difiziert:) Gegeben ist die Funktion

f(x) = sin(x) sinh(x) a) Ermitteln Sie f(0).

b) Skizzieren Sie die Funktionen sin(x) und sinh(x). Diskutieren Sie auf dieser Grundlage Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen und Verhalten bei x→ ±∞

von f(x).

c) N¨ahern Sie sin(x) und sinh(x) durch Taylorreihen um x= 0 bis zum Glied f¨unfter Ordnung. Ermitteln Sie dabei die Taylorreihe von sinh(x) aus der Definition von sinh(x) und der Standardtaylorreihe f¨ur e^x. Konstruieren Sie mit Hilfe dieser Reihen durch Polynomdivision eine gebrochen rationale N¨aherungsfunktion g(x) an f(x).

d) Ermitteln Sie alle Extremwerte von g(x); sch¨atzen Sie die ungef¨ahren x-Werte der Minima ab (ohne Taschenrechner!). Bestimmen Sie alle Nullstellen von g(x).

Verifizieren Sie durch explizite Bestimmung des Grenzwerts, daß g(x = 0) = f(x = 0) gilt. f(x) und g(x) haben bei x= 0 ein Maximum. Bestimmen Sie das Verhalten von g(x) bei x → ±∞. Geben Sie ungef¨ahr den Wertebereich von f(x) an. Skizzieren Sie f(x) und g(x) anhand aller hier gesammelten Informationen.

20) (Klausuraufgabe Mathematik f¨ur Chemiker 1, 26.2.2008:) Betrachten Sie die Funktion y=f(x) = xln(x).

a) Ist diese Funktion bei x= 0 definiert? (Begr¨undung) Ermitteln Sie den Grenzwert limx→0+f(x).

b) Beantworten Sie folgende Fragen f¨ur f(x):

– Definitionsbereich?

– x-Werte aller Nullstellen?

– (x, y)-Werte aller Extrema? Sind dies jeweils Maxima oder Minima?

– (x, y)-Werte aller Wendepunkte? (keine Bestimmung der Art der Wende- punkte)

– Gegen welchen Wert strebt die Tangentensteigung von f(x) bei x→0+ ? c) Entwickeln Sie die Funktion ln(x) in eine Taylorreihe um x0 = 1 durch Verwendung einer geeigneten Standardtaylorreihe (nur bis zum 2.Glied!) und einer einfachen Substitution. Verwenden Sie das Resultat, um ein N¨aherungspolynom P(x) f¨ur f(x) = xln(x) aufzustellen.

Zwischenergebnis: P(x) = −x³/2 + 2x²−3x/2 d) Diskutieren Sie P(x) aus Teilaufgabe (c):

– x-Werte aller Nullstellen;

– x-Werte aller Extremwerte;

– (x, y)-Werte aller Wendepunkte;

– Tangentensteigung bei x= 0.

e) Skizzieren Sie f(x) und P(x) und vergleichen Sie mit kurzen Stichworten das Verhalten dieser beiden Funktionen bei x= 0, bei x= 1 und f¨ur x >1.